《八年级数学下册,一次函数经典例题剖析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级数学下册,一次函数经典例题剖析.pdf(35页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数,k0) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数( x 为自变量) ,特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数 .例如:y=2x+3,y=-x+2,y= 2 1 x 等都是一次函数, y= 2 1 x, y=-x 都是正比例函数 . 【说明】 (1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际 问题中要根据函数的实际意义来确定. (2)一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, b0)中的“一次”和一元一 次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x
2、的次数为 1, 一次项系数 k 必须是不为零的常数, b 可为任意常数 . (3)当 b=0,k0 时,y= kx 仍是一次函数 . (4)当 b=0,k=0 时,它不是一次函数 . 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐 标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的 图象画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, k0)的图象是一条直线,所 以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要
3、描出适 合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:直线与y 轴的 交点(0,b) ,直线与 x 轴的交点( - k b ,0). 但也不必一定选取这两个特 殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时,只要描出点(0,0) , (1,k)即可 . 知识点 4 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, k0)的性质 (1)k 的正负决定直线的倾斜方向; k0 时,y 的值随 x 值的增大而增大; kO时,y 的值随 x 值的增大而减小 (2)|k| 大小决定直线的倾斜程度,即|k| 越大,直线与 x 轴相交的 锐角度数越大(直线陡) ,|k| 越小,直线与 x 轴相交的锐角度数越小(直 线缓
4、) ; (3)b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置; 当 b0 时,直线与 y 轴交于正半轴上; 当 b0 时,直线与 y 轴交于负半轴上; 当 b=0 时,直线经过原点,是正比例函数 (4)由于 k,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同; 如图 1118(l )所示,当 k0,b0 时,直线经过第一、二、三 象限(直线不经过第四象限) ; 如图 1118(2)所示,当 k0,bO时,直线经过第一、三、四 象限(直线不经过第二象限) ; 如图 1118(3)所示,当 kO ,b0 时,直线经过第一、二、四 象限(直线不经过第三象限) ; 如图 1118(4)所示,当 kO ,bO时,直线经
5、过第二、三、四 象限(直线不经过第一象限) (5)由于|k| 决定直线与 x 轴相交的锐角的大小, k 相同,说明这两 个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的另外,从平 移的角度也可以分析,例如:直线y=x1 可以看作是正比例函数y=x 向 上平移一个单位得到的 知识点 3 正比例函数 y=kx(k0)的性质 (1)正比例函数 y=kx 的图象必经过原点; (2)当 k0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (3)当 k0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 4 点 P(x0,y0)与直线 y=kx+b 的图象的关系 (1)如果点 P(x
6、0,y0)在直线 y=kx+b 的图象上,那么 x0,y0的值必 满足解析式 y=kx+b; (2)如果 x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐 标的点 P(1,2)必在函数的图象上 例如:点 P(1,2)满足直线 y=x+1,即 x=1 时,y=2,则点 P(1,2) 在直线 y=x+l 的图象上;点 P(2,1)不满足解析式 y=x+1,因为当 x=2 时,y=3,所以点 P(2,1)不在直线 y=x+l 的图象上 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 (1)由于正比例函数 y=kx(k0)中 只有一个待定系数k, 故只需一个条件(如 一对 x, y的值或
