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1、1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 1 of 8 本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分 运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的 前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、 “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整 数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂
2、项的计算题时,要仔细的 观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂 的计算, 一般都是中间部分消去的过程,这样的话, 找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1 ab 形式的, 这里我们把较小的数写在前面,即 ab , 那么有 1111 () abbaab (2) 对于分母上为3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2)nnn , 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的,我们有: 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3
3、(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征: ( 1)分子全部相同,最简单形式为都是1 的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1 的运算。 ( 2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接” ( 3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、 “裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: 分数裂项计算 教学目标 知识点拨 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 2 of 8 ( 1) 11abab abababba (2) 2222 ababab abababba
4、 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的, 同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 【例 1 】 11111 1223344556 。 【巩固】 111 101111 125960 【巩固】 2222 109985443 L 【例 2 】 1111 11212312100 L L L 公式的变式 1 12 2 1nnn() 当n分别取 1, 2,3, 100 时,就有 1 1 2 12 1 12 2 23 1 123 2 34 1 1234 2 45 1 12100 2 100101 例题精讲 1-2-
5、2-1.分数裂项 .题库教师版page 3 of 8 1 1 1 12 1 123 1 12100 2 12 2 23 2 34 2 99100 2 100101 2 1 12 1 23 1 34 1 99100 1 100101 21 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 21 1 101 () () () 2 100 101 200 101 1 99 101 求和公式推导: S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1 【例 3 】 1111 13355799101 L 【巩固】 计算: 1111 25 1 335572325 L
6、【巩固】 251251251251251 488 1212162000200420042008 L 【巩固】 计算: 3245671 255771111 161622222929 3 1 3 ( 1 2 - 1 5 ) + ? 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 4 of 8 【例 4 】计算: 11111111 ()128 8244880120168224288 方法一: = ( 1 2 4 + 1 4 6 + 1 6 8 + 1 8 10 + 1 10 12 + 1 12 14 + 1 14 16 + 1 16 18 ) 128 = 1 2 ( 1 2 - 1 4 + ? +
7、1 14 - 1 16 + 1 16 - 1 18 ) 128 方法二: = 1 8 (1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + 1 21 + 1 28 + 1 36 ) 128 = 16 ( 2 2 + 2 6 + 2 12 + 2 20 + 2 30 + 2 42 + 2 56 + 2 72 ) = 16 ( 2 1 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + 2 4 5 + 2 5 6 + 2 6 7 + 2 7 8 + 2 8 9 ) = 16 2 (1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + ? + 1 8 - 1 9) 【巩固】 11111111 6122030425
8、67290 _ 【巩固】 111111 1 3610152128 一项隔一项来拆项 = 1 + 1 2 (1 - 1 3 ) + 1 6 + 1 3 ( 1 2 - 1 5) + 1 15 + 1 4 ( 1 3 - 1 7 ) + 1 28 【巩固】 计算: 111111111 2612203042567290 = 1 2 - ( 1 2 - 1 3) - ? ( 1 9 - 1 10 ) 【巩固】 11111 104088154238 。 = 1 3 ( 1 2 - 1 5 + 1 5 - 1 8 + ? 1 14 - 1 17 ) 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 5 of
9、 8 【例 5 】 7 4.50.16 1111 18 1 3153563 133.753.2 3 & 【例 6 】计算: 11111 123420 261220420 L = (1 + 2 + ? + 20)+ (1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + ? + 1 20 - 1 21 ) 【巩固】 计算: 11111 20082009201020112012 1854108180270 = 。 【巩固】 计算: 11224 26153577 _。 【巩固】 计算: 1111111 315356399143195 【巩固】 计算: 1511192997019899 261220309702
10、9900 L = 1 - 1 2 + 1 - 1 6 + ? + 1 - 1 9900 = 99 - ( 1 2 + 1 6 + ? + 1 9900 ) 【例 7 】 111 123234789 L 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 6 of 8 【巩固】 计算: 111 1232349899100 L 【巩固】 计算: 1111 1 35246357202224 L = 1 4 ( 1 1 3 - 1 3 5 + 1 2 4 - 1 4 6 + ? + 1 20 22 - 1 22 24 ) 【巩固】 9998971 12323434599100 101 L = 1 - 1
11、1 2 3 + 1 - 2 2 3 4 + 1 - 3 3 4 5 + ? 1 - 99 99 100 101 【例 8 】 11111 123423453456678978910 = 1 3 ( 1 1 2 3 - 1 2 3 4 + ? + 1 7 8 9 - 1 8 9 10 ) 【例 9 】计算: 5719 12323489 10 L = 2 + 3 1 2 3 + 3 + 4 2 3 4 + ? + 9 + 10 8 9 10 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 7 of 8 【例 10 】 123456 121231234123451234561234567 = 1 -
12、 1 1 2 + 3 1 2 3 - 1 1 2 3 + 4 1 2 3 4 - 1 1 2 3 4 + ? + 7 1 2 3 4 5 6 7 - 1 1 2 3 4 5 6 7 【巩固】 计算: 2399 3!4!100! L . 【例 11 】 23450 1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) L LL = 2 1 2 (1 - 1 1 + 2 ) + 3 1 3 ( 1 1 + 2 - 1 1 + 2 + 3) + ? + 50 1 50 ( 1 1 + 2 + ? + 49 - 1 1 + 2 + ? + 50 【巩固】 2310 1 112(
13、12)(123)(1239)(12310) L LL() 【例 12 】 56677889910 56677889910 【巩固】 365791113 57612203042 = 3 5 + 6 7 + 5 6 + 3 + 4 3 4 + 4 + 5 4 5 + 5 + 6 5 6 + 6 + 7 6 7 【巩固】计算: 132579101119 3457820212435 1-2-2-1.分数裂项 .题库教师版page 8 of 8 = 1 3 + 3 4 + 2 5 + 5 7 + 7 8 + 4 + 5 4 5 + 3 + 7 3 7 + 3 + 8 3 8 + 5 + 7 + 7 5 7 【巩固】 12379111725 3571220283042 【巩固】 111112010263827 2330314151119120123124 10 119 = 17 -7 17 7 26 120 = 30 -4 30 4 38 123 = 41 -3 41 3 27 124 = 31 -4 31 4 【巩固】 计算: 5791113151719 1 612203042567290 【考点】分数裂项【难度】 3 星【题型】计算
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