八下数学《平行四边形》培优试卷含答案..pdf
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1、平行四边形竞赛试题 总分 120 分,时间120 分钟 一、填空题(共9 小题,每小题3 分,满分27 分) 1 在矩形 ABCD 中,已知两邻边AD=12 ,AB=5 , P 是 AD 边上异于A 和 D 的任意一点, 且 PEBD,PFAC , E、F 分别是垂足,那么PE+PF=_ 2如图, BD 是平行四边形ABCD 的对角线,点E、F 在 BD 上,要使四边形AECF 是平行四边形,还需要增 加的一个条件是_ (填一个即可) 3如图,已知矩形ABCD ,对角线 AC 、BD 相交于 O,AEBD 于 E,若 AB=6 ,AD=8 ,则 AE=_ _ 4如图,以 ABC 的三边为边在B
2、C 的同一侧分别作三个等边三角形,即ABD 、BCE 、ACF (1)四边形 ADEF 是_; (2)当ABC 满足条件_时,四边形 ADEF 为菱形; (3) 当ABC 满足条件_时,四边形ADEF 不存在 1 题2 题3 题4 题 5已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另两边之和为1+,则这两边之积为_ 6如图,在平行四边形ABCD 中, EFBC,GH AB ,EF、GH 的交点 P 在 BD 上,图中有_对 四边形面积相等;它们是_ 7如图,菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于 O, AOB 的周长为3+, ABC=60 ,则菱形ABCD 的 面积为_ 8如图,矩形ABC
3、D 中, AC 、BD 相交于点O,AE 平分 BAD ,交 BC 于 E,若 EAO=15 ,则 BOE 的 度数为_度 9如图,矩形ABCD 中, AB=8 ,BC=4 ,将矩形沿AC 折叠,点D 落在点 D 处,则重叠部分AFC 的面积 为_ 6 题7 题8 题9 题 二、选择题(共9 小题,每小题3 分,满分27 分) 10如图, ?ABCD 中, ABC=75 ,AFBC 于 F,AF 交 BD 于 E,若 DE=2AB ,则 AED 的大小是() A 60B 65C 70D 75 10 题11 题12 题13 题 11如图,正 AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点E、F 分
4、别在 BC、CD 上,则 B 的度数是() A 70B 75C 80D 95 12 如图,正方形 ABCD 外有一点P, P在 BC 外侧,并在平行线AB 与 CD 之间,若 PA=, PB=, PC=, 则 PD=() A 2 BC 3D 13如图, 平行四边形ABCD 中,BC=2AB ,CEAB 于 E,F 为 AD 的中点, 若 AEF=54 ,则 B=() A 54B 60C 66D 72 14四边形ABCD 的四边分别为a、b、c、d,其中 a、c 为对边,且满足a 2+b2+c2+d2=2ac+2bd ,则这个四边形 一定是() A 两组角分别相等的四边形B 平行四边形 C 对角
5、线互相垂直的四边形D 对角线相等的四边形 15周长为68 的长方形ABCD 被分成 7 个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD 的面积为() A 98 B196 C280 D284 15 题16 题 16如图,菱形花坛ABCD 的边长为6m, A=120 ,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分 图形的周长为() A 12m B20m C22m D24m 17在凸四边形ABCD 中, AB CD,且 AB+BC=CD+DA,则() A ADBC B ADBC C AD=BC D AD 与 BC 的大小关系不能确定 18已知四边形ABCD ,从下列条件中:(1)AB CD; (2)
6、BCAD ; (3)AB=CD ; (4)BC=AD ; (5) A=C; (6) B= D任取其中两个,可以得出“ 四边形 ABCD 是平行四边形” 这一结论的情况有() A 4 种B9 种C13 种D15 种 三、解答题(共10 小题,满分66 分) 19如图,在 ADC 中, BAC=90 ,AD BC,BE、AF 分别是 ABC 、 DAC 的平分线, BE 和 AD 交于 G,求证: GFAC 20设 P 为等腰直角三角形ACB 斜边 AB 上任意一点,PE 垂直 AC 于点 E,PF 垂 直 BC 于点 F,PG 垂直 EF 于点 G,延长 GP 并在其延长线上取一点D,使得 PD
7、=PC ,试证: BC BD,且 BC=BD 21 如图,在等腰三角形ABC 中, 延长 AB 到点 D, 延长 CA 到点 E, 且 AE=BD , 连接 DE 如果 AD=BC=CE=DE, 求 BAC 的度数 22如图, ABC 为等边三角形,D、F 分别为 BC、AB 上的点,且CD=BF ,以 AD 为边作等边 ADE (1)求证: ACDCBF; (2)点 D 在线段 BC 上何处时,四边形CDEF 是平行四边形且DEF=30 23如图,在RtABC 中, AB=AC , A=90 ,点 D 为 BC 上任一点, DFAB 于 F,DEAC 于 E,M 为 BC 的中点,试判断ME
8、F 是什么形状的三角形,并证明你的结论 24 如图,在 ABC 中, 点 O 是 AC 边上的一个动点, 过点 O 作直线 MN BC,设 MN 交 BCA 的角平分线于点E,交 BCA 的外角平分线于点F (1)求证: EO=FO ; (2)当点 O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论 25如图,在Rt ABC 中, ABC=90 , C=60 ,BC=2 ,D 是 AC 的中点, 以 D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于E, 以 AB 、 BE 为邻边作长方形ABEF ,连接 DF,求 DF 的长 26阅读下面短文: 如图 , ABC 是直角三角形, C=90 , 现
