(教师版较详细)椭圆的讲义与练习解析.pdf
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1、椭圆讲义与练习2013年初 1 椭圆讲义与练习 题型一:椭圆的第一定义与标准方程 例 1 、椭圆的一个顶点为02,A,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程 分析: 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置 解: (1)当02,A为长轴端点时,2a,1b,椭圆的标准方程为:1 14 22 yx ; (2)当 02,A 为短轴端点时,2b,4a,椭圆的标准方程为:1 164 22 yx ; 说明: 椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆 的横竖的,因而要考虑两种情况 变式练习: 求适合条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的2 倍,且过点62,; (2)在x
2、轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直,且焦距为6 分析: 当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由1 2 2 2 2 b y a x 求出148 2 a, 37 2 b,在得方程1 37148 22 yx 后,不能依此写出另一方程1 37148 22 xy 解: (1)设椭圆的标准方程为1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2 b x a y 由已知ba2 又过点62,因此有 1 62 2 2 2 2 ba 或 1 26 2 2 2 2 ba 由、,得148 2 a,37 2 b或52 2 a,13 2 b故所求的方程为 1 37148 22 yx 或1 1352 2
3、2 xy (2)设方程为1 2 2 2 2 b y a x 由已知,3c,3cb,所以18 2 a故所求方程 为1 918 22 yx 椭圆讲义与练习2013年初 2 说明: 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”关键在于焦点的位置 是否确定,若不能确定,应设方程1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2 b x a y 例 2、已知动圆P过定点03 ,A,且在定圆643 22 yxB:的内部与其相内切,求动 圆圆心P的轨迹方程 解:如图所示, 设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点, 即定点03,A和定圆圆心03,B距离之和恰好等于定圆半径, 即8BMPBPMPB
4、PA 点P的轨迹是以A,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为734 22 b的椭圆的方程: 1 716 22 yx 变式练习:已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 3 54 和 3 52 ,过P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程 解 : 设 两 焦 点 为 1 F、 2 F, 且 3 54 1 PF, 3 52 2 PF 从 椭 圆 定 义 知 522 21 PFPFa即5a 从 21 PFPF知 2 PF垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 , 所 以 在 12F PFRt中 , 2 1 s i n 1 2 21 PF PF FPF, 可 求
5、出 6 21F PF, 3 52 6 cos2 1 PFc, 从 而 3 10222 cab所求椭圆方程为1 10 3 5 22 yx 或1 510 3 22 yx 例 3、已知方程1 35 22 k y k x 表示椭圆,求k的取值范围 解:由 ,35 ,03 ,05 kk k k 得53k,且4k 满足条件的k的取值范围是53k,且4k 椭圆讲义与练习2013年初 3 说明: 本题易出现如下错解:由 ,03 ,05 k k 得53k,故k的取值范围是53k 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件,当ba时,并不表示椭圆 变式练习:已知椭圆1 98 22 y k x 的离心率 2
6、 1 e,求k的值 分析: 分两种情况进行讨论 解:当椭圆的焦点在x轴上时,8 2 ka,9 2 b, 得1 2 kc 由 2 1 e, 得4k 当椭圆的焦点在y轴上时,9 2 a,8 2 kb,得kc1 2 由 2 1 e,得 4 1 9 1k ,即 4 5 k满足条件的4k或 4 5 k 说明: 本题易出现漏解排除错误的办法是:因为8k与 9 的大小关系不定,所以椭 圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上故必须进行讨论 总结区:求椭圆方程的总结: 题型二:第二定义的应用及焦半径,焦点弦和焦点三角形问题 例 4、椭圆1 1216 22 yx 的右焦点为F, 过点31 ,A, 点M在椭圆上,当M
7、FAM2 为最小值时,求点M的坐标 分析: 本题的关键是求出离心率 2 1 e,把MF2转化为M到右准线的距离,从而得 最小值一般地,求MF e AM 1 均可用此法 解: 由已知:4a,2c所以 2 1 e,右准线 8xl: 过A作lAQ, 垂 足 为Q, 交 椭 圆 于M, 故 MFMQ2 显然MFAM2的最小值为AQ, 即M 为所求点,因此3 M y, 且M在椭圆上故32 M x 所 以332,M 说明: 本题关键在于未知式MFAM2中的“ 2”的处理事实上,如图, 2 1 e, 即MF是M到右准线的距离的一半,即图中的MQ,问题转化为求椭圆上一点M,使M 到A的距离与到右准线距离之和取
