六年级奥数-第六讲.分数百分数应用题.教师版.pdf
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1、第六讲:分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率,利用量对应率单位“1”解题 3.抓住不变量,统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨: 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题,一方面它是在整数应用题上的延续和深化,另一方 面,它有其自身的特点和解题规律在解这类问题时,分析中数量之间的关系,准确找出“量”与“率”之 间的对应是解题的关键 关键: 分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量,我们往往把其中的一个量看作是标准量也称为:单 位“ 1” ,进行对比分析。在几个量中,关键也是要找准单位“1”和对应的百分率,以及对应量三者的
2、关系 例如:(1)a 是 b 的几分之几,就把数b 看作单位“ 1” (2)甲比乙多 1 8 ,乙比甲少几分之几? 方法一:可设乙为单位“ 1” ,则甲为 19 1 88 ,因此乙比甲少 191 889 . 方法二:可设乙为8份,则甲为9份,因此乙比甲少 1 1 9 9 . 二、怎样找准分数应用题中单位“1” (一)、 部分数和总数 在同一整体中,部分数和总数作比较关系时,部分数通常作为比较量,而总数则作为标准量,那么 总数就是单位“1”。 例如 : 我国人口约占世界人口的几分之几?世界人口是总数,我国人口是部分数,世界人口就是单位 “1”。 解答题关键:只要找准总数和部分数,确定单位“1”就
3、很容易了。 (二)、 两种数量比较 分数应用题中,两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句,有的则没有“比”字,而是带 有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中,比后面的那个数量通常就 作为标准量,也就是单位“1”。 例如 :六( 2)班男生比女生多就是以女生人数为标准(单位“1”), 解题关键: 在另外一种没有比字的两种量相比的时候,我们通常找到分率,看“占”谁的,“相当于” 谁的,“是”谁的几分之几。这个“占”,“相当于”,“是”后面的数量谁就是单位“!”。 (三)、原数量与现数量 有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语,也不是部分数和总数的关系。这
4、类分数应 用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字,然后在分析。 例如: 水结成冰后体积增加了,冰融化成水后,体积减少了。 完善后: 水结成冰后体积增加了“水结成冰后体积比原来增加了”原来的水是单位“1” 冰融化成水后,体积减少了“冰融化成水后,体积比原来减少了”原来的冰是单位“1” 解题关键: 要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析 例题精讲 【例 1】 ( 小数报数学竞赛初赛) 甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上所带的钱共计是86 元. 在人 民市场,甲买一双运动鞋花去了所带钱的 4 9 ,乙买一件衬衫花去了人民币16元这样两人身上所 剩的钱正好
5、一样多问甲、乙两人原先各带了多少钱? 【解析】 方法一: 把甲所带的钱视为单位 “1” , 由题意, 乙花去 16元后所剩的钱与甲所带钱的 5 9 一样多,那么 8616 元钱正好是甲所带钱的 5 1 9 ,那么甲原来带了 5 (8616)(1)45 9 (元),乙原来带了 864541(元) 方法二: 乙 甲 86元16元 4份 设甲所带的钱数为9 份,则甲和乙都还剩5 份,所以每份是(8616(95)5 (元),则甲原来带了 5945 (元),乙原来带了5 51641(元). 【巩固】一实验五年级共有学生152 人,选出男同学的 1 11 和 5 名女同学参加科技小组,剩下的男、女人数 正