9、将 ABC 补成矩形, 使ABC的两 个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符 合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD 和矩形 AEFB (如图 ) 解答问题: (1) 设图 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为S1、S2, 则 S1 _S2(填 “ ”“=” 或“ ” ) (2)如图 ,ABC 是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画_ 个,利用图 把它画出来 (3)如图 , ABC 是锐角三角形且三边满足BCAC AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要 求的矩形可以画出_个,利用图 把它画出来 (4)在( 3)中所画出的
10、矩形中,哪一个的周长最小?为什么? 27如图,在 ABC 中, C=90 ,点 M 在 BC 上,且 BM=AC ,N 在 AC 上,且 AN=MC , AM 与 BN 相交于 P,求证: BPM=45 28如图,在锐角ABC 中, AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高, AD 、CE 相交于 F,BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接 PQ、DE (1)求证:直线PQ 是线段 DE 的垂直平分线; (2)如果 ABC 是钝角三角形,BAC 90 ,那么上述结论是否成立?请按钝角 三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明 参考答案与试题解析 一、填空题(共9 小题,每小题4 分,
11、满分36 分) 1在矩形ABCD 中,已知两邻边AD=12 ,AB=5 ,P 是 AD 边上异于A 和 D 的任意一点,且PEBD, PFAC,E、F 分别是垂足,那么PE+PF= 考点 : 矩形的性质;等腰三角形的性质。 专题 : 几何图形问题。 分析: 首先过 A 作 AG BD 于 G根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,则 PE+PF=AG 利用勾股定理求得BD 的长, 再根据三角形的面积计算公式求得AG 的长, 即为 PE+PF 的长 解答: 解:如图,过A 作 AGBD 于 G, 则 SAOD= OD AG ,SAOP+SPOD= AO PF+ DO PE= D
12、O ( PE+PF) , SAOD=SAOP+SPOD, PE+PF=AG , 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高, PE+PF=AG AD=12 , AB=5 , BD=13, , 故答案为: 点评: 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算解决本题的关键是明白等腰三角 形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 2 ( 2003?宁波)如图,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,点E、F 在 BD 上,要使四边形AECF 是平 行四边形,还需要增加的一个条件是BE=DF (填一个即可) 考点 : 平行四边形的判定。 专题 : 开放型。 分析: 要使四边形A
13、ECF 也是平行四边形,可增加一个条件:BE=DF 解答: 解:使四边形AECF 也是平行四边形,则要证四边形的两组对边相等,或两组对边分别平行,如 果 BE=DF ,则有: AD BC, ADF= CBE , AD=BC ,BE=DF , ADF BCE, CE=AF ,同理, ABE CFD, CF=AE , 四边形AECF 是平行四边形 故答案为: BE=DF 点评: 本题考查了平行四边形的判定,是开放题,答案不唯一,本题利用了平行四边形和性质,通过证 ADF BCE,ABE CFD,得到 CE=AF ,CF=AE 利用两组对边分别相等来判定平行四边 形 3如图,已知矩形ABCD 中,对
14、角线AC、BD 相交于 O,AEBD 于 E,若 AB=6 ,AD=8 ,则 AE= 4.8 考点 : 矩形的性质。 专题 : 计算题。 分析: 矩形各内角为直角,在直角ABD 中,已知 AB 、AD ,根据勾股定理即可求BD 的值,根据面积 法即可计算AE 的长 解答: 解:矩形各内角为直角,ABD 为直角三角形 在直角 ABD 中, AB=6,AD=8 则 BD=10, ABD 的面积 S=AB?AD=BD?AE , AE=4.8 故答案为4.8 点评: 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了三角形面积的计算,本题中根据勾股定理求 BD 的值是解题的关键 4如图,以 ABC 的三边
15、为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形,即ABD 、 BCE、ACF (1)四边形ADEF 是平行四边形; (2)当 ABC 满足条件AB=AC时,四边形ADEF 为菱形; (3)当 ABC 满足条件AB=AC=BC时,四边形ADEF 不存在 考点 : 等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定。 专题 : 证明题。 分析: (1)先证明 ABC DBE, ABC FEC,则 DE=AC=AF ,FE=AB=AD ,则四边形ADEF 是个平行四边形; (2)当 AB=AC 时,四边形ADEF 为菱形; (3)当 AB=AC=BC时,四边形ADEF 不存在 解答: 解: (1)四边形 AD
