中考数学第一轮复习导学案之解直角三角形及其应用.pdf
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1、中考数学复习资料,精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持,感激不尽! 解直角三角形及其应用 课前热身 1. 图 1 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水 平线, ABC=150 ,BC的长是 8 m,则乘电梯从点 B到点 C上升的高度h 是() A 8 3 3 m B4 m C4 3 m D8 m 2. 如图 2, 长方体的长为 15,宽为 10,高为 2 0 ,点 B离点 C的 距离为 5,一只蚂蚁如果要沿着长方 体的表面从点 A爬到点 B,需要爬行的最短距离是() A. 215 B. 25 C. 1055 D. 35 3. 如图 3,先锋村准备在坡
2、角为的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5 米,那么这两树 在坡面上的距离 AB为() A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 4. 如图 4, 在 RtABC中, ACB 90,1BC,2AB,则下列结论正 确的是() A 3 sin 2 AB 1 tan 2 A C 3 cos 2 BD tan3B 5. 如图 5,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距 离)为 4m 如果在坡度为0.75 的山坡上种树,也要求株距为 4m ,那 么相邻两树间的坡面距离为() A5m B6m C7m D8m 图 2 E A B C D 150 图 1 h B C
3、A 图 4 5 米 A B 图 3 【参考答案】 1. B 【解析】过点 B作直线 AB的垂线, ,垂足为 E,在 RtBCE 中,sin CBE= BC CE ,即 sin3 0= 2 1 8 h , 所以 h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形,因为知道斜边长,所以利用已知锐角的正弦关系解答 即可. 本题还可以利用“直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半”来求解. 2. B 【解析】根据“两点之间, 线段最短”和“勾股定理” 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 B, 较短爬行路线有以下4 条(红色线段表示) . 计算可知最短的是第2 条. 【点评】在立体图形上找最短距离,通常要
4、把立体图形转化为平面图形(即表面展开图)来解答, 但是不同的展开图会有不同的答案,所以要分情况讨论. 3. B 【解析】利用锐角三角函数解答, 在以 AB为斜边的直角三角形中, cos AB 5 ,所以 AB=cos 5 . 【点评】在直角三角形中,根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. 4. D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值. 由已知可知 A=30 , B=60,对照 30、60的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角30、45、60的三角函数值是解 题的关键 . 本题也可以通过勾股定理计算出AC ,然后根据锐角三角函数定义判断. 5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定
5、义. 坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比,在这里设铅 直高度为 h 米,则有 h:4=0.75 ,h=3,利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为 22 43=5m. 【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上,通过直角三角形的知识来解答. 考点聚焦 1掌握并灵活应用各种关系解直角三角形,这是本节重点 2了解测量中的概念,并能灵活应用相关知识解决某些实际问题,而在将实际问题转化为直角 三角形问题时, ?怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点,也 是中考的热点 备考兵法 正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量,航海,航空,?工程等实际问题中的常用概 念是
6、解决这类问题的关键 注意: (1)准确理解几个概念:仰角,俯角;坡角;坡度;方位角 (2)将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形 (3)在一些问题中要根据需要添加辅助线,构造出直角三角形,?从而转化为解直角三角形的 问题 考点链接 1解直角三角形的概念 :在直角三角形中已知一些_ 叫做解直角三角形 2解直角三角形的类型 : 已知_;已知 _ 3如图( 1)解直角三角形的公式 : (1)三边关系: _ (2)角关系: A+B_, (3)边角关系: sinA=_,sinB=_,cosA=_ cosB=_,tanA=_ ,tanB=_ 4如图( 2)仰角是 _,俯角是 _ 5如图( 3)
