专题19:动态几何之定值问题探讨.pdf
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1、1 【2013 年中考攻略】专题19:动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题,动态包括点动、线动和面动三大类,解这类题目要“ 以静制 动 ” ,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进 行了探讨,本专题对定值问题进行探讨。 结合 2011年和 2012 年全国各地中考的实例,我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨:(1)线 段(和差)为定值问题;(2)面积(和差)为定值问题;(3)其它定值问题。 一、线段(和差)为定值问题: 典型例题
2、: 例 1: (2012 黑龙江绥化8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 的对角线BD 上的一点, 且 BE=BC , AB=3 , BC=4 , 点 P 为直线 EC 上的一点,且PQBC 于点 Q,PRBD 于点 R (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ= 5 12 (不需证明) (2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变,则(1)中的 结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由 (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR 与 PQ 之间又具有怎样的
3、数量关系?请直接写出你的猜想 【答案】 解: (2)图 2 中结论 PRPQ= 12 5 仍成立。证明如下: 连接 BP,过 C 点作 CKBD 于点 K。 四边形ABCD 为矩形, BCD=90 。 又 CD=AB=3 , BC=4 , 22 22 BDCDBC345。 SBCD= 1 2 BC?CD= 1 2 BD?CK, 3 4=5CK, CK= 12 5 。 2 SBCE= 1 2 BE?CK, SBEP= 1 2 PR?BE,SBCP= 1 2 PQ?BC,且 SBCE=SBEPSBCP, 1 2 BE?CK= 1 2 PR?BE 1 2 PQ?BC。 又 BE=BC , 1 2 C
4、K= 1 2 PR 1 2 PQ。 CK=PRPQ。 又 CK= 12 5 , PRPQ= 12 5 。 (3)图 3 中的结论是PR PQ= 12 5 【考点】 矩形的性质,三角形的面积,勾股定理。 【分析】(2)连接 BP,过 C 点作 CK BD 于点 K根据矩形的性质及勾股定 理求出 BD 的长,根据三角形面积相等可求出CK 的长,最后通过等量代换即可 证明。 (3)图 3 中的结论是PRPQ=125 。 连接 BP,SBPESBCP=SBEC,SBEC 是固定值, BE=BC 为两 个底, PR, PQ 分别为高,从而PR PQ= 12 5 。 例 2: (2012 江西省 10 分
5、) 如图,已知二次函数L1:y=x 24x+3 与 x 轴交于 AB 两点(点 A 在点 B 左 边) ,与 y 轴交于点C (1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)研究二次函数L2:y=kx 24kx+3k ( k0 ) 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质; 是否存在实数k,使 ABP 为等边三角形?如果存在,请求出k 的值;如不存在,请说明理由; 若直线y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点,问线段EF 的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF 的长 度;如果会,请说明理由 【答案】 解: (1)抛物线 2 2 yx4x3x21, 3 二次函数L1
6、的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2, 1) 。 (2)二次函数L2与 L1有关图象的两条相同的性质: 对称轴为x=2;都经过A(1,0) ,B(3,0)两点。 存在实数k,使 ABP 为等边三角形 2 2 ykx4kx3kk x2k,顶点P(2, k) A(1,0) ,B(3,0) , AB=2 要使 ABP 为等边三角形,必满足|k|=3, k=3。 线段 EF 的长度不会发生变化。 直线 y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点, kx 24kx+3k=8k , k0 , x24x+3=8。解得: x 1=1,x2=5。 EF=x2x1=6。线段 EF 的长度不会发生变化。 【考
7、点】 二次函数综合题,二次函数的性质,等边三角形的性质,解直角三角形。 【分析】(1)抛物线 y=ax2+bx+c 中:a 的值决定了抛物线的开口方向, a0 时,抛物线的开口向上;a0 时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。 (2)新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的 关系入手进行分析。 当 ABP 为等边三角形时,P 点必为函数的顶点,首先表示出P 点纵坐标,它的绝对值正好 是等边三角形边长的 3 2 倍,由此确定k 的值。 联立直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、F 的坐标,从而可表示出EF 的长,若该
8、长度 为定值,则线段EF 的长不会发生变化。 例 3: (2012 山东德州12 分) 如图所示,现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD ,点 P 为正方形 AD 边上 的一点(不与点A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点B 落在 P 处,点 C 落在 G 处, PG 交 DC 于 H, 折痕为 EF,连接 BP、BH (1)求证: APB= BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时, PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为S,求出 S与 x 的函数关系式, 试问 S 是否存在最小值?若存在, 求出这个最小值;若不存在,请说明理
