中考数学二次函数动点问题(文档良心出品).pdf
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1、中考数学二次函数动点问题 1 / 21 模式 1:平行四边形 分类标准: 讨论对角线 例如:请在抛物线上找一点p 使得PCBA、四点构成平行四边形,则可分成以下几种情 况 (1)当边AB是对角线时,那么有BCAP/ (2)当边 AC是对角线时,那么有CPAB/ (3)当边BC是对角线时,那么有BPAC / 例题 1:(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14 分)在平面直角坐标系中,已知抛物 线经过 A(-4 ,0) ,B(0, -4) ,C(2,0)三点 . (1) 求抛物线的解析式; (2) 若点 M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m , AMB的面积为S.求 S 关于 m 的
2、函数关系式,并求出S的最大值; (3) 若点 P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=x上的动点,判断有几个位置能使以点P、 Q 、B、0 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标 . 练习: 如图 1,抛物线32 2 xxy与 x 轴相交于A、B 两点(点A 在点 B 的左侧),与 y 轴相交于点C,顶点为D 中考数学二次函数动点问题 2 / 21 (1)直接写出A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作 PF/DE 交抛物线于点F,设点 P 的横坐标为m 用含 m 的代数式表示线段PF 的长,并求
3、出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形? 设 BCF 的面积为S,求 S与 m 的函数关系 模式 2:梯形 分类标准: 讨论上下底 例如:请在抛物线上找一点p 使得PCBA、四点构成梯形,则可分成以下几种情况 (1)当边 AB是底时,那么有PCAB/ (2)当边AC是底时,那么有BPAC / (3)当边BC是底时,那么有APBC/ 例题 2: 已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1 所示,点A 的坐标为 (4,0),点 C 的 坐标为)20( ,直线xy 3 2 与边 BC 相交于点D (1)求点 D 的坐标; 中考数学二次函数动点问题 3 / 21 (2)抛物线cbxaxy
4、 2 经过点 A、D、O,求此抛物线的表达式; (3)在这个抛物线上是否存在点M,使 O、 D、 A、M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出 所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由 练习: 已知二次函数的图象经过A(2, 0)、 C(0,12) 两点,且对称轴为直线x4,设顶点 为点 P,与 x 轴的另一交点为点B (1)求二次函数的解析式及顶点P 的坐标; (2)如图1,在直线y2x 上是否存在点D,使四边形OPBD 为等腰梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外),以每秒2个单位长度的速 度由点
5、P 向点 O 运动,过点M 作直线MN/x 轴,交PB 于点 N 将PMN 沿直线MN 对 折,得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中,设P1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为 S,运动时间为t 秒,求 S关于 t 的函数关系式 中考数学二次函数动点问题 4 / 21 模式 3:直角三角形 分类标准: 讨论直角的位置或者斜边的位置 例如:请在抛物线上找一点p 使得PBA、三点构成直角三角形,则可分成以下几种情况 (1)当A为直角时,ABAC (2)当 B为直角时,BABC (3)当C为直角时,CBCA 例题 3:如图 1,已知抛物线yx2bxc 与 x 轴交于A、B 两点(点A 在点
6、B 左侧),与y 轴交于点 C(0, 3),对称轴是直线x1,直线 BC 与抛物线的对称轴交于点D (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线BC 的函数表达式; (3)点 E 为 y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交CE 于点 F,交抛物线于P、Q 两点,且点P 在第三象限 当线段 3 4 PQAB时,求 tanCED 的值; 当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标 中考数学二次函数动点问题 5 / 21 练习: 如图 1,直线4 3 4 xy和 x 轴、 y 轴的交点分别为B、C,点 A 的坐标是( -2, 0) (1)试说明 ABC 是等腰三角形; (2)
7、动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点B 运动,同时动点N 从点 B 出发沿线段BC 向点 C 运动, 运动的速度均为每秒1 个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动设M 运 动 t 秒时, MON 的面积为S 求 S与 t 的函数关系式; 设点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在S4 的情形?若存在,求出对应的t 值;若不存在 请说明理由; 在运动过程中,当MON 为直角三角形时,求t 的值 中考数学二次函数动点问题 6 / 21 模式 4:等腰三角形 分类标准: 讨论顶角的位置或者底边的位置 例如:请在抛物线上找一点p 使得PBA、三点构成等腰三角形,则可分成以下几种情况 (1)
8、当A为顶角时,ABAC (2)当 B为顶角时,BABC (3)当C为顶角时,CBCA 例题 4:已知:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上, OC 在 x 轴的正半轴上,OA2, OC3,过原点O 作 AOC 的平分线交AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DEDC,交 OA 于点 E (1)求过点E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F,另一边与线 段 OC 交于点G如果 DF 与( 1)中的抛物线交于另一点M,点 M 的横坐标为 5 6 ,那么EF 2GO 是否成立?若
