(完整版)高中数学导数练习题.pdf
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1、专题 8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例 1.( )fx是 3 1 ( )21 3 f xxx的导函数,则( 1)f的值是。 解析:2 2 xxf,所以3211 f 答案: 3 考点二:导数的几何意义。 例2.已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf,处 的 切 线 方 程 是 1 2 2 yx, 则 (1)(1)ff。 解析:因为 2 1 k,所以 2 1 1 f,由切线过点(1(1)Mf,可得点 M 的纵坐标为 2 5 ,所以 2 5 1f,所以311ff 答案: 3 例 3. 曲线 32 242yxxx在点(13),处的切线方程是。 解析:443 2
2、 xxy,点(13),处切线的斜率为5443k,所以设切 线方程为bxy5, 将点(13),带入切线方程可得 2b , 所以,过曲线上点(13), 处的切线方程为:025yx 答案:025yx 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C:xxxy23 23 ,直线kxyl :,且直线l与曲线C 相切于点 00, y x0 0 x,求直线l的方程及切点坐标。 解 析 :直 线 过 原 点 , 则 0 0 0 0 x x y k。 由 点 00, y x在 曲 线C上 , 则 0 2 0 3 00 23xxxy,23 0 2 0 0 0 xx x
3、 y 。又263 2 xxy,在 00, y x处曲线C的切线斜率为263 0 2 00 xxxfk, 26323 0 2 00 2 0 xxxx, 整理得:032 00 xx, 解得: 2 3 0 x或0 0 x (舍),此时, 8 3 0 y, 4 1 k。所以,直线l的方程为xy 4 1 ,切点坐标是 8 3 , 2 3 。 答案:直线 l的方程为xy 4 1 ,切点坐标是 8 3 , 2 3 点评: 本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上” 这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不 是必要条件。 考点四:函数的单调
4、性。 例 5.已知13 23 xxaxxf在 R 上是减函数,求a的取值范围。 解析:函数xf的导数为163 2 xaxxf。对于Rx都有0 xf时,xf 为减函数。由Rxxax0163 2 可得 01236 0 a a ,解得3a。所以, 当3a时,函数xf对Rx为减函数。 (1)当3a时, 9 8 3 1 3133 3 23 xxxxxf。 由函数 3 xy在 R上的单调性,可知当3a是,函数xf对Rx为减函数。 (2)当3a时, 函数xf在 R上存在增区间。 所以, 当3a时,函数xf在 R上不是单调递减函数。 综合( 1)( 2)( 3)可知3a。 答案:3a 点评:本题考查导数在函数
5、单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。 考点五:函数的极值。 例 6. 设函数 32 ( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值。 (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的0 3x,都有 2 ( )f xc成立,求c 的取值范围。 解析: ( 1) 2 ( )663fxxaxb,因为函数( )f x在1x及2x取得极值,则有 (1)0f,(2)0f即 6630 24 1230 ab ab , ,解得3a,4b。 (2) 由 ()可知, 32 ( )29128f xxxxc, 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx。 当(01)x,时,( )0fx;当(1
6、2)x,时,( )0fx;当(2 3)x,时,( )0fx。所以, 当1x时,( )f x取得极大值(1)58fc,又(0)8fc,(3)98fc。则当0 3x, 时,( )f x的最大值为(3)98fc。因为对于任意的 0 3x,有 2 ( )f xc恒成立, 所以 2 98cc,解得1c或9c,因此c的取值范围为(1)(9)U,。 答案:( 1)3a,4b;( 2)(1)(9)U,。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤: 求导数xf ; 求0 xf的根;将0 xf的根在数轴上标出,得出单调区间,由xf 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。 考点六:函
7、数的最值。 例 7. 已知a为实数,axxxf4 2 。求导数xf ; (2)若01f,求xf 在区间2,2上的最大值和最小值。 解析: (1)axaxxxf44 23 ,423 2 axxxf。 (2)04231af, 2 1 a。14343 2 xxxxxf 令0 xf, 即0143xx, 解得1x或 3 4 x, 则xf和xf 在区间2,2 上随x的变化情况如下表: x 2 1,2 1 3 4 , 1 3 4 2, 3 4 2 xf 0 0 xf 0 增函数极大值减函数极小值增函数 0 2 9 1f, 27 50 3 4 f。所以,xf在区间2 ,2上的最大值为 27 50 3 4 f,
8、最 小值为 2 9 1f。 答案: (1)423 2 axxxf; (2) 最大值为 27 50 3 4 f, 最小值为 2 9 1f。 点评: 本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值, 要先求 出函数xf在区间ba,上的极值, 然后与af和bf进行比较, 从而得出函数的最大最 小值。 考点七:导数的综合性问题。 例 8. 设函数 3 ( )f xaxbxc (0)a为奇函数,其图象在点(1, (1)f处的切线与直线 670xy垂直,导函数( )fx的最小值为12。( 1)求a,b,c的值; (2)求函数( )f x的单调递增区间,并求函数( )f x在1,3上的最大值
9、和最小值。 解析:(1)( )f x为奇函数,()( )fxfx,即 33 axbxcaxbxc 0c, 2 ( )3fxaxb的最小值为12,12b,又直线670xy 的斜率为 1 6 ,因此,(1)36fab,2a,12b,0c (2) 3 ( )212f xxx。 2 ( )6126(2)(2)fxxxx,列表如下: x (,2) 2 (2,2) 2 ( 2,) ( )fx 00 ( )f x增函数极大减函数极小增函数 所 以 函 数( )f x的 单 调 增 区 间 是(,2)和(2,), ( 1)10f, (2)82f,(3)18f, ( )fx在 1,3上 的 最 大 值 是(3)
10、18f, 最 小 值 是 (2)82f。 答案:(1)2a,12b,0c; (2)最大值是(3)18f,最小值是( 2)8 2f。 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以 及推理能力和运算能力。 导数强化训练 (一)选择题 1. 已知曲线 2 4 x y的一条切线的斜率为 1 2 ,则切点的横坐标为(A ) A1 B2 C 3 D4 2. 曲线13 23 xxy在点( 1, 1)处的切线方程为(B ) A43xyB23xyC34xyD54xy 3. 函数) 1()1( 2 xxy在1x处的导数等于( D ) A1 B2 C3 D4 4. 已知函数)(,31
11、)(xfxxf则处的导数为在的解析式可能为(A ) A)1(3)1()( 2 xxxfB)1(2)(xxf C 2 )1(2)(xxfD1)(xxf 5. 函数93)( 23 xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值,则a=( D ) (A)2 (B)3 (C) 4 (D)5 6. 函数 32 ( )31f xxx是减函数的区间为( D ) ()(2,)()(,2)()(,0)()(0,2) 7. 若函数cbxxxf 2 的图象的顶点在第四象限,则函数xf 的图象是(A ) 8. 函数 23 1 ( )2 3 f xxx在区间0 , 6上的最大值是(A) A 32 3 B 16 3 C12D
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