9、由 4 【答案】 解: (1)如图 1, PE=BE, EBP=EPB 又 EPH=EBC=90 , EPH EPB=EBC EBP,即 PBC= BPH。 又 AD BC, APB= PBC。 APB= BPH。 (2) PHD 的周长不变为定值8。证明如下: 如图 2,过 B 作 BQPH,垂足为Q。 由( 1)知 APB= BPH, 又 A= BQP=90 , BP=BP, ABP QBP(AAS) 。 AP=QP ,AB=BQ 。 又 AB=BC , BC=BQ 。 又 C=BQH=90 , BH=BH , BCH BQH(HL ) 。 CH=QH 。 PHD 的周长为: PD+DH+
10、PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 ( 3)如图 3,过 F 作 FM AB ,垂足为 M,则 FM=BC=AB 。 又 EF 为折痕, EFBP。 EFM+ MEF= ABP+ BEF=90 。 EFM= ABP。 又 A=EMF=90 ,AB=ME , EFM BPA(ASA ) 。 EM=AP=x 在 RtAPE 中, (4BE) 2+x2=BE2,即 2 x BE2+ 8 。 2 x CFBEEM2+x 8 。 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等, 2 2 2 11x11 SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+6 22422 。 5 1 04 2 ,当 x=2
11、时, S 有最小值6。 【考点】 翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二 次函数的最值。 【分析】(1)根据翻折变换的性质得出PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出APB= PBC 即可得 出答案。 (2)先由 AAS 证明 ABP QBP,从而由HL 得出 BCH BQH ,即可得 CH=QH 。因此, PDH 的周长 =PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。 (3)利用已知得出EFM BPA,从而利用在RtAPE 中, (4BE)2+x 2=BE2,利用二次函数 的最值求出即可。 例 4: (2012 福建泉州12
12、分) 已知: A、B、C 不在同一直线上. (1)若点 A、B、C 均在半径为R 的 O 上, i)如图一,当A=45 时, R=1,求 BOC 的度数和BC 的长度; ii )如图二,当A 为锐角时,求证sinA= BC 2R ; (2).若定长线段 BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM 、AN(B、C 均与点 A 不重合) 滑动, 如图三, 当 MAN=60 ,BC=2 时,分别作BP AM ,CPAN ,交点为点P ,试探索:在整个滑动过程中,P、A 两点的距离是否保持不变?请说明理由. 【答案】 解: (1)i) A=45 , BOC=90 (同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的
13、一半)。 又 R=1,由勾股定理可知BC=11=2。 ii)证明:连接BO 并延长,交圆于点E,连接 EC。 可知 EC BC(直径所对的圆周角为90 ) , 且 E=A(同弧所对的圆周角相等)。 6 故 sinA=sin A= BCBC BE2R 。 (2)保持不变。理由如下: 如图,连接AP,取 AP 的中点 K,连接 BK、CK , 在 RtAPC 中, CK= 1 2 AP=AK=PK 。 同理得: BK=AK=PK 。 CK=BK=AK=PK。点 A、B、P、 C 都在 K 上。 由( 1)ii)sinA= BC 2R 可知 sin60 = BC AP 。 AP= BC4 3 sin
14、603 (为定值)。 【考点】 三角形的外接圆与外心,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,直 角三角形中线性质。 【分析】(1)i)根据圆周角定理得出BOC=2 A=90 ,再利用勾股定理得出BC 的长; ii )作直径CE,则 E=A,CE=2R,利用 sin A=sin E= BCBC BE2R ,得出即可。 (2)首先证明点A、B、P、C 都在 K 上,再利用sinA= BC 2R ,得出 AP= BC43 sin603 (定 值)即可。 例 5: (2012 山东潍坊11分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2,O)、B(2,0)、 C(0, l)三点,
15、过坐标原点O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点 分别过点C、D(0,2)作平行于x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切; (3)求线段 MN 的长 (用 k 表示 ),并证明M、N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段MN 的长 7 【答案】 解: (1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2bxc, 则 4a2b+c=0 4a+2b+c=0 c=1 解得 1 a= 4 b=0 c=1 。 抛物线对应二次函数的解析式所以 2 1 y=x1 4 。 ( 2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),因为
