八上培优5半角模型.pdf
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1、实用标准文档 文案大全 八上培优 5 半角模型方法 :截长补短 图形中,往往出现90套 45的情况,或者120套 60的情况。还有2套的情况。求 证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻 折分割构全等。截长法,补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49 页,新观察在第34 页,新观察培优也有涉及,在第27 页 2 两个例题, 29 页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两 次全等。 下面是新观察第34 页 14 题 1. 如图, 四边形ABCD中,A=C=90 ,D=60 ,AB=BC ,E、F,分别在AD 、CD上
2、,且EBF=60 求证:EF=AE+CF 2. 如图 2,在上题中,若E、F分别在 AD 、 DC的延长线上,其余条件不变,求证:AE=EF+CF 3. 如图,A=B=90 , CA=CB=4, ACB=120 , ECF=60 ,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积 . 实用标准文档 文案大全 A C B F E A C B F E D 4如图 1在四边形ABCD中AB=AD , B+D=180,E、F分别是边BC 、CD上的点, 且 BAD=2 EAF (1)求证: EF=BE+DF ; (2)在( 1)问中,若将AEF绕点 A逆时针旋转,当点E、F 分别运动到BC 、CD延
3、长线上时, 如图 2 所示,试探究EF、BE 、DF之间的数量关系 3. 如图 3,在四边形ABDC 中,B+C=180 ,DB=DC ,BDC=120 ,以 D为顶点作一个60的 角,角的两边分别交AB 、AC于 E、F 两点,连接EF,探索线段BE 、CF 、EF之间的数量关系,并 加以证明 实用标准文档 文案大全 勤学早第40 页试题 1. ( 1)如图,已知AB= AC, BAC=90 ,MAN=45 ,过点 C作NC AC交AN于点 N , 过点 B作 BM 垂直AB交AM于点 M ,当MAN在 BAC内部时,求证:BM+CN =MN; B AC M N B AC M N G B A
4、C M N G 证明 : 延长 MB到点 G ,使 BG=CN, 连接 AG ,证ABG ACN(SAS), AN=AG, BAG= ,NAC. L GAM= GAB + BAM= CAN+ BAM=45 = LMAN, 证AMN AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十 NC. 证明二: (此证明方法见新观察培优第27 页例 3) (2) 如图 , 在(1) 的条件下,当AM和 AN在 AB两侧时, (1) 的结论是否成立?请说明理由 . B AC N M B AC N M F 解: 不成立,结论是:MN=CN一 BM, 证明略 . 实用标准文档 文案大全 基本模型二 1
5、20 套 60 2. 如图, ABC中,CA=CB,ACB=120 ,E 为 AB上一点, DCE=60 , DAE= 120, 求证 :DE=BE A B C D E A B C D F E 证明 :( 补短法 ) 延长 EB至点 F,使 BF=AD,连接 CF,则 CBF CAD , CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE. 3. 如图 , ABC中 ,CA=CB,ACB=120 ,点 E为 AB上一点, DCE= DAE= 60, 求证 :AD+DE= BE. C B A D E C B A D EF 证明 :( 截长法 ) 在 BE上截取 BF=AD,连接 CF,易证 C
6、BF CAD , CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE. 比较:新观察培优版27 页 例 4 如图, ABC是边长为1 的等边三角形,BDC是顶角, BDC= 120的等腰三角形,以 D为顶点作一个60角,角的两边分别交AB 、 AC于 M 、N, 连结 MN, 试求 AMN 的周长 . 32 1 A BC D P M N 实用标准文档 文案大全 分析 : 由于 MDN=60 , BDC=120 ,所以 BDM 十 CDN=60 ,注意到DB=DC ,考虑运用“旋转 法”将 BDM和 CDN移到一起,寻找全等三角形。另一方面, AMN的周长AM+AN + MN=
