(完整版)新北师大版八年级下册《三角形的证明》.pdf
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1、第 1 页 共 20 页 三角形的证明 【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1判定和性质 一般三角形直角三角形 判定 边角边( SAS )、角边角( ASA) 角角边( AAS)、边边边(SSS ) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 2证题的思路: )找任意一边( )找两角的夹边( 已知两角 )找夹已知边的另一角( )找已知边的对角( )找已知角的另一边( 边为角的邻边 )任意角(若边为角的对边,则找 已知一边一角 )找第三边( )找直角( )找夹角( 已知两边 AAS ASA ASA AAS
2、 SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1 用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图 所 示 , 则 能 说 明 AOC = BOC 的 依 据 是 () A SSSB ASA C AASD 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等 2下列说法中,正确的是() A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等 3如图, ABC ADE,若 B80 , C30 , DAC 35 , 则 EAC 的度数为() A40B35C30D25 4已知
3、:如图,在MPN 中, H 是高 MQ 和 NR 的交点,且MQNQ求证: HNPM. 第 2 页 共 20 页 5用三角板可按下面方法画角平分线:在已知AOB 的两边上,分别取OMON (如图57) ,再分别过点M、 N 作 OA、OB 的垂线,交点为P,画射线OP,则 OP 平分 AOB,请你说出其中的道理 图 5 7 【巩固练习】 1下列说法正确的是() A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等 2 如 图 , 在 ABC 中 , D、 E 分 别 是 边 AC 、 BC 上 的 点 , 若
4、 ADB EDB EDC , 则 C 的 度 数 为 () A 15B 20C 25D 30 3如图,已知ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和ABC 全等的图形是() A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙 4如图 4 9,已知 ABC ABC,AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线 (1)请证明 ADAD; (2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗? 图 49 第 3 页 共 20 页 5如图 4 10,在 ABC 中, ACB90 ,ACBC,直线 l 经过顶点 C,过 A、 B 两点分别作l 的垂线 AE、 BF,E、 F 为垂足 (1)当直线
5、l 不与底边AB 相交时,求证:EFAE BF 图 4 10 (2)如图 411,将直线l 绕点 C 顺时针旋转,使l 与底边 AB 交于点 D,请你探究直线l 在如下位置时,EF、AE、 BF 之间的关系 ADBD; ADBD; ADBD 图 411 【知识点二:等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两底角相等(等边对等角); 等腰三角形 “ 三线合一 ” 的性质:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等 【典型例题】 1 等 腰 三 角 形 的
6、两 边 长 分 别 为 3 和 6, 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 () A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 2 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80 , 则 它 顶 角 的 度 数 是 () A 80B 80 或 20C 80 或 50D 20 第 4 页 共 20 页 3 已 知 ABC 中 , AB=AC =x, BC =6, 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 () A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6 D x 6 4 如 图 , MON =43 , 点 A 在 射 线 OM 上 , 动 点 P 在 射 线 ON 上 滑 动 , 要 使
7、 AOP 为 等 腰 三 角 形 , 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 () A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 5 如 图 , 在 ABC 中 , BO 平 分 ABC , CO 平 分 ACB , DE 过 O 且 平 行 于 BC , 已 知 ADE 的 周 长 为 10cm, BC 的 长 为 5cm, 求 ABC 的 周 长 6、如下图,在ABC 中, B=90 ,M 是 AC 上任意一点( M 与 A 不重合) MD BC,交 ABC 的平分线于点D,求 证: MD=MA. 【巩固练习】 1 如 图 , 已 知 直 线 AB CD , DCF =110 且 AE=A