7、一个点)就可求得 k 的值 (2)由于一次函数y=kx+b(k0)中 有两个待定系数 k,b,需要两个独立的 条件确定两个关于k,b的方程,求得 k,b 的值,这两个条件通常是两个点或两对 x,y 的值 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方 程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系 数法其中未知系数也叫待定系数例如:函数y=kx+b 中,k,b 就是待 定系数 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 (1)设函数表达式为y=kx+b; (2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组); (3)求出 k 与 b
8、 的值,得到函数表达式 例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和( -1,-3)求此一次函 数的关系式 解:设一次函数的关系式为ykx+b(k0) , 由题意可知, ,3 ,21 bk bk 解 . 3 5 , 3 4 b k 此函数的关系式为y= 3 5 3 4 x 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下: 第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中 k,b 是未 知的常量,且 k0) ;第二步,代(根据题目中的已知条件, 列出方程(或 方程组) ,解这个方程(或方程组),求出待定系数 k,b) ;第三步,求(把 求得的 k,b 的值代回到“设”的关
9、系式y=kx+b 中) ;第四步,写(写出 函数关系式) . 思想方法小结(1)函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升 华为函数的模型,进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量 之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 (2)数形结合法 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方 法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用 知识规律小结(1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k 0)位置的影响 当 b0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0 时,直线经过原点; 当 b0 时,直线与 y 轴的负半轴相
10、交 当 k,b 异号时,即 - k b 0 时,直线与 x 轴正半轴相交; 当 b=0 时,即 - k b =0 时,直线经过原点; 当 k,b 同号时,即 - k b 0 时,直线与 x 轴负半轴相交 当 kO ,bO时,图象经过第一、二、三象限; 当 k0,b=0 时,图象经过第一、三象限; 当 bO ,bO时,图象经过第一、三、四象限; 当 kO ,b0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 kO ,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 bO ,bO时,图象经过第二、三、四象限 (2)直线 y=kx+b(k0)与直线 y=kx(k 0)的位置关系 直线 y=kx+b(k 0)平行于直线
11、y=kx(k 0) 当 b0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线y=kx+b; 当 bO时,把直线 y=kx 向下平移 |b| 个单位,可得直线y=kx+b (3)直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2(k10 ,k20)的位置关系 k1k2y1与 y2相交; 21 21 bb kk y1与 y2相交于 y 轴上同一点( 0,b1)或(0,b2) ; 21 21 , bb kk y1与 y2平行; 21 21 , bb kk y1与 y2重合. 典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们 之间的关系,以及构成一次函数及正比例
12、函数的条件 例 1 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y=- 2 1 x;(2)y=- x 2 ;(3)y=-3-5x ; (4)y=-5x 2; (5)y=6x- 2 1 (6)y=x(x-4)-x 2. 分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解 解: (1) (3) (5) (6)是一次函数,(l ) (6)是正比例函数 例 2 当 m为何值时,函数 y=-(m-2)x 3 2 m +(m-4)是一次函数? 分析 某函数是一次函数, 除应符合 y=kx+b 外, 还要注意条件 k0 解:函数 y=(m-2)x 3 2 m +(m-4)是一次函数, , 0)2
13、( , 13 2 m m m=-2. 当 m=-2时,函数 y=(m-2)x 3 2 m +(m-4)是一次函数 小结某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指 数为 1,系数不为 0而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件: 常数项为 0 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括: (1)会确定函数关系式及求函数值; (2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3) 利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的 表达式 例 3 一根弹簧长 15cm ,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂 1kg 的物体,弹簧就伸长05cm ,写