7、方向角: OA :_,OB :_,OC :_,OD :_ 6如图( 4)坡度: AB的坡度 iAB_, 叫_,tani _ (图 2)(图 3)(图 4) 典例精析 例 1(安徽省) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成45角,作业时调整成60角(如图所示),则梯 子的顶端沿墙面升高了 _m A C B 45 南 北 西东 60 A D C B 70 O O A B C c b a A CB 【答案】2( 32)(约 0.64 ). 【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m 的梯子 、地面和墙高构成了直角三角形,当梯子搭在 墙上与地面成 45的角时,梯子的顶端到地面的距离是4sin45 =22
8、,当梯子搭在墙上与地面 成 60的角时,梯子的顶端到地面的距离是4sin60 =23. 则梯子的顶端沿墙面升高了2( 32) (约 0.64 )m 【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形,利用锐角三角函数或勾股定理解答即可. 例 2 (山东临沂) 如图,A,B是公路 l(l 为东西走向) 两旁的两个村庄, A村到公路 l 的距离 AC=1km , B村到公路 l 的距离 BD=2km ,B村在 A村的南偏东 45方向上 (1)求出 A,B两村之间的距离; (2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺 规在图中作出点 P的位置(保留清晰的作图痕迹
9、,并简要写明作法) 【分析】 (1)设 AB与 CD的交点为 O ,那么三角形 AOC 和 BOD 是两个等要直角三角形,根据A、B到 公路的距离,利用勾股定理计算AO 、 BO , 进而计算 AB的长度 . 或者以 AB为斜边构造直角三角形解答. (2)作 AB的垂直平分线,与公路l 的交点即为所求 . 【答案】解:(1)方法一:设 AB与 CD的交点为 O ,根据题意可得45AB ACO和BDO都是等腰直角三 角形 2AO,2 2BO AB,两村的距离为2223 2ABAOBO(km ) 方法二:过点 B 作直线 l 的平行线交 AC 的延长线于 E 易证四边形 CDBE 是矩形, 北 东
10、 B A C D l 2CEBD 在 RtAEB中,由45A,可得3BEEA 22 333 2AB(km ) AB,两村的距离为3 2km (2)作图正确,痕迹清晰 作法:分别以点 AB,为圆心,以大于 1 2 AB的长为 半径作弧, 两弧交于两点 MN, 作直线 MN ; 直线 MN 交 l 于点 P ,点 P 即为所求 【点评】 (1)点到线的距离是垂线短的长,所以图形中就包含了直角三角形,然后利用勾股定理计 算便是. 本题也可以利用锐角三角函数计算. (2) “到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础. 迎考精练 一、选择题 1. (山东泰
11、安) 在一次夏令营活动中,小亮从位于A点的营地出发,沿北偏东60方向走了 5km到 达 B地,然后再沿北偏西30方向走了若干千米到达C地,测得 A地在 C地南偏西 30方向,则 A、C两地的距离为 A.km 3 310 B.km 3 35 C.km25 D.km35 2. (山东潍坊) 如图,小明要测量河内小岛B到河边公路 l 的距离,在 A点测得30BAD ,在 C点测得60BCD , 又测得50AC米,则小岛 B到公路 l 的距离为()米 A25 B25 3 C 100 3 3 D2525 3 二、填空题 1.(四川遂宁) 如图,已知 ABC中,AB=5cm , BC=12cm ,AC=1
12、3cm ,那么 AC边上 的中线 BD的长为 cm. B A C D l N M O P B C A D l 2 题 E 第 1 题图 2. (浙江宁波) 如图,在坡屋顶的设计图中,ABAC ,屋顶的宽度 l 为 10 米,坡角为 35,则 坡屋顶高度 h 为米 (结果精确到 0.1 米) 3.(湖南益阳) 如图,将以 A为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线 BC平移得到CBA,使点 B 与 C重合,连结BA,则CBAtan的值为 . 4. (山东济南) 如图,AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cosAOB的值是 5. (山东泰安) 如图,在 RtABC 中, ACB=90 , AB,
13、沿 ABC的中线 CM将CMA 折叠, 使点 A落在点 D处,若 CD恰好与 MB垂直,则 tanA 的值为 . 6. (湖南衡阳) 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为52米, 则这个坡面的坡度为 _. 7.(湖北孝感) 如图,角的顶点为 O ,它的一边在 x 轴的正半轴上,另一边OA上有一点 P (3,4) , 则sin O A B 第 4 题图 A B C h l A C(B) B A C D D 三、解答题 1. (河南省) 如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m 的顶灯 . 已知梯子由两个 相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板