8、F , 则 A 等 于 () A 30B 40C 50D 70 2 下 列 说 法 错 误 的 是 () A 顶 角 和 腰 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 顶 角 和 底 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 C 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 D 两 个 等 边 三 角 形 全 等 3 如 图 , 是 一 个 5 5 的 正 方 形 网 格 , 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 点 A 和 点 B 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在 小 正 方 形 的 顶
9、 点 上 若 ABC 为 等 腰 三 角 形 , 满 足 条 件 的 C 点 的 个 数 为 () A 6 B 7 C 8 D 9 4 如 图 , 在 ABC 中 , ABC 和 ACB 的 平 分 线 交 于 点 E, 过 点 E 作 MN BC 交 AB 于 M, 交 AC 于 N, 若 BM +CN =9, 则 线 段 MN 的 长 为 () 第 5 页 共 20 页 A 6 B 7 C 8 D 9 5如 图 : E 在 ABC 的 AC 边 的 延 长 线 上 , D 点 在 AB 边 上 , DE 交 BC 于 点 F, DF =EF, BD =CE ,过D 作 DG AC 交 BC
10、 于 G 求 证 : ( 1) GDF CEF ; ( 2) ABC 是 等 腰 三 角 形 【知识点三:等边三角形的判定与性质】 判定:有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形; 三条边都相等的三角形是等边三角形; 三个角都是60 的三角形是等边三角形; 有两个叫是60 的三角形是等边三角形 性质:等边三角形的三边相等,三个角都是60 【典型例题】 1 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是 () A 有 一 腰 长 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 有 一 边 对 应 相 等 的 两 个 等 边 三 角 形 全 等 C 斜 边 相 等 、 一 条 直 角 边 也 相 等
11、 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等 D 斜 边 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 2 如 图 , 在 等 边 ABC 中 , BAD =20 , AE=AD , 则 CDE 的 度 数 是 () A 10B 12.5 C 15D 20 3、如右图,已知ABC 和 BDE 都是等边三角形,求证:AE=CD. 【变式练习】 第 6 页 共 20 页 1 下 列 命 题 : 两 个 全 等 三 角 形 拼 在 一 起 是 一 个 轴 对 称 图 形 ; 等 腰 三 角 形 的 对 称 轴 是 底 边 上 的 中 线 所 在 直 线 ; 等 边 三 角 形 一 边 上 的
12、高 所 在 直 线 就 是 这 边 的 垂 直 平 分 线 ; 一 条 线 段 可 以 看 作 是 以 它 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形 其 中 错 误 的 有 () A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 如 图 , AC =CD =DA =BC=DE 则 BAE 是 BAC 的 () A4 倍B3 倍 C2 倍D1 倍 3 如 图 , 等 边 ABC 的 周 长 是 9, D 是 AC 边 上 的 中 点 , E 在 BC 的 延 长 线 上 若 DE =DB , 则 CE 的 长 为 4 如 图 , 等 边 ABC 中 , 点 D 、 E 分 别
13、为 BC 、 CA 上 的 两 点 , 且 BD =CE, 连 接 AD 、 BE 交 于 F 点 , 则 FAE + AEF 的 度 数 是 () A 60B 110C 120D 135 5 如 图 , 已 知 : MON =30 , 点 A1、 A2、 A3 在 射 线 ON 上 , 点 B1、 B2、 B3 在 射 线 OM 上 , A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4 均 为 等 边 三 角 形 , 若 OA1=1 , 则 A6B6A7的 边 长 为 () A 6 B 12 C 32 D 64 6.如 图 , M、 N 点 分 别 在 等 边 三 角 形 的 BC、 CA 边
14、上 , 且 BM =CN, AM 、 BN 交 于 点 Q ( 1) 求 证 : BQM =60; ( 2) 如 图 , 如 果 点 M 、 N 分 别 移 动 到 BC 、 CA 的 延 长 线 上 , 其 它 条 件 不 变 ,( 1) 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 若 成 立 , 给 予 证 明 ; 若 不 成 立 , 说 明 理 由 7如 图 ,C 为 线 段 BD 上 一 点( 不 与 点 B,D 重 合 ),在 BD 同 侧 分 别 作 正 三 角 形 ABC 和 正 三 角 形 CDE , AD 与 BE 交 于 一 点 F, AD 与 CE 交 于 点 H , B