14、出挂上物体后,弹簧的长度y(cm ) 与所挂物体的质量x(kg )之间的函数关系式,写出自变量x 的取值范围, 并判断 y 是否是 x 的一次函数 分析 (1)弹簧每挂 1kg 的物体后,伸长 05cm ,则挂 xkg 的物体 后,弹簧的长度 y 为(l5+0 5x)cm ,即 y=15+05x (2)自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值,即 0 x18 (3) 由 y=15+05x 可知,y 是 x 的一次函数 解: (l )y=15+05x (2)自变量 x 的取值范围是 0x18 (3)y 是 x 的一次函数 学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木
15、 齐出发,其平均速度为58 千米时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与 行驶时间 t (时)之间的函数关系式是 . 老师评一评研究本题可采用线段图示法,如图1119 所示 火车从乌鲁木齐出发, t 小时所走路程为 58t 千米,此时,距离库尔 勒的距离为 s 千米,故有 58t+s=600,所以, s=600-58t 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M ()是时间 t (时)的 函数:M=t 2 -5t+100 (其中 t=0 表示中午 12 时,t=1 表示下午 1 时) ,则上 午 10 时此物体的温度为 分析 本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t 的具体值从
16、题中可以知道,t=0 表示中午 12时,t=1 表示下午 1 时,则 上午 10 时应表示成 t=-2 ,当 t=-2 时,M= (-2) 3-5 (-2 )+100=102 () 答案:102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2时,y=7. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x=4 时,求 y 的值; (3)当 y=4 时,求 x 的值 分析 由 y-3 与 x 成正比例,则可设y-3=kx ,由 x=2,y=7,可求出 k,则可以写出关系式 解: (1)由于 y-3 与 x 成正比例,所以设y-3=kx 把 x=2,y=7 代入 y-3=kx 中,得 7
17、-32k, k2 y 与 x 之间的函数关系式为y-3=2x ,即 y=2x+3 (2)当 x=4 时,y=24+3=11 (3)当 y4 时,4=2x+3,x= 2 1 . 学生做一做已知 y 与 x+1 成正比例,当 x=5时,y=12,则 y 关于 x 的函数关系式是 . 老师评一评由 y 与 x+1 成正比例,可设y 与 x 的函数关系式为y=k (x+1). 再把 x=5,y=12代入,求出 k 的值,即可得出 y 关于 x 的函数关系式 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k(x+1). 当 x=5 时,y=12, 12=(5+1)k,k=2 y 关于 x 的函数关系式为 y=2
18、x+2 【注意】 y 与 x+1 成正比例,表示 y=k(x+1) ,不要误认为 y=kx+1. 例 6 若正比例函数 y=(1-2m)x 的图象经过点 A (x1,y1)和点 B (x2, y2) ,当 x1x2时,y1y2,则 m的取值范围是() Am O Bm 0 C m 2 1 Dm M 分析 本题考查正比例函数的图象和性质,因为当 x1x2时,y1y2, 说明 y 随 x 的增大而减小,所以1-2mO,m 2 1 ,故正确答案为 D项 学生做一做某校办工厂现在的年产值是15 万元,计划今后每年增 加 2 万元 (1)写出年产值 y(万元)与年数 x(年)之间的函数关系式; (2)画出
19、函数的图象; (3)求 5 年后的产值 老师评一评(1)年产值 y(万元)与年数 x(年)之间的函数关系 式为 y=15+2x (2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x0, 因此,函数 y=15+2x的图象应为一条射线 画函数 y=12+5x的 图象如图 1121所示 (3)当 x=5 时,y15+25=25(万元) 5 年后的产值是 25 万元 例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所示,求函数表达式 分析 从图象上可以看出,它与x 轴交于点( -1 ,0) ,与 y 轴交 于点(0,-3 ) ,代入关系式中,求出k 为即可 解:由图象可知,图象经过点(-
20、1,0)和(0,-3)两点, 代入到 y=kx+b 中,得 ,03 ,0 b bk .3 , 3 b k 此函数的表达式为y=-3x-3. 例 8 求图象经过点( 2,-1) ,且与直线 y=2x+1平行的一次函数的表 达式 分析 图象与 y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则 可设此表达式为 y=2x+b,再将点( 2,-1 )代入,求出 b 即可 解:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b, 图象经过点( 2,-1) , -l=2 2+b b=-5, 所求一次函数的表达式为y=2x-5. 综合应用题 本节知识的综合应用包括: (1)与方程知识的综合应用; (2)与不等 式知识的