7、AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想 MN= BM+CN, 证三角形全等解决. 新观察培优68 页例 5 如图,点 A 、B(2,0) 在 x 轴上原点两侧, C在 y 轴正半轴上 , OC平分 ACB. (1) 求 A点坐标 ; (2) 如图 1, AQ 在 CAB内部,P是 AQ上一点, 满足ACB= AQB, AP=BQ. 试判断 CPQ 的形状, 并予以证明 ; (3) 如图 2. BD BC交 y 轴负半轴于D. BDO=60 , F为线段 AC上一动点, E在 CB延长线上, 满足 CFD+ E=180. 当 F在 AC上移动时,结论: CE+CF 值不变 ; CE- CF 值
8、不变,其中只 有一个正确结论,请选出正确结论并求其值. y x 2 1 O D C AB P 3 y x 2 1 O G C A B D F E 分析 :(1) 由 A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0). (2) 由 ACP BCQ 得 CP=CQ. (3) 由 BDBC, BDO=60 , 可证得等边 ABC.由角平分线和DB_ BC的条件 , 运用对称性知DA AC, 连结 DA, 加上条件 CFD+ E=180,可证得ADFBDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8. 基本模型三 2套 实用标准文档 文案大全 4.(1) 如图 1, 在四边形ABCD 中, AB
9、=AD,B+D=180 , E,F分别是BC,CD上的点,且EAF= 1 2 BAD, 求证:EF= BE+ DF; (2) 如图 2, 在(1) 的条件下 , 若将 AEF绕点 A逆时针旋转, 当点 E,F 分别运动到BC,CD延长线上时, 则 EF,BE,DF 之间的数量关系是EF=BE- DF A BC D G E F A B C D E F M 解:(1)EF=BE+DF, 延长 FD到点 G,使 DG=BE, 连接 AG, 证ABE ADG (SAS), AE = AG, BAE= DAG ,EAF= 1 2 BAD, GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EA
10、F= EAF, EAF= GAF, 证AEF GAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF; (2)EF=BE DF. 外地试题: 实用标准文档 文案大全 4 探究: 如图,点 E、 F分别在正方形ABCD 的边 BC、 CD上, EAF=45 , 连结 EF, 求证:EF=BE+DF 应用:如图,在四边形ABCD中,点 E、F 分别在 BC 、CD上, AB=AD , B+D=90, EAF=1 2 BAD ,若 EF=3,BE=2 ,则 DF= 5通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的下面是一个案例,请补 充完整 原题:如图
11、 1, 点 E、 F 分别在正方形ABCD 的边 BC 、CD上,EAF=45 ,连接 EF ,求证:EF=BE+DF (1)思路梳理 AB=AD ,把 ABE绕点 A逆时针旋转90至 ADG ,可使 AB与 AD重合 ADG= B=90, FDG= ADG+ ADC=180 ,则点F、D、G共线 根据,易证 AFG ,从而得EF=BE+DF ; (2)类比引申 如图 2,四边形ABCD 中, AB=AD , BAD=90 点 E、F 分别在边BC 、CD上, EAF=45 若 B、 D都不是直角, 但当 B与 D满足等量关系时,仍有 EF=BE+DF , 请给出证明; (3)联想拓展 如图
12、3,在 ABC中, BAC=90 , AB=AC ,点 D 、E均在边 BC上,且 DAE=45 ,猜想BD 、DE 、 EC应满足的等量关系,并写出推理过程 7 (1)如图 1,在四边形ABCD 中,AB=AD ,B=D=90,E、F 分别是边BC 、 CD上的点, 且 AE=AF , EAF=1 2 BAD 现有三种添加辅助线的方式:延长EB至 G,使 BG=BE ,连接AG ;延长FD 至 G ,使 DG=BE ,连接 AG ;过点 A作 AG EF,垂足为 G;选择其中一种方法添加辅助线,求证: EF=BE+FD ; 实用标准文档 文案大全 (2)如图 2,在四边形ABCD中, AB=
13、AD ,若 B+D=180, EAF=1 2 BAD ,证明( 1)中结论 是否还成立? (3)如图 3,在四边形ABCD 中,AB=AD ,B+ADC=180 ,E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点, 且 EAF=1 2 BAD , (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间 的数量关系,并证明 8 ( 1)如图 1,在四边形ABCD 中, AB=AD , B=D=90, E、F 分别是边 BC 、CD上的点,且 EAF=1 2 BAD 求证: EF=BE+FD (2) 如图 2, 在四边形ABCD 中,AB=AD , B+D=180,E、 F分别是边BC 、
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