9、成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于( 2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在 成立,请说明理由 中考数学二次函数动点问题 7 / 21 A B C O P Q D y x 练习:( 2012 江汉市中考模拟)已知抛物线yax 2bxc(a0) 经过点 B( 12, 0) 和 C( 0, 6) ,对称轴为x2 ( 1) 求该抛物线的解析式 ( 2) 点 D 在线段AB 上且 AD AC,若动点P 从 A 出发沿线段AB 以每秒 1 个单位长度的速
10、度 匀速运动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时 刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t( 秒) 和点 Q 的运动速度; 若存在,请说明理由 ( 3) 在( 2) 的结论下,直线x1 上是否存在点M,使 MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所 有点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 模式 5:相似三角形 突破口:寻找比例关系以及特殊角 例题 5:(据荆州资料第58 页第 2 题改编) 在梯形 ABCD中, AD BC ,BA AC , B = 45 0,AD = 2 ,BC = 6 ,以 BC所在直线为x 轴,建立如图所示的平
11、面直角坐标系,点A在 y 轴上。 (1)求过 A、 D 、C三点的抛物线的解析式。 (2)求 ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求M的半径。 (3)E为抛物线对称轴上一点,F 为 y 轴上一点,求当ED EC FDFC最小时, EF的长。 (4)设 Q为射线 CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的 点 P、 Q ,使得以P、Q 、 C 为顶点的与ADC相似?若存在,直接写出点P、 Q的坐标,若不 存在,则说明理由。 中考数学二次函数动点问题 8 / 21 x y D BC A O 模拟题汇编之动点折叠问题 1. ( 2012 深圳模拟)(本题12 分)已知二次函数cb
12、xxy 2 与x轴交于 A( 1,0)、 B (1,0)两点 . (1)求这个二次函数的关系式; (2)若有一半径为r的 P,且圆心P 在抛物线上运动,当P 与两坐标轴都相切时,求半径 r的值 . (3)半径为1 的 P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,P与 y 轴相离、相 交? 2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数cbxxy 2 的图象与x轴交于A 、B两点,A点 在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y 轴交于C(0, -3)点,点P是直线BC下方的抛 物线上一动点 . (1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式; (2)连结PO、PC ,并把POC沿 C O 翻折,得到
13、四边形POP C, 那么是否存在点P,使四边 形 POP C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 中考数学二次函数动点问题 9 / 21 解: 将 B、C 两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1 , y=x-3 1 分 将 B、C 两点的坐标代入得: 3 03 c cb ,解得: 3 2 c b 所以二次函数的表达式为:32 2 xxy.3 分 (2)存在点P,使四边形POP / C 为菱形 .设 P 点坐标为( x,32 2 xx), PP / 交 CO 于 E.若四边形POP / C 是菱形,则有PCPO.5 分 连结 PP / 则 PECO 于 E,
14、OE=EC = 2 3 y= 2 3 .32 2 xx= 2 3 .6 分 解得 1 x= 2 102 , 2 x= 2 102 (不合题意,舍去) P点的坐标为( 2 102 , 2 3 ). 9 分 中考数学二次函数动点问题 10 / 21 3. ( 2012 江西模拟)已知抛物线 2 34yxx交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B,C(点 B 在点 C 的右侧) .过点 A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P,过点P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线l 于点 Q.连接 AP. (1)写出 A, B,C 三点的坐标; (2)若点 P 位于抛物线的对称轴的右
15、侧: 如果以 A,P,Q 三点构成的三角形与AOC 相似,求出点P 的坐标; 若将 APQ 沿 AP 对折,点Q 的对应点为点M. 是否存在点P,使得点M 落在 x 轴上 . 若存 在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 4.(2012 安庆模拟)在直角梯形ABCD 中, B90 ,AD1,AB3,BC4,M、N 分别 是底边 BC 和腰 CD 上的两个动点,当点M 在 BC 上运动时,始终保持AMMN、NPBC ( 1) 证明: CNP 为等腰直角三角形; ( 2) 设 NPx,当 ABM MPN 时,求 x 的值; ( 3) 设四边形ABPN 的面积为y,求y 与 x 之间的函数关系
16、式,并指出x 取何值时,四边形 ABPN 的面积最大,最大面积是多少 解:( 1)过 D 作 DQBC 于 Q,则四边形ABQD 为平行四边形DQ=AB= 3,BQ=AD= 1 QC=DQ DQC 中 C= QDC=45 RtNPC 为等腰 Rt (4 分) (2)ABMVMPNVMP=AB= 3, BM=NP A B M P C D N 中考数学二次函数动点问题 11 / 21 NPC 为等腰 Rt PC=NP= x BM=BC MPPC=1x 1- x= x x= 2 1 当 ABMV MPNV时, x = 2 1 (8 分 ) (3) ABPN S四边形= 2 1 (AB+NP ) BP
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