6、好相等。五年级男、女同学各有多少人? 【解析】 根据题意画出线段图,找出量率对应: 题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系,但从中可以看出,如果女工去掉5 人就和男工人数 的( 1 1 11 )相对应,因此总人数也应去掉5 人,相应的与男工人数的(1 1 11 1)相对应。因 此男工有: (152 5)(1 1 11 1)=77 (名)女工有:152 77=75 (名)答:男共有77 名,女工有75 名。 【巩固】五年级有学生238人,选出男生的 1 4 和14名女生参加团体操,这时剩下的男生和女生人数一样多, 问:五年级女生有多少人? 【解析】 男生人数为 3 (23814)(1)128
7、4 (人 ),女生有: 3 12814110 4 (人) 【例 2】甲、乙两个书架共有1100 本书, 从甲书架借出 1 3 ,从乙书架借出75% 以后,甲书架是乙书架的2倍 还多 150 本,问乙书架原有多少本书? 【解析】 这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化,变化之后的关系是两倍还多150 本,也就是说: 甲的 2 3 比乙的 1 4 的两倍还多 150 本,如果能够正确地理解和转化这个条件,这道题也就迎刃而解了, 从上图中不难看出, “甲的 2 3 比乙的 1 4 的两倍还多 150 本”其实也就是“甲的 2 3 比乙的 1 2 多 150 本” , 如果同时扩大两倍,他们之间
8、的关系就变成了“甲的 4 3 比乙多 300本” ,结合“甲乙的和为1100 本” 这个条件,这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。 12 1 33 , 1 175% 4 ,1502300 (本) , 11 2 42 , 21 (1100300)(22)600 32 (本)甲的书本数目 1100600500(本)乙的书本数目 方法二:设甲原有x 本书, 1 11502175%1100 3 xx,解得600x,则乙为 500 本。 【例 3】五年级上学期男、女生共有300 人,这一学期男生增加 1 25 ,女生增加 1 20 ,共增加了13人这一 学年六年级男、女生各有多少人? 甲甲甲 乙乙乙乙
9、 共 1100 本 甲 乙 甲 乙 150 本 还剩下 甲的 2 3 比乙的 1 2 多150 本 甲 乙 甲 乙150 本 甲 乙 甲 乙150 本 甲的 4 3 比乙多 300 本 同时扩大两倍 【解析】 方法一:此题我们用假设法来解答假设这一学期五年级男、女生人数都增加 1 25 ,那么增加的人数 应为 1 30012 25 (人),这与实际增加的13人相差 13121(人)相差 1人的原因是把女生增加的 1 20 看成 1 25 计算了,即少算了原女生人数的 111 2025100 ,也就是说这 1人正好相当于上学期女生人数 的 1% , 可 求 出 上 学 期 女 生 的 人 数 :
10、 111 (13300)()100 252025 ( 人 ) , 男 生 人 数 为 : 300100200 ( 人 ) , 这 学 年 女 生 的 人 数 : 1 100(1)105 20 ( 人 ) , 这 学 年 男 生 的 人 数 : 1 200(1)208 25 (人) 方法二: 本题可以看成男生1 份女生1 份 13(人) ,那么男生20 份女生20 份=13 20 260 (人),对比分析可以看出:300 260 40(人)对应男生的25 20 5(份) ,所以男生有40 5(25 1) 208 (人) ,女生有300 13 208 105 (人)。 【巩固】把金放在水里称,其重
11、量减轻 1 19 ,把银放在水里称,其重量减轻 1 10 现有一块金银合金重770克, 放在水里称共减轻了50克,问这块合金含金、银各多少克? 【解析】 方法一:设合金含金x克,则银有(770) x 克依题意,列方程得: 11 (770)50 1910 xx, 解得570x,所以这块合金中金有570克,银有200克 方法二:本题可以看成金1 份银 1 份 50(克),那么金10 份银 10 份=50 10 500 (克), 对比分析可以看出:770 500 270(克) 对应金的19 10 9(份) ,所以金有270 919 570 (人),银有 770 570=200(人) 。 【例 4】光
12、明小学有学生900 人, 其中女生的 4 7 与男生的 2 3 参加了课外活动小组,剩下的 340 人没有参加 这 所小学有男、女生各多少人? 【解析】 (用假设法)假设男生、女生都有 2 3 的人参加了课外活动小组,那么共有 2 900600 3 (人),比现在 多出了 60090034040 (人),这多出的 40 人即为女生的 24 37 ,所以女生人数为 24 40420 37 (人),男生人数为900420480 (人 ) 【巩固】二年级两个班共有学生90 人,其中少先队员有71人,又知一班少先队员占全班人数的 3 4 ,二班少 先队员占全班人数的 5 6 ,求两个班各有多少人? 【