8、最小值 椭圆讲义与练习2013年初 4 变式练习: 已知椭圆1 59 22 yx 内有一点)1,1(A, 1 F、 2 F分别是椭圆的左、 右焦点, 点P 是椭圆上一点 (1)求 1 PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标; (2)求 2 2 3 PFPA的最小值及对应的点P的坐标 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当, 即代数方法二是数形结合,即几何方法本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解 决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解 解: (1) 如 上 图 ,62a,)0,2( 2 F,2 2 AF, 设P是 椭 圆 上 任
9、一 点 , 由 62 21 aPFPF, 22 AFPFPA, 262 22211 AFaAFPFPFPFPA, 等号仅当 22 AFPFPA时成 立,此时P、A、 2 F共线 由 22 AFPFPA,262 22211 AFaAFPFPFPFPA,等 号仅当 22 AFPFPA时成立,此时P、A、 2 F共线 建立A、 2 F的直线方程02yx,解方程组 4595 ,02 22 yx yx 得两交点 )2 14 15 7 5 ,2 14 15 7 9 ( 1 P、)2 14 15 7 5 ,2 14 15 7 9 ( 2 P 综上所述,P点与 1 P重合时, 1 PFPA取最小值26,P点与
10、 2 P重合时, 2 PFPA取最大值26 (2)如下图, 设P是椭圆上任一点, 作PQ垂直椭圆右准线,Q为垂足, 由3a,2c, 椭圆讲义与练习2013年初 5 3 2 e由椭圆第 二定义知 3 22 e PQ PF , 2 2 3 PFPQ, PQPAPFPA 2 2 3 ,要使其和最小需有A、P、Q共线,即求A到右准线距离 右 准线方程为 2 9 x A到右准线距离为 2 7 此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条 件的点P坐标)1, 5 56 ( 说明:求 2 1 PF e PA的最小值,就是用第二定义转化后,过A向相应准线作垂线段巧 用焦点半径 2 PF与点准距PQ互化
11、是解决有关问题的重要手段 例 5、 设),( 00 yxP是离心率为e的椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0(ba上的一点,P到左焦点 1 F和 右焦点 2 F的距离分别为 1 r和 2 r,求证: 01 exar, 02 exar并由此证明椭圆上的点 到焦点距离最远和最近的点都在顶点。 分析: 本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离 解:P点到椭圆的左准线 c a xl 2 :的距离, c a xPQ 2 0 , 椭圆讲义与练习2013年初 6 由椭圆第二定义,e PQ PF1 , 01 exaPQer,由椭圆第一定义, 012 2
12、exarar 说明: 本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问 题时,有着广泛的应用请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式 变式练习:( 06 四川) 如图,把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴 AB 分成 8 分,过每个分点作轴 的 垂线 交椭 圆的上半部分 于 1 P , 2 P , 7 P 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 127 PFP FPF_ 【解析】 只需取椭圆的另一焦点与 1 P , 2 P , 7 P 七个点分别连接, 由结论 1 和对称性 可知: 127 1 14535 2 PFP FP F 例 6、 已知椭圆1 34 22 yx , 1 F
13、、 2 F为两焦点,问能否在椭圆上找一点M,使M到左 准线l的距离MN是 1 MF与 2 MF的等比中项?若存在,则求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由 解:假设M存在,设 11 yxM,由已知条件得 2a,3b,1c, 2 1 e 左准线l的方程是4x, 1 4xMN又由焦半径公式知: 111 2 1 2xexaMF, 112 2 1 2xexaMF 21 2 MFMFMN, 11 2 1 2 1 2 2 1 24xxx整理得048325 1 2 1 xx 解之得4 1 x或 5 12 1 x 另一方面22 1 x 则与矛盾,所以满足条件的点M不存在 说明: (1)利用焦半径公式解常可简化
14、解题过程 (2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条 椭圆讲义与练习2013年初 7 件进行推理和运算进而根据推理得到的结果,再作判断 (3)本例也可设 sin3cos2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成) 例 7、已知椭圆方程01 2 2 2 2 ba b y a x ,长轴端点为 1 A, 2 A,焦点为 1 F, 2 F,P是椭圆 上一点, 21PA A, 21PF F求证: 21PF F的面积 2 tan 2 bS. 分析: 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用CabSsin 2 1 求面积 解:如图, 设yxP,由椭圆的对称性,不妨设