21、综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际 问题 例 8 已知 y+a 与 x+b(a,b 为是常数)成正比例 (1)y 是 x 的一次函数吗?请说明理由; (2)在什么条件下, y 是 x 的正比例函数? 分析 判断某函数是一次函数, 只要符合 y=kx+b(k,b 中为常数, 且 k0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合y=kx(k 为常数,且 k0)即可 解: (1)y 是 x 的一次函数 y+a 与 x+b 是正比例函数, 设 y+a=k(x+b) (k 为常数,且 k0) 整理得 y=kx+(kb-a) k0,k,a,b 为常数, y=kx+(kb-a) 是一次函
22、数 (2)当 kb-a=0,即 a=kb 时, y 是 x 的正比例函数 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通”使用者先交50 元月租费,然后每通话1 分,再付电话费 04 元; “神州行”使用者不交 月租费,每通话 1 分,付话费 06 元(均指市内通话)若1 个月内通话 x 分,两种通讯方式的费用分别为y1元和 y2元 (1)写出 y1,y2与 x 之间的关系; (2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同? (3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合 算? 分析 这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的 收费方式仔细分析、比较、计算,方
23、可得出正确结论 解: (1)y1=50+04x(其中 x0,且 x 是整数) y2=06x(其中 x0,且 x 是整数) (2) 两种通讯费用相同, y1=y2, 即 50+04x=06x x250 一个月内通话 250分时,两种通讯方式的费用相同 (3)当 y1=200 时,有 200=50+0 4x, x=375(分) “全球通”可通话375分 当 y2=200时,有 200=06x, x=333 3 1 (分) “神州行”可通话333 3 1 分 375333 3 1 , 选择“全球通”较合算 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例,且 x=-2 时,y=0 (1) 求 y 与 x 之
24、间的函数关系式; (2)画出函数的图象; (3)观察图象,当 x 取何值时,y0? (4)若点(m ,6)在该函数的图象上,求 m的 值; (5)设点 P在 y 轴负半轴上, (2)中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A, B两点,且 SABP=4,求 P点的坐标 分析 由已知 y+2 与 x 成正比例,可设 y+2=kx,把 x=-2,y=0 代 入,可求出 k,这样即可得到 y 与 x 之间的函数关系式,再根据函数图象 及其性质进行分析,点( m ,6)在该函数的图象上,把x=m ,y=6 代入即 可求出 m的值 解: (1)y+2 与 x 成正比例, 设 y+2=kx(k 是常数,且 k
25、0) 当 x=-2 时,y=0 0+2k (-2) ,k-1 函数关系式为 x+2=-x, 即 y=-x-2 (2)列表; x 0 -2 y -2 0 描点、连线,图象如图1123 所示 (3)由函数图象可知,当x-2 时,y0 当 x-2 时,y0 (4) 点(m ,6)在该函数的图象上, 6=-m-2, m -8 (5)函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A,B两点, A(-2 ,0) ,B(0,-2 ) S ABP= 2 1 |AP| |OA|=4, |BP|=4 2 8 | 8 OA . 点 P与点 B的距离为 4 又B点坐标为 (0,-2), 且 P在 y 轴负半轴上, P
26、点坐标为 (0 ,-6). 例 11 已知一次函数 y=(3-k)x-2k 2+18. (1)k 为何值时,它的图象经过原点? (2)k 为何值时,它的图象经过点(0,-2)? (3)k 为何值时,它的图象平行于直线y=-x ? (4)k 为何值时, y 随 x 的增大而减小? 分析 函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y 轴的 交点在 y 轴上方,说明常数项bO ;两函数图象平行,说明一次项系数相 等;y 随 x 的增大而减小,说明一次项系数小于0 解: (1)图象经过原点,则它是正比例函数 , 03 ,0182 2 k k k-2 当 k=-3 时,它的图象经过原点 (2)该一次
27、函数的图象经过点(0,-2 ). -2=-2k 2+18,且 3-k0, k= 10 当 k=10时,它的图象经过点 (0 ,-2) (3)函数图象平行于直线y=-x , 3-k=-1 , k4 当 k4 时,它的图象平行于直线x=-x (4)随 x 的增大而减小, 3-kO k3 当 k3 时,y 随 x 的增大而减小 例 12 判断三点 A(3,1) ,B(0,-2 ) ,C(4,2)是否在同一条直 线上 分析 由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的 函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线 上;若不成立,说明不在此直线上 解:设过 A,B两点的直线的
