(完整版)北师大版七年级下册数学培优压轴题.pdf
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1、第1页(共 22页) 北师大版七年级下册数学培优压轴题 一解答题(共8 小题) 1已知四边形 ABCD中,AB=BC ,ABC=120 ,MBN=60 ,MBN 绕 B 点旋 转,它的两边分别交AD,DC (或它们的延长线)于E,F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时(如图 1) ,易证 AE +CF=EF ; 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时,在图 2 和图 3 这两种情况下, 上述结论是否 成立?若成立, 请给予证明; 若不成立,线段 AE,CF ,EF又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明 2 (1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD ,B=D=90 ,E、F 分别
2、是边 BC 、 CD上的点,且 EAF= BAD 求证: EF=BE +FD; (2)如图,在四边形 ABCD中,AB=AD ,B+D=180 ,E、F分别是边 BC 、CD 上的点,且 EAF= BAD, (1)中的结论是否仍然成立? (3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD ,B+ADC=180 ,E、F分别是边 BC 、 第2页(共 22页) CD延长线上的点,且 EAF= BAD , (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请 证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明 3如图 1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置,其中 C=90 , B=E=30 (1)操作发现
3、 如图 2,固定 ABC ,使 DEC绕点 C旋转,当点 D 恰好落在 AB边上时,填空: 线段 DE与 AC的位置关系是; 设 BDC的面积为 S1,AEC的面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 (2)猜想论证 当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时,小明猜想( 1)中 S1与 S2的数量关 系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中 BC、CE边上的高,请你证明 小明的猜想 (3)拓展探究 已知 ABC=60 ,点 D 是角平分线上一点, BD=CD=4 ,DEAB交 BC于点 E(如 图 4) 若在射线 BA上存在点 F,使 SDCF=SBDE,请直接写出相应的BF的长 第
4、3页(共 22页) 4如图 1,已知线段 AB的长为 2a,点 P是 AB上的动点( P不与 A,B重合) , 分别以 AP、PB为边向线段 AB的同一侧作正 APC和正 PBD (1)当 APC与PBD的面积之和取最小值时, AP=; (直接写结果) (2)连接 AD、BC ,相交于点 Q,设AQC= ,那么 的大小是否会随点P的移 动而变化?请说明理由; (3) 如图 2, 若点 P固定, 将PBD绕点 P按顺时针方向旋转(旋转角小于 180 ) , 此时 的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明) 5如图 1,RtABC中 AB=AC ,点 D、E是线段 AC上两动点,且 A
5、D=EC ,AM 垂 直 BD, 垂足为 M, AM 的延长线交 BC于点 N, 直线 BD与直线 NE相交于点 F试 判断 DEF的形状,并加以证明 说明: (1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中 的某种思路写出来(要求至少写3 步) ; (2)在你经历说明( 1)的过程之后,可 以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明 1、画出将 BAD沿 BA方向平移 BA长,然后顺时针旋转90 后图形; 2、点 K在线段 BD上,且四边形 AKNC为等腰梯形( ACKN,如图 2) 附加题:如图 3,若点 D、E是直线 AC上两动点,其他条件不变,试判断DEF
6、 第4页(共 22页) 的形状,并说明理由 6如图,已知等边三角形ABC中,点 D,E,F分别为边 AB,AC ,BC的中点, M 为直线 BC上一动点, DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时, DMN 也 随之整体移动) (1)如图 1,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断EN与 MF 有怎样的数量关系? 点 F是否在直线 NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图 2,当点 M 在 BC上时,其它条件不变,(1)的结论中 EN与 MF 的数 量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2 证明;若不成立,请说明理由; (3)若点 M 在点 C右侧时,请你在图3 中画出相应的图
7、形,并判断(1)的结 论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明 或说明理由 7已知:等边三角形ABC (1)如图 1,P 为等边 ABC外一点,且 BPC=120 试猜想线段 BP 、PC 、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)如图 2,P 为等边 ABC内一点,且 APD=120 求证: PA +PD+PC BD 第5页(共 22页) 8认真阅读材料,然后回答问题: 我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式, 如: (a+b) 1=a+b, (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3= (a+b)2 (a+b)=