15、yxP,由椭圆的对称性,不妨设P在 第一象限由余弦定理知: 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由椭圆定义知:aPFPF2 21 ,则 2 得 cos1 2 2 21 b PFPF 故sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 总结区:焦点三角形的处理方法: 变式训练:已知 1 F, 2 F是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且60 21PF F (1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证 21F PF的面积与椭圆短轴长有关 分析: 不失一般性,可以设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a
16、x (0ba) , ),( 11 yxP(0 1 y) 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3 1 60tan 12 12 PFPF PFPF KK KK ,设 ),( 11 yxP,)0,( 1 cF,)0,( 2 cF, 化 简 可 得03233 2 1 2 1 2 1 ccyyx 又 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ,两方程联立消去 2 1 x得0323 4 1 22 1 2 bcybyc,由,0( 1 by,可以 确定离心率的取值范围;解出 1 y可以求出 21F PF的面积,但这一过程很繁 思路二: 利用焦半径公式 11 exaPF, 12 exaPF,在 21
17、F PF中运用余弦定理, 椭圆讲义与练习2013年初 8 求 1 x,再利用, 1 aax,可以确定离心率e的取值范围,将 1 x代入椭圆方程中求 1 y,便 可求出 21F PF的面积 思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合 aPFPF2 21 求解 解:(法 1)设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x (0ba) ,),( 11 yxP,)0,( 1 cF,)0,( 2 cF, 0c,则 11 exaPF, 12 exaPF 在 21F PF中,由余弦定理得 )(2 4)()( 2 1 60cos 11 22 1 2 1 exaexa cexaexa , 解得 2 22 2 1 3
18、4 e ac x(1),0( 22 1 ax, 2 2 22 3 4 0a e ac ,即04 22 ac 2 1 a c e 故椭圆离心率的取范围是)1, 2 1 e (2)将 2 22 2 1 3 4 e ac x代入1 2 2 2 2 b y a x 得 2 4 2 1 3c b y,即 c b y 3 2 1 2 2 21 3 3 3 2 2 1 2 1 21 b c b cyFFS FPF 即 21F PF的面积只与椭圆的短轴长有关 (法 2)设mPF1 ,nPF2, 12F PF, 21F PF, 则120(1)在 21F PF中,由正弦定理得 60sin 2 sinsin cnm
19、 60sin 2 sinsin cnm anm2, 60sin 2 sinsin 2ca , 2 cos 2 sin2 60sin sinsin 60sin a c e 2 1 2 cos2 1 椭圆讲义与练习2013年初 9 当且仅当时等号成立故椭圆离心率的取值范围是)1, 2 1 e (2)在 21F PF中,由余弦定理得: 60cos2)2( 222 mnnmcmnnm 22 mnnm3)( 2 anm2,mnac344 22 ,即 222 3 4 )( 3 4 bcamn 2 3 3 60sin 2 1 21 bmnS FPF 即 21F PF的面积与椭圆短轴长有关 说明: 椭圆上的一
20、点P与两个焦点 1 F, 2 F构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有 关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形,使之出现 21 PFPF的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a,c的关系式,使问 题找到解决思路 例 8、设 F1、F2为椭圆 22 1 94 xy 1 的两个焦点, P为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2是一 个直角三角形的三个顶点,且|PF1|PF2|,求 1 2 | | PF PF 的值 . 解:由题意 12 6PFPF, 12 2 5F F 若 21 PF F为直角,则 222 1212 PFPFF F,即 22 11 620PFPF 得 1
21、 14 3 PF, 2 4 3 PF,故 1 2 7 2 PF PF 若 12 F PF为直角, 222 1212 F FPFPF ,即 22 11 206PFPF 得 1 4PF, 2 2PF,故 1 2 2 PF PF 注:该题易忽略 12 F PF为直角,想当然的认为只是 21 PF F为直角 题型三:椭圆的离心率问题 例 9、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率 解: 3 1 22 2 c a c 22 3ac, 3 3 3 1 e 说明: 求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a,求c,再求比二是列 含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可 椭圆讲义与
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