15、E 与 AC 交 于 点 G 第 7 页 共 20 页 ( 1) 求 证 : BE=AD ; ( 2) 求 AFG 的 度 数 ; ( 3) 求 证 : CG =CH 【知识点四:反证法】 反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命 题的结论一定成立这种证明方法称为反证法 【基础练习】 1、否定 “ 自然数 a、 b、c 中恰有一个偶数” 时的正确反正假设为() Aa、b、 c 都是奇数Ba、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 Ca、b、 c 都是偶数Da、b、c 中至少有两个偶数 2、用反证法证明命题“ 三角形的内角中至少有一个不大于6
16、0”时,反证假设正确的是() A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60 3、证明:在一个三角形中至少有两个角是锐角 【知识点五:直角三角形】 1、直角三角形的有关知识 勾股定理 :直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形; 在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题 ,其 中一个命题称为另一
17、个命题的逆命题 . 第 8 页 共 20 页 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理 ,其中一个定理称为 另一个定理的 逆定理 . 【典型例题】 1、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)如果 ab=0,那么 a=0,b=0; (4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等 2 使 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 是 () A 一 个 锐 角 对 应 相 等B 两 个 锐 角 对 应 相 等 C 一 条 边 对 应 相 等D 两 条 边 对 应 相 等 3
18、等 腰 三 角 形 的 底 边 长 为 6, 底 边 上 的 中 线 长 为 4, 它 的 腰 长 为 () A 7 B 6 C 5 D 4 4 如 图 , 矩 形 纸 片 ABCD中 , AB=4, AD =3 , 折 叠 纸 片 使 AD 边 与 对 角 线 BD 重 合 , 折 痕 为 DG , 则 AG 的 长 为 () A 1 B 4 3 C 3 2 D 2 5 如 图 , 在 ABC 中 , C=90 , B=30 , AD 是 BAC 的 平 分 线 , 若 CD =2, 那 么 BD 等 于 () A 6 B 4 C 3 D 2 6 如 图 , 在 4 4 正 方 形 网 格
19、中 , 以 格 点 为 顶 点 的 ABC 的 面 积 等 于 3, 则 点 A 到 边 BC 的 距 离 为 () A3B2 2C 4 D 3 7 如 图 , ACB 和 ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 , A, C, D 三 点 在 同 一 直 线 上 , 连 接 BD , AE, 并 延 长 AE 交 BD 于 F ( 1) 求 证 : ACE BCD ; ( 2) 直 线 AE 与 BD 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 第 9 页 共 20 页 8 如 图 , 在 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为1 个 单 位 长 度 的 方 格 纸 中 有
20、一 个 ABC , ABC的 三 个 顶 点 均 与 小 正 方 形 的 顶 点 重 合 ( 1) 在 图 中 画 BCD , 使 BCD 的 面 积 = ABC 的 面 积 ( 点 D 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ) ( 2) 请 直 接 写 出 以 A、 B、 C、 D 为 顶 点 的 四 边 形 的 周 长 9 如 图 , 把 矩 形 纸 片 ABCD沿 EF 折 叠 , 使 点 B 落 在 边 AD 上 的 点 B 处 , 点 A 落 在 点 A 处 ; ( 1) 求 证 : B E=BF ; ( 2) 设 AE=a, AB=b, BF =c, 试 猜 想 a, b, c 之
21、间 的 一 种 关 系 , 并 给 予 证 明 【变式练习】 1 利 用 基 本 尺 规 作 图 , 下 列 条 件 中 , 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 () A 已 知 斜 边 和 一 锐 角B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角 C 已 知 斜 边 和 一 直 角 边D 已 知 两 个 锐 角 2 在 Rt ABC 中 , C=90 , AC =9, BC =12 , 则 点 C 到 AB 的 距 离 是 () A 36 5 B 12 25 C 9 4 D 3 3 4 3 如 图 是 一 株 美 丽 的 勾 股 树 , 其 中 所 有 的 四 边 形 都 是 正
22、 方 形 , 所 有 的 三 角形 都 是 直 角 三 角 形 , 若 正 方 形 A、 B、 C、 D 的 面 积 分 别 为 2, 5, 1, 2 则 最 大 的正 方 形 E 的 面 积 是 4 已 知 Rt ABC 中 , C=90 , 且 BC = 1 2 AB, 则 A 等 于 () 第 10 页 共 20 页 A 30B 45C 60D 不 能 确 定 5 已 知 : 如 图 , 在 ABC 中 , A=30 , ACB =90 , M、 D 分 别 为 AB、 MB 的 中 点 求 证 : CD AB 6 如 图 , 在 5 5 的 方 格 纸 中 , 每 一 个 小 正 方
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