14、七等分,使用时梯脚的固定跨度为1m 矩形面与 地面所成的角 为 78. 李师傅的身高为 l.78m ,当他攀升到头顶距天花板0.05 0.20m 时,安装起 来比较方便 . 他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便? (参考数据: sin78 0.98 ,cos780.21 ,tan784.70.) 2. (福建福州) 如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,请按 要求完成下列各题: (1) 用签字笔 画 AD BC (D为格点) ,连接 CD ; (2) 线段 CD的长为; (3) 请你在ACD的三个内角中任选一个锐角 ,若你所选
15、的锐角是,则它所对应的正弦函 数值是 . (4)若 E为 BC中点,则 tanCAE的值是 3. (山东德州) 如图,斜坡 AC的坡度(坡比)为1:3,AC 10 米坡顶有一旗杆BC ,旗杆顶端 B 点与 A点有一条彩带 AB相连, AB 14米试求旗杆 BC的高度 4. (浙江台州) 如图,有一段斜坡 BC长为 10 米,坡角12CBD,为方便残疾人的轮椅车通行, 现准备把坡角降为 5 (1)求坡高 CD ; (2)求斜坡新起点 A与原起点 B 的距离(精确到 0.1 米) 5.(河北省) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径 AB是河底线,弦CD是水位线, CD AB ,且 CD
16、 = 24 m ,OE CD于点 E已测得 sin DOE = 12 13 (1)求半径 OD ; (第 4 题) D C B A 512 参考数据 sin120.21 cos120.98 tan50.09 (2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干? 6. (江苏省) 如图,在航线 l的两侧分别有观测点 A和 B, 点 A到航线l的 距离为 2km , 点 B位于点 A北偏东 60方向且与 A相距 10km处 现有一艘轮船从位于点B南偏西 76 方向的 C处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A的正北方向的 D处 (1)求观测点 B到航线
17、l 的距离; (2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h) (参考数据:31.73, sin760.97 , cos760.24 , tan764.01 ) 7. (湖南娄底) 在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一 长为 30 米的宣传条幅 AE ,张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为 50,测得 条幅底端 E的仰角为 30. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量?(精确 到整数米)(参考数据: sin50 0.77 ,cos500.64 , tan50 1.20 ,sin30 =0.50, cos300.87 ,t
18、an300.58) A O B E C D 北 东 C D B E A l 60 76 O 8. (山东烟台) 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图). 为了测量雕塑的高度,小 明在二楼找到一点 C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为 30 ,底部 B点的俯角为 45 ,小华在 五楼找到一点 D ,利用三角板测得A点的俯角为 60 (如图) . 若已知 CD为 10米,请求出雕塑AB 的高度 (结果精确到 0.1 米,参考数据31 73.) 9. (山东济南 )九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后,他为了测得右图所放风筝 的高度,进行了如下操作: (1)在放风筝的点 A处
19、安置测倾器,测得风筝C 的仰角 60CBD; (2)根据手中剩余线的长度算出风筝线BC 的长度为 70 米; (3)量出测倾器的高度1.5AB米 根据测量数据,计算出风筝的高度CE约为米 (精确到0.1 米, 31.73) 10.(山东威海) 如图,一巡逻艇航行至海面B 处时,得知其正北方向上C 处一渔船发生故障已知 港口 A处在 B 处的北偏西37方向上,距 B处 20 海里; C 处在 A处的北偏东65方向上求,B C之间 的距离(结果精确到0.1 海里) 参考数据:sin370.60 cos370.80 tan370.75, D C B A A D B E C 60 65 37 北 北
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- 中考 数学 第一轮 复习 导学案 直角三角形 及其 应用
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