13、解析】 本 题 与 鸡 兔 同 笼 问 题 相 似 , 根 据 鸡 兔 同 笼 问 题 的 假 设 法 , 可 求 得 一 班 人 数 为 553 (9071)()48 664 (人 ),那么二班人数为904842(人 ) 【例 5】盒子里有红, 黄两种玻璃球,红球为黄球个数的 2 5 ,如果每次取出4个红球,7个黄球, 若干次后, 盒子里还剩2个红球,50个黄球,那么盒子里原有_个玻璃球 【解析】 由于红球与黄球个数比为2:5,所以若每次取4个红球,10个黄球,则最后剩下的红球与黄球的个 数比仍为2:5,即最后剩下2个红球,5个黄球,而实际上是每次取4个红球,7个黄球,最后剩2 个红球,50
14、个黄球,每次少取了3 个黄球,最后多剩下45 个黄球,所以一共取了45315次,所 以球的总数为(47)15250217个 【巩固】甲乙两班的同学人数相等,各有一些同学参加课外天文小组,已知甲班参加的人数恰好是乙班未参 加人数的三分之一,乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一,问甲班没有参加的人数是乙 班没有参加的人数的几分之几? 【解析】 分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数,则:甲参+ 甲未 = 乙参 +乙未, 11118 34349 末 参末末末末末末末 末 甲 将甲乙 、乙甲代入上式,得乙甲甲乙, 解得 乙 【例 6】( 2009 年第七届“希望杯”五年级一试
15、)工厂生产一批产品,原计划15 天完成。实际生产时改进 了生产工艺, 每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的 5 11 多 10 件,结果提前4 天完成了 生产任务。则这批产品有件。 【解析】 设原计划每天生产11份,则实际每天生产5 份加 10 件,而根据题意这批产品共有11 15165 份,所 以实际每天生产165(154)15 份,所以 15 份与 5 份加 10 件的和相同,所以每份就是1件,所以这 批产品共有 165 件.或用方程来解 . 【例 7】有若干堆围棋子,每堆棋子数一样多,且每堆中白子都占28小明从某一堆中拿走一半棋子, 而且拿走的都是黑子,现在,在所有的棋子中,白子
16、将占32那么,共有棋子多少堆? 【解析】 设每堆棋子为100 个有 x 堆棋子, 那么每堆中白子为28 个,黑子为 72 个,那走一半棋子且为黑子 时,还剩白子为28x 个,黑子为( 72x 50)个,所以列方程为: 28 32% 10050 x x ,解得=4x,所 以有 4 堆。 【例 8】我从飞机的舷窗向外看去,看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域,假定白云占窗口画 面的一半,它遮住了岛的 1 4 ,因此岛在窗口画面上只占 1 4 ,问被白云遮住的那部分海洋占画面的 多少? 【解析】 5/12. 【例 9】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭,鸡的只数是鸭的只数的 1 1 4 倍鸭比鸡少几
17、分之几? 【解析】 方法一:把鸭看成单位“1” ,那么鸡就是 1 1 4 ,鸭比鸡少: 111 (11)1 445 ( 此时的单位“1”是鸡 的只数 ) 方法二:设鸭有4份,则鸡有5 份,所以鸭比鸡少 1 15 5 . 【巩固】某校男生比女生多 3 7 ,女生比男生少几分之几? 【解析】 方法一:男生比女生多 3 7 ,则男生有 310 1 77 ,女生比男生少 3103 7710 . 方法二:设女生有7份,则男生有10 份,所以女生比男生少 3 310 10 . 【例 10】 学校阅览室里有36 名学生在看书,其中女生占 4 9 ,后来又有几名女生来看书,这时女生人数占所 有看书人数的 9
18、19 问后来又有几名女生来看书? 【解析】 把总人数视为“1” ,紧抓住男生人数不变进行解答男生人数是 4 36(1)20 9 人,后来阅览室的 总人数是 9 20(1)38 19 (名),后来有 38362 (名)女生进来 【巩固】(2009 年五中小升初入学测试题)工厂原有职工128 人,男工人数占总数的 1 4 ,后来又调入男职 工若干人,调入后男工人数占总人数的 2 5 ,这时工厂共有职工人 【解析】 在调入的前后,女职工人数保持不变在调入前,女职工人数为 1 128(1)96 4 人,调入后女职工 占总人数的 23 1 55 ,所以现在工厂共有职工 3 96160 5 人 【巩固】有