28、表达式为y=kx+b 由题意可知, ,02 ,31 b bk .2 , 1 b k 过 A,B两点的直线的表达式为y=x-2 当 x=4 时,y=4-2=2 点 C(4,2)在直线 y=x-2 上 三点 A(3,1) , B(0,-2) ,C(4,2)在同一条直线上 学生做一做判断三点 A(3,5) ,B(0,-1 ) ,C(1,3)是否在同一 条直线上 . 探索与创新题 主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形 结合思想在数学问题中的广泛应用 例 13 老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题: (1)x 从 0 开始逐渐增大时, y=2x+8和 y=6x 哪一
29、个的函数值先达到 30?这说明了什么? (2)直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何? 甲生说: “y=6x 的函数值先达到 30,说明 y=6x 比 y=2x+8的值增长得 快 ” 乙生说: “直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的” 你认为这两个同学的说法正确吗? 分析 (1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当x2 时,6x2x+8,所以, y=6x 的函数值先达到30 (2)直线 y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同,都是-1 ,故它们是 平行的,所以这两位同学的说法都是正确的 解:这两位同学的说法都正确 例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅
30、游,用旅行社说: “如 果老师买全票,其他人全部半价优惠 ”乙旅行社说:“所有人按全票价的 6 折优惠 ”已知全票价为240元 (1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为 y乙元,分别表示两家旅行社的收费; (2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 分析 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系 式,再通过比较,探究结论 解: (1)甲旅行社的收费y甲(元)与学生人数x 之间的函数关系式 为 y甲=240+ 2 1 240x=240+120x. 乙旅行社的收费 y乙(元)与学生人数x 之间的函数关系式为 y乙=24060(x+1)=144x+144 (2)当 y甲=y
31、乙时,有 240+120x=144x+144 , 24x96,x=4 当 x=4 时,两家旅行社的收费相同,去哪家都可以 当 y甲y乙时,240+120x144x+144, 24x96,x4 当 x4 时,去乙旅行社更优惠 当 y甲y乙时,有 240+120x140x+144, 24x96,x4 当 x4 时,去甲旅行社更优惠 小结此题的创新之处在于先通过计算进行讨论,再作出决策,另外, 这两个函数都是一次函数,利用图象来研究本题也不失为一种很好的方 法 学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者. 果园基地对购买量在3000千克以上(含 3000 千克)的有两种销售方案 甲
32、方案:每千克 9 元,由基地送货上门;乙方案:每千克8 元,由顾客自己 租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元 (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量 x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围; (2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?并说明理 由 老师评一评先求出两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量 x(千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论 (1)甲方案的付款y甲(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函 数关系式为 y甲=9x(x3000) ; 乙方案的付款 y乙(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系
33、式为 y乙=8x+500O (x3000) (2)有两种解法: 解法 1:当 y甲=y乙时,有 9x=8x+5000, x=5000 当 x=5000时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以 当 y甲y乙时,有 9x8x+5000, x5000 又x3000, 当 3000x5000时,甲方案付款少,故采用甲方案 当 y甲y乙时,有 9x8x+5000, x5000 当 x500O时,乙方案付款少,故采用乙方案 解法 2:图象法,作出 y甲=9x 和 y乙=8x+5000的函数图象,如图11 24所示,由图象可得:当购买量大于或等于3000 千克且小于 5000 千克时, y甲y乙, 即选择甲方