16、点M、N 在抛物线上, 22 1122 11 y =x1y =x1 44 , x2 2=4(y 2+1)。 又 2 2222 22222 ONxy4 y1yy2, 2 ONy2。 又 y2 l, ON=2y2。 设 ON 的中点 E,分别过点N、E 向直线 1 l作垂线,垂足 为 P、F, 则 2 2yOCNP EF 22 , ON=2EF , 即 ON 的中点到直线 1 l的距离等于ON 长度的一半, 以 ON 为直径的圆与 1 l相切。 ( 3)过点 M 作 MH NP 交 NP 于点 H,则 22 222 2121 MNMHNHxxyy, 又 y1=kx 1,y2=kx2,( y2y1)
17、2=k 2(x 2x1) 2。 MN2=(1+k2)(x 2一 xl) 2。 又点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上, 2 1 kx=x1 4 ,即 x 24kx4=0, x 2x1=4k,x2 x1=4。 MN 2=(1+k2)(x 2一 xl) 2=(1+k2) (x 2xl) 24x 2 xl =16(1+k 2)2。 MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 2 l于点 Q,过点 M 作 MS 2 l交 2 l于点 S, 8 则 MS NQ=y12 y22= 22 12 11 x1+x1+4 44 2 22222 121212 111 =x+x+2=x +x2xx+2=16k
18、 +8 +2=4k +4=4 1+k 444 MS+NQ=MN ,即 M、N 两点到 2 l距离之和等于线段MN 的长。 【考点】 二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切 的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。 【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的 解析式。 (2)要证以ON 为直径的圆与直线 1 l相切,只要证ON 的中点到直线 1 l的距离等于ON 长的一半 即可。 (3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN 和 M、N 两点到直线 2 l的距离之和,相比较即 可。 例 6:
19、 (2012 湖北咸宁10 分) 如图 1,矩形 MNPQ 中,点 E,F,G,H 分别在 NP,PQ,QM,MN 上,若 4321,则称四边形EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形 图 2,图 3,图 4 中,四边形 ABCD 为矩形,且AB=4 , BC=8 理解与作图: (1)在图 2,图 3 中,点 E,F 分别在 BC,CD 边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的 反射四边形EFGH 计算与猜想: (2)求图 2,图 3 中反射四边形EFGH 的周长, 并猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是否为定值? 启发与证明: (3)如图 4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF
20、 交 BC 的延长线于M,试利用小华同学给我 们的启发证明(2)中的猜想 9 【答案】 解: (1)作图如下: (2)在图 2 中, 22 EFFGGHHE24202 5, 四边形EFGH 的周长为8 5。 在图 3 中, 22 EFGH215, 22 FGHE36453 5, 四边形EFGH 的周长为2523 58 5。 猜想:矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。 (3)延长 GH 交 CB 的延长线于点N, 12,15, 25。 又 FC=FC, RtFCERtFCM (ASA ) 。 EF=MF ,EC=MC 。 同理: NH=EH ,NB=EB 。 MN=2BC=16 。 M905
21、901,N903,13,MN。 GM=GN 。 过点 G 作 GKBC 于 K,则 1 KMMN8 2 。 2222 GMGKKM484 5。 四边形EFGH 的周长为2GM8 5。矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。 【考点】 新定义,网格问题,作图(应用与设计作图),勾股定理,全等三角形的判定和性质,矩形的性 质,等腰三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据网格结构,作出相等的角即可得到反射四边形。 10 (2)图 2中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE 的长度,然后即可得到周长,图3 中利用勾股 定理求出 EF=GH ,FG=HE 的长度,然后求出周长,从而得到四边形EFGH
22、的周长是定值。 (3)延长 GH 交 CB 的延长线于点N,再利用 “ASA ” 证明 Rt FCE 和 Rt FCM 全等,根据全等 三角形对应边相等可得EF=MF , EC=MC , 同理求出NH=EH , NB=EB , 从而得到MN=2BC , 再证明 GM=GN , 过点 G 作 GK BC 于 K,根据等腰三角形三线合一的性质求出 1 KMMN8 2 , 再利用勾股定理求出GM 的长度,然后即可求出四边形EFGH 的周长。 例 7: (2012 广西崇左10 分) 如图所示,在正方形ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、 CD 上移动,但点A 到 EF 的距离 AH 始终保持与A
23、B 的长度相等,问在点E、F 移动过程中; (1) EAF 的大小是否发生变化?请说明理由. (2) ECF 的周长是否发生变化?请说明理由. 11 练习题: 1. (2011 湖南岳阳8 分) 如图,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到ABD 和 ECF,固定 ABD ,并把 ABD 与 ECF 叠放在一起 (1)操作:如图,将ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处,ECF 绕点 F 在 BD 边上方 左右旋转,设旋转时FC 交 BA 于点 H(H 点不与 B 点重合),FE 交 DA 于点 G(G 点不与 D 点重合) 求证: BH?GD=BF
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