19、甲、乙两桶油,甲桶油的质量是乙桶的 5 2 倍,从甲桶中倒出5 千克油给乙桶后,甲桶油的质量是 乙桶的 4 3 倍,乙桶中原有油千克 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的 55 527 ,甲桶中倒出5 千克后剩下的油的质量是两桶油总质 量的 44 437 ,由于总质量不变,所以两桶油的总质量为 54 5()35 77 千克,乙桶中原有油 2 3510 7 千克 【例 11】 (1)某工厂二月份比元月份增产10,三月份比二月份减产10问三月份比元月份增产了还是 减产了?( 2)一件商品先涨价15,然后再降价15,问现在的价格和原价格比较升高、降低还 是不变? 【解析】 (1)设二月份产量是
20、1,所以元月份产量为: 10 11+10% = 11 ,三月份产量为:1 10%=0.9, 因为 10 11 0.9 ,所以三月份比元月份减产了 (2)设商品的原价是1,涨价后为 1+15%=1. 15,降价 15% 为:1.151 15% =0.9775,现价和 原价比较为:0.9775 1,所以价格比较后是价降低了。 【例 12】 某校三年级有学生240 人,比四年级多 1 4 ,比五年级少 1 5 四年级、五年级各多少人? 【分析】 比四年级 ,可以设四年级为4 份,(一般情况下可设“比”、 “是” 、等词后面的实际量的份数为分数的 分母),则三年级为5 份恰有 240 人 ,所以一每份
21、就是240 548,所以四年级就有484192 人 , 同理可设五年级有5 份,则三年级有4 份恰是 240 人,所以五年级就有300 人. 【巩固】把100个人分成四队,一队人数是二队人数的 1 1 3 倍,一队人数是三队人数的 1 1 4 倍,那么四队有多 少个人 ? 【解析】 方 法一:设一队的人数是“1” ,那么二队人数是: 13 1 1 34 ,三队的人数是: 14 1 1 45 , 3451 1 4520 ,因此, 一、二、三队之和是: 一队人数 51 20 ,因为人数是整数,一队人数一定是20 的整数倍, 而三个队的人数之和是51(某一整数 ), 因为这是100以内的数, 这个整
22、数只能是1所 以三个队共有51人,其中一、二、三队各有20,15,16人而四队有:1005149(人) 方法二:设二队有3份,则一队有4份;设三队有4份,则一队有5份 .为统一一队所以设一队有 4,520份,则二队有15份,三队有16份,所以三个队之和为15 162051份,而四个队的 份数之和必须是 100的因数,因此四个队份数之和是 100份,恰是一份一人,所以四队有 1005149人 (人). 【例 13】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班,音乐班人数相当于另外两个班人数的 2 5 ,美术班人数 相当于另外两个班人数的 3 7 ,体育班有58人,音乐班和美术班各有多少人? 【解析】
23、条 件可以化为:音乐班的人数是所有班人数的 22 527 ,美术班的学生人数是所有班人数的 33 7310 , 所以体育班的人数是所有班人数的 2329 1 71070 , 所以所有班的人数为 29 58140 70 人, 其中音乐班有 2 14040 7 人,美术班有 3 14042 10 人 . 【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件,甲比乙多加工20 个,丙加工零件数是乙加工零件数的 4 5 ,甲 加工零件数是乙、丙加工零件总数的 5 6 ,则甲、丙加工的零件数分别为个、个 【解析】 把乙加工的零件数看作1,则丙加工的零件数为 4 5 ,甲加工的零件数为 453 (1) 562 ,由于甲
24、比乙 多加工 20 个, 所以乙加工了 3 20(1)40 2 个, 甲、 丙加工的零件数分别为 3 4060 2 个、 4 4032 5 个 【例 14】 王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄,王先生的年龄是另外三人年龄和的 1 2 ,李先生 的年龄是另外三人年龄和的 1 3 ,赵先生的年龄是其他三人年龄和的 1 4 ,杨先生26 岁,你知道王 先生多少岁吗? 【解析】 方法一:要求王先生的年龄,必须先要求出其他三人的年龄各是多少而题目中出现了三个“另外 三人”所包含的对象并不同,即三个单位“1”是不同的,这就是所说的单位“1”不统一,因此, 解答此题的关键便是抓不变量,统一单位“1”
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