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1、1 / 6 两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析: 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,是正弦线、余弦线和诱 导公式等知识的延伸, 是后继内容二倍角公式、 和差化积、 积化和差公式的知识 基础,对于三角变换、 三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题 的解决有重要的支撑作用。 本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应 用。 二、学情分析: 本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于 高度发展的时期,学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。 他们经过一个学期的高中生活, 储备了一定的数学知识, 掌握了一些高中数学的 学习方法
2、,这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标: 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点: 教学重点: 两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点: 两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具:多媒体 六、教学方法:讲授法,探究法 七、教学过程: 教学过程设计意图 1、 判断 3 4 是第几象限角?它的正弦值与余弦值是多少?它的 终边与单位圆的交点坐标是什么? 2 / 6 基 础 练 习 2、若有两点 13 (1,0),(,) 22 AB,则 AB两点间的距离是 _. 3、填值:c
3、os60_,cos45_ 4、cos15_? 提问: 1、角的终边与单位圆的交点坐标是什么?如何研究角的 三角比? 2、平面内两点 1122 (,),(,)A x yB xy,则 AB 两点的距离为AB 22 1212 ()()xxyy。 通 过 做 题 和 简 述 每 题 所 用 知 识 点 使 学 生 回 顾 所 学知识、为新 课 的 推 进 做 准备。 引 入 新 课 求cos15 的值有难度,先回答下列问题: Q1 :15 可以用哪两个特殊角作差表示? Q2 : cos15 可以用这两个特殊角的三角函数值作差表示吗? 我们知道cos15cos(6045 )cos60cos45 oooo
4、o , 先从 cos15 猜一猜cos()公式的结构形式, 262 13 cos15() 4222 =? 怎么计算cos(6045 ) oo ,是我们本节课所研究的问题。 【探究】cos()公式的结构形式? 研究问题遵循从特殊到一般的规律,研究两角和与差的余 弦公式也是。 先看几个特殊角,寻找规律: cos(6030)cos60cos30sin 60sin30 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 通 过 求 解 cos15,引 入 对 两 角 差 的 余 弦 公 式 的探讨 让 学 生 通 过 特 殊 值 在 转 化 到 一 般 情 况, 符合学生 的认知规律。 3 / 6 cos(120
5、60) cos120cos60sin120sin60 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 猜想:cos()coscossinsin?? 公 式 推 导 通过探究我们猜想得出cos()的公式,从猜想到结论 还需要严格的证明。 提问:前面我们已经学习过任意角的三角比,那么该如何 研究的三角比呢? 设、是两个任意角,把它们的顶点都置于平面直角坐 标系的原点,始边都与x 轴的正方向重合,如图1,它们的终 边OA、 OB 分别与单位圆相交于A、 B两点。 图 1 Q1 :你能用、的三角比表示 A、B两点坐标吗? Q2 :AOB角度能用、表示吗? Q3 :我们要研究AOB的三角比,必须要把AOB位置放
6、在什 么地方?怎样达到目的? 答:始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4 :将终边 OA、 OB 绕 O 旋转,转到AO和BO的位置, 则 A , B 的坐标是什么? 通 过 一 系 列 问 题 的 设 置 找 出 相 等 的 数量关系, 从 而 推 导 出 公 式 O y A)sin,(cos )sin,(cosB x 4 / 6 图 2 Q5 :这两个图中,出现了、及的三角比,观察两图, 旋转过程中哪些量不变,两图中哪些量与我们的研究目标有 关,能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系? 说明:找到|BAAB是难点,教师进行了适时点拨, 学生找到了这个关键数量关系 证
7、明:|BAAB 22 22 |(coscos)(sinsin) 22(coscossinsin) |cos()1sin () 22cos() AB A B ? cos()coscossinsin? 这个公式叫做两角差的余弦公式。它对任意角和都成 立。 第一关:小试身手 请用特殊角分别代替公式中、,你能求哪些非特殊角 的值呢?(选择的特殊角可以是306045等) (1) 0 cos15_; (2) 0 cos105_; (3) 0 cos75_. 利 用 变 量 替 换 的 方 法 得 出 两 角 和 的 余弦公式 )0, 1(B )sin(),(cos(A y O x 5 / 6 总结:可以利
8、用两角和与差的余弦公式求非特殊角的三角比。 Q6 :根据两角差的余弦公式你能说出cos()的计算公式 吗? 用代 替, 可 得 到 两 角 和 的 余 弦 公 式 : cos()coscossinsin? 由此得到两角和与差的余弦公式: cos()coscossinsin? cos()coscossinsin? Q7 :你能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗? (1)左右符号互异; (2)ccss, “酷酷与帅帅”。 归 纳 公 式 特 征 有 利 于 学 生记忆 例 题 精 讲 第二关:温故知新 若固定,分别用 2 ,代替,你将会发现什么结论 呢? (1)cos()_(2)cos(
9、)_ 2 总结:诱导公式是两角和与差的余弦的特殊情况。 第三关:各显神通 倘若让你对 C( )公式中的、自由赋值,你又将发现 什么结论呢? (1)cos_() 总结:两角和与差的余弦公式是后面学习二倍角公式的基础。 让 学 生 发 现 C( ) 公 式 是 诱 导 公 式的推广。 二倍角公式, 为 以 后 学 习 做铺垫 6 / 6 下面通过两个例题,巩固一下今天所学的两角和与差的余 弦公式。 例 1、22sin23sin22cos23cos 变:cos23 cos22sin157 sin( 22 ) 例 2 、 已 知) 2 3 ,(, 5 3 cos), 2 (, 3 2 sin, 求 )cos(的值。 变: 的值。求都是锐角,已知cos, 13 5 )cos(, 5 4 cos, 总结: “变角的技巧” coscos() 例 1 让学生 学 会 逆 用 公 式 例 2 让学生 学 会 正 用 公 式,以及“变 角”的方法 小 结 本节课学习了什么? 学 生 自 行 总 结 作 业 布 置 课后作业:伴你成长第1 课时
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