34、案付款少;当购买量为5000千克时, y甲y乙即两种 方案付款一样;当购买量大于5000千克时, y甲y乙,即选择乙方案付款 最少 【说明】 图象法是解决问题的重要 方法,也是考查学生读图能力的有效途 径. 例 15 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是 -3 x6,相应函数 值的取值范围是 -5 y-2,则这个函数的解析式为 . 分析 本题分两种情况讨论:当k0 时,y 随 x 的增大而增大, 则有: 当 x=-3, y=-5; 当x=6时, y=-2, 把它们代入 y=kx+b中可得 ,62 ,35 bk bk , 4 , 3 1 b k 函数解析式为y=- 3 1 x-4
35、当 kO时则随 x 的增大而减小,则有:当x=-3 时,y=-2;当 x=6 时,y=-5,把它们代入 y=kxb 中可得 ,65 ,32 bk bb , 3 , 3 1 b k 函数解析式为y=- 3 1 x-3. 函数解析式为 y= 3 1 x-4 ,或 y=- 3 1 x-3. 答案:y= 3 1 x-4 或 y=- 3 1 x-3. 【注意】 本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的 应用,切忌考虑问题不全面. 中考试题预测 例 1 某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:一部分是租用 比赛场地等固定不变的费用b(元) ,另一部分与参加比赛的人数x(人) 成正比例,当 x
36、=20时 y=160O ;当 x=3O时,y=200O (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)动果有 50 名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么 每名运动员需要支付多少元? 分析 设举办乒乓球比赛的费用y(元)与租用比赛场地等固定不变 的费用 b (元)和参加比赛的人数x (人)的函数关系式为 y=kx+b (k0). 把 x=20,y=1600;x=30,y=2000 代入函数关系式,求出k,b 的值, 进而求出 y 与 x 之间的函数关系式,当x=50时,求出 y 的值,再求得 y 50 的值即可 解: (1)设 y1=b,y2=kx(k0,x0) , y=kx+b 又
37、当 x=20时,y=1600;当 x=30时,y=2000, ,302000 ,201600 bk bk .800 ,40 b k y 与 x 之间的函数关系式为y=40x+800(x0). (2)当 x=50 时,y=4050+800=2800 (元) 每名运动员需支付280050=56(元 答:每名运动员需支付56 元 例 2 已知一次函数 y=kx+b,当 x=-4 时,y 的值为 9;当 x=2 时,y 的值为-3 (1)求这个函数的解析式。 (2)在直角坐标系内画出这个函数的图象 分析 求函数的解析式,需要两个点或两对x,y 的值,把它们代入 y=kx+b 中,即可求出 k 在的值,
38、也就求出这个函数的解析式,进而画出这 个函数的图象 解: (1)由题意可知 ,23 ,49 bk bk .1 2 b k 这个函数的解析式为x=-2x+1. (2) 列表如下: x 0 2 1 y 1 0 描点、连线,如图 1126 所示即为 y=-2x+1 的图象 例 3 如图 1127 所示,大拇指与小拇指 尽量张开时,两指尖的距离称为指距某项研 究表明,一般情况下人的身高h 是指距 d 的一次函数,下表是测得的指距 与身高的一组数据 指距 d/cm 20 21 22 23 身高 h/cm 160 169 178 187 (1)求出 h 与 d 之间的函数关系式;(不要求写出自变量d 的取
39、值范 围) (2)某人身高为 196cm ,一般情况下他的指距应是多少? 分析 设 h 与 d 之间的函数关系式是h=kd+b(k0) 当 d20 时,h=160;当 d=21时,h=169 把这两对 d,h 值代人 h=kd+b得 ,21169 ,20160 bk bk .20 ,9 b k 所以得出 h 与 d 之间的函数关系式,当 h=196 时,即可求出 d 解: (1)设 h 与 d 之间的函数关系式为 h=kd+b(k0) 由题中图表可知当d=2O时,h=16O;当 d=21 时,h=169. 把它们代入函数关系式,得 ,21169 ,20160 bk bk .20 ,9 b k
40、h 与 d 之间的函数关系式是h=9d-20 (2)当 h=196时,有 196=9d-20 d24 当某人的身高为196cm时,一般情况下他的指距是24cm 例 4 汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都,如果汽车的平均速度是 100千米时,那么汽车距成都的路程 s(千米)与行驶时间t (时)的函数关 系用图象(如图 1128 所示)表示应为() 分析 本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识,由题意 可知,汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t (时)的函数关系式是 s=400-100t ,其中自变量 t 的取值范围是 0t4,所以有 0s400, 因此这个函数图象应为一条线段,故淘汰