8、a 3+3a2b+3ab2+b3, 下面我们依次对 (a+b) n 展开式的各项系数进一步研究发现,当 n 取正整数时可 以单独列成表中的形式: 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ;仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ,用你发现 的规律回答下列问题: (1)多项式( a+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数; (2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和 (3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n 取正整数)的展开式的各项系 数之和为 S , (结果用含字母n 的代数式表示) 第6页(共 22页) 2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组
9、卷 参考答案与试题解析 一解答题(共8 小题) 1已知四边形 ABCD中,AB=BC ,ABC=120 ,MBN=60 ,MBN 绕 B 点旋 转,它的两边分别交AD,DC (或它们的延长线)于E,F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时(如图 1) ,易证 AE +CF=EF ; 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时,在图 2 和图 3 这两种情况下, 上述结论是否 成立?若成立, 请给予证明; 若不成立,线段 AE,CF ,EF又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明 【 解答 】 解 : AB AD , BC CD ,AB=BC , AE=CF, 在ABE和CBF中, , A
10、BE CBF (SAS ) ; ABE= CBF ,BE=BF ; ABC=120 ,MBN=60 , 第7页(共 22页) ABE= CBF=30 , AE= BE ,CF= BF; MBN=60 ,BE=BF , BEF为等边三角形; AE +CF= BE +BF=BE=EF ; 图 2 成立,图 3 不成立 证明图 2 延长 DC至点 K,使 CK=AE ,连接 BK, 在BAE和BCK中, 则BAE BCK , BE=BK ,ABE= KBC , FBE=60 ,ABC=120 , FBC +ABE=60 , FBC +KBC=60 , KBF= FBE=60 , 在KBF和EBF中,
11、 KBF EBF , KF=EF , KC +CF=EF , 即 AE +CF=EF 图 3 不成立, AE、CF 、EF的关系是 AE CF=EF 第8页(共 22页) 2 (1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD ,B=D=90 ,E、F 分别是边 BC 、 CD上的点,且 EAF= BAD 求证: EF=BE +FD; (2)如图,在四边形 ABCD中,AB=AD ,B+D=180 ,E、F分别是边 BC 、CD 上的点,且 EAF= BAD, (1)中的结论是否仍然成立? (3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD ,B+ADC=180 ,E、F分别是边 BC 、 CD延长线上的点,
12、且 EAF= BAD , (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请 证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明 第9页(共 22页) 【解答】 证明: (1)延长 EB到 G,使 BG=DF ,连接 AG ABG= ABC= D=90 ,AB=AD , ABG ADF AG=AF ,1=2 1+3=2+3=EAF= BAD GAE= EAF 又AE=AE , AEG AEF EG=EF EG=BE +BG EF=BE +FD (2) (1)中的结论 EF=BE +FD仍然成立 (3)结论 EF=BE +FD不成立,应当是 EF=BE FD 证明:在 BE上截取 BG ,使 BG=DF ,连
13、接 AG B+ADC=180 ,ADF +ADC=180 , B=ADF 第10页(共 22页) AB=AD , ABG ADF BAG= DAF ,AG=AF BAG +EAD= DAF +EAD =EAF= BAD GAE= EAF AE=AE , AEG AEF EG=EF EG=BE BG EF=BE FD 3如图 1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置,其中 C=90 , B=E=30 (1)操作发现 如图 2,固定 ABC ,使 DEC绕点 C旋转,当点 D 恰好落在 AB边上时,填空: 线段 DE与 AC的位置关系是DE AC; 设 BDC的面积为 S1,AEC的
14、面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是S1=S2 (2)猜想论证 当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时,小明猜想( 1)中 S1与 S2的数量关 系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中 BC、CE边上的高,请你证明 小明的猜想 (3)拓展探究 第11页(共 22页) 已知 ABC=60 ,点 D 是角平分线上一点, BD=CD=4 ,DEAB交 BC于点 E(如 图 4) 若在射线 BA上存在点 F,使 SDCF=SBDE,请直接写出相应的BF的长 【解答】 解: (1) DEC绕点 C旋转点 D 恰好落在 AB边上, AC=CD , BAC=90 B=90 30 =60 ,
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