16、EF 是个平行四边形在ABC 和DBE 中, BC=BE ,BA=BD , DBE= ABC (与 ABE 之和都等于60 ) , ABC DBE, DE=AC , 在ABC 和FEC 中, BC=EC ,CA=CF , ACB= FCE(都为 60 角与 =ACE 之和), ABC FEC, FE=AB , DE=AC=AF ,FE=AB=AD , 四边形ADEF 是个平行四边形; (2)当 ABC 为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC 时, 由第( 1)题中可知四边形ADEF 的四边都相等,此时四边形ADEF 是菱形; (3)当 ABC 为等边三角形时,即AB=AC=BC时,四边
17、形ADEF 中的 A 点与 E 点重合, 此时以 A、D、 E、F 为顶点的四边形不存在 点评: 本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质 5已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另两边之和为1+,则这两边之积为 考点 : 勾股定理的逆定理;勾股定理。 专题 : 探究型。 分析: 先根据三角形的一边长为2,这边上的中线为1 判断出此三角形是直角三角形,在设另两边分别 为 x、y 两用完全平方公式可用x2+y2表示出 xy 的值,再由勾股定理即可求出x2+y 2,进而可求出 xy 的值 解答: 解:三角形的一边长为2,这边上的中线为1,可知这边上的中线等于这条边的一半, 此三
18、角形是个直角三角形,斜边为2, 设另两边分别为x、y,两边之和x+y=1+, ( x+y) 2=(1+ ) 2=4+2 , xy=2+, 又直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方, x 2+y2 =4, xy=2+2= 故答案为: 点评: 本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理,根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关 键,解答此题时不要根据另两边之和为1+即可盲目的设一边为1,另一边为 6如图所示, 在平行四边形ABCD 中,EF BC,GHAB ,EF、GH 的交点 P 在 BD 上,图中有5对 四边形面积相等;它们是?AEPG 与?PHCF、?EFCB 与?ABHG 、?GHCD 与
19、?EFDA 、梯形 ABPG 与梯形 BCFP、四边形PHCD 与四边形AEPD 考点 : 平行四边形的性质。 分析: 由题意可证四边形EPHB 为平行四边形,再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分, 从而求解 解答: 解: EFBC,GHAB , 四边形EPBH 为平行四边形, BP 为平行四边形EPBH 的对角线, EBP 与BHP 的面积相等, BD 为平行四边形ABCD 的对角线, ABD 与BCD 面积相等, PD 为平行四边形PFDG 的对角线, GPD 与PFD 面积相等, ?AEPG 与?PHCF 面积相等;?EFCB 与?ABHG 面积相等;?GHCD 与?EFDA
20、面积相等、梯形 ABPG 与梯形 BCFP、 梯形 PHCD 与梯形 AEPD 共 5 对, 故答案为: 5,?AEPG 与?PHCF、?EFCB 与?ABHG 、?GHCD 与?EFDA、梯形 ABPG 与梯形 BCFP、 梯形 PHCD 与梯形 AEPD 点评: 此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式,比较简单 7如图, 菱形 ABCD 的对角线AC 、BD 相交于 O,AOB 的周长为3+,ABC=60 ,则菱形 ABCD 的面积为 考点 : 菱形的性质;勾股定理。 专题 : 计算题。 分析: 根据 ABC=60 可以求得 ABO=30 ,即 AB=2AO ,设 AO=x ,则 AB=
21、2x ,根据勾股定理即可求 得 OB=x,求得 x 的值即可求得AC,BD 的长度,即可计算菱形ABCD 的面积 解答: 解:菱形对角线即角平分线 ABC=60 可以求得 ABO=30 , 即 AB=2AO , 设 AO=x ,则 AB=2x , 则 OB=x, 即( 3+)x=3+ 即 x=1, 菱形的对角线长为2、2, 故菱形 ABCD 的面积为S= 2 2=2 故答案为2 点评: 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质, 本题中根据勾股定理求x 的值是解题的关键 8如图,矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O,AE 平分 BAD ,交 B
22、C 于 E,若 EAO=15 ,则 BOE 的度数为75度 考点 : 矩形的性质;等边三角形的判定与性质。 专题 : 计算题。 分析: 根据矩形的性质可得BOA 为等边三角形,得出BA=BO ,又因为 BAE 为等腰直角三角形, BA=BE ,由此关系可求出BOE 的度数 解答: 解: AE 平分 BAD , BAE= EAD=45 , 又知 EAO=15 , OAB=60 , OA=OB , BOA 为等边三角形, BA=BO , BAE=45 , ABC=90 , BAE 为等腰直角三角形, BA=BE BE=BO , EBO=30 , BOE=BEO, 此时 BOE=75 故答案为75
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