41、掉 D 又因为在 S=400-100t 中的 k=-1000,s 随 t 的增大而减小,所以正确答案应该是C 答案:C 小结画函数图象时, 要注意自变量的取值范围, 尤其是对实际问题 例 5 已知函数:(1)图象不经过第二象限; (2)图象经过点( 2, -5).请你写出一个同时满足(1)和(2)的函数关系式: 分析 这是一个开放性试题,答案是不惟一的,因为点(2,-5)在 第四象限,而图象又不经过第二象限,所以这个函数图象经过第一、三、 四象限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析 式设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b(kO ) ,另外的一 点为(4,3) ,
42、把这两个点代入解析式中即可求出k,b. ,25 ,43 bk bk .13 , 4 b k y=4x-13. 答案:y4x-13 【注意】 后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析. 例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关如果用a 表示一 个人的年龄,用 b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最 高次数,另么 b=08(220-a) (1)正常情况下,在运动时一个16 岁的学生所能承受的每分心跳的 最高次数是多少? (2)一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为20 次,他有危险吗? 分析 (1)只需求出当 a=16时 b 的值即可 (2)求出当 a=50时 b 的值
43、,再用 b 和 20 10 60 =120(次)相比较即 可 解: (1)当 a=16时, b=08(220-16)1632(次) 正常情况下,在运动时一个16 岁的学生所能承受的每分心跳的最 高次数是 1632 次 (2)当 a=50时, b=08(220-50)=08170=136 (次) ,表示他最大能承受每分136 次 而 20 10 60 =120136,所以他没有危险 一个 50岁的人运动 10 秒时心跳的次数为20 次,他没有危险 例 7 某市的 A县和 B县春季育苗,急需化肥分别为90 吨和 60 吨, 该市的 C县和 D县分别储存化肥 100吨和 50 吨, 全部调配给 A县
44、和 B县 已 知 C,D两县运化肥到 A,B两县的运费(元吨)如下表所示 (1)设 C县运到 A县的化肥为 x 吨,求总运费 W (元)与 x(吨)的 函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案 分析 利用表格来分析C ,D两县运到 A,B两县的化肥情况如下 表 则总运费 W (元)与 x(吨)的函数关系式为 W=35x+40 (90-x)+30(100-x)+4560- (100-x )=10x+4800 自变量 x 的取值范围是 40x90 解:(1) 由 C县运往 A县的化肥为 x吨, 则 C县运往 B县的化肥为(100-x) 吨 D县运往
45、 A县的化肥为( 90-x)吨, D县运往 B县的化肥为( x-40 ) 吨 由题意可知 W 35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)10x+4800 自变量 x 的取值范围为 40x90 总运费 W (元)与 x(吨)之间的函数关系式为 w 1Ox+480O (40x9O ) (2)100, W随 x 的增大而增大 当 x=40时, W最小值=1040+4800=5200 (元) 运费最低时, x=40,90-x=50(吨) ,x-40=0(吨) 当总运费最低时,运送方案是:C县的 100 吨化肥 40 吨运往 A县, 60吨运往 B县,D县的 50 吨化肥全部运往A县
46、 例 8 2006 年夏天,某省由于持续高温和连日无雨,水库蓄水量普遍 下降,图 1129 是某水库的蓄水量V (万米 2)与干旱 持续时间 t(天)之问的关系图,请根据此图回答下 列问题 (1)该水库原蓄水量为多少万米 2?持续干旱 10 天后水库蓄水量为多少万米 3? (2)若水库存的蓄水量小于400 万米 3 时,将发出严重干旱警报,请 问:持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报? (3)按此规律,持续干旱多少天时,水库将干涸? 分析 由函数图象可知, 水库的蓄水量 V (万米 2)与干旱时间 t(天) 之间的函数关系为一次函数,设一次函数的解析式是V=kt+b(k,b 是常 数,且 k0
47、). 由图象求得这个函数解析式,进而求出本题(1) (2) (3) 问即可 解:设水库的蓄水量V(万米 3)与干旱时间 t (天)之间的函数关系 式是 V=kt+b(k,b 是常数,且 k=0) 由图象可知,当 t=10 时,V=800 ;当 t=30 时,V=400 把它们代入 V=kt+b 中,得 ,30400 ,10800 bk bk .1000 ,20 b k V=-20t+1000(0t 50) (1)当 t=0 时,V=-200+1000=1000 (万米 2) ; 当 t=10 时,V=-2010+1000=800 (万米 3) 该水库原蓄水量为1000万米 3,持续干旱 10 天后,水库蓄水量为 800万米 3 (2)当 V400时,有 -20t+1000 400, t 30, 当持续干旱 30 天后,将发生严重干旱警报 (3)当 V=0时,有 -20t+1000=0 , t 50, 按此规律,持续干旱50 天时,水库将干涸 【说明】解决本题的关键是求出V与 t 之间的函数关系式 . 例 9 图 1130 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y (千米)随时间
链接地址:https://www.31doc.com/p-5629569.html