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1、【我生命中最最最重要的朋友们,请你们认真听老师讲并且跟着 老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤,相信我赠予你 们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用!】 第二讲 加法原理 一、考点、热点回顾 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,而每一 类方法中,又有几种可能的做法那么,考虑完成这件事所有可能的做法,就 要用我们将讨论的加法原理来解决 例如 某人从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天 有五次火车从北京到天津,有4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去 天津能有多少种不同的走法? 分析这个问题发现,此人去天津要么乘火车,要么乘长途汽车,有这两大 类走
2、法,如果乘火车,有5 种走法,如果乘长途汽车,有4 种走法上面的每 一种走法都可以从北京到天津,故共有5+4=9 种不同的走法 在上面的问题中,完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候,只 要采用一类中的一种方法就可以完成并且两大类方法是互无影响的,那么完 成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数 一般地, 如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有m 1种不同做法,第 二类方法中有 m2种不同做法, ,第 k 类方法中有 mk种不同的做法,则完成这 件事共有 N=m 1+m2+mk 种不同的方法 这就是加法原理 二、典型例题: 例 1 学校组织读书活动,要求每个同学读一本
3、书小明到图书馆借书时,图书 馆有不同的外语书150 本,不同的科技书200 本,不同的小说 100 本那么, 小明借一本书可以有多少种不同的选法? 分析在这个问题中,小明选一本书有三类方法即要么选外语书,要么选 科技书,要么选小说所以,是应用加法原理的问题 解:小明借一本书共有: 150+200+100=450 (种) 不同的选法 例 2 一个口袋内装有 3 个小球,另一个口袋内装有8 个小球,所有这些小球颜 色各不相同 问:从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? 从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 分析中,从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋 中取,要么
4、从第二个口袋中取,共有两大类方法所以是加法原理的问题 中,要从两个口袋中各取一个小球,则可看成先从第一个口袋中取一个, 再从第二个口袋中取一个,分两步完成,是乘法原理的问题 解:从两个口袋中任取一个小球共有 3+8=11(种) , 不同的取法 从两个口袋中各取一个小球共有 38=24(种) 不同的取法 补充说明:由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围 的不同, 乘法原理中,做完一件事要分成若干个步骤,一步接一步地去做才能完成这件 事;加法原理中,做完一件事可以有几类方法,每一类方法中的一种做法都可 以完成这件事 事实上,往往有许多事情是有几大类方法来做的,而每一类方法又要由几 步来完成
5、,这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容,综合使用 这两个原理 例 3 如右图,从甲地到乙地有4 条路可走,从乙地到丙地有2 条路可走,从甲 地到丙地有 3 条路可走那么,从甲地到丙地共有多少种走法? 分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法 第一类,由甲地途经乙地到丙地这时,要分两步走,第一步从甲地到乙 地,有 4 种走法;第二步从乙地到丙地共2 种走法,所以由乘法原理,这时共 有 42=8 种不同的走法 第二类,由甲地直接到丙地,由条件知,有3 种不同的走法 解:由加法原理知,由甲地到丙地共有: 42+3=11(种) 不同的走法 例 4 如下页图,一只小甲虫要从A 点出发沿着线段爬到B 点,要求任
6、何点和 线段不可重复经过问:这只甲虫有多少种不同的走法? 分析从 A 点到 B 点有两类走法,一类是从A 点先经过 C 点到 B 点,一类 是从 A 点先经过 D 点到 B 点两类中的每一种具体走法都要分两步完成,所 以每一类中,都要用乘法原理,而最后计算从A 到 B 的全部走法时,只要用加 法原理求和即可 解:从 A 点先经过 C 到 B 点共有: 13=3(种) 不同的走法 从 A 点先经过 D 到 B 点共有: 23=6(种) 不同的走法 所以,从 A 点到 B 点共有: 3+6=9(种) 不同的走法 例 5 有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6将
7、两个正方体放到桌面上,向上的一面数字之和为偶数的 有多少种情形? 分析要使两个数字之和为偶数,只要这两个数字的奇偶性相同,即这两个 数字要么同为奇数,要么同为偶数,所以,要分两大类来考虑 第一类,两个数字同为奇数由于放两个正方体可认为是一个一个地 放放第一个正方体时,出现奇数有三种可能,即1,3,5;放第二个正方体, 出现奇数也有三种可能,由乘法原理,这时共有33=9 种不同的情形 第二类,两个数字同为偶数,类似第一类的讨论方法,也有33=9 种不同 情形 最后再由加法原理即可求解 解:两个正方体向上的一面同为奇数共有 33=9(种) 不同的情形; 两个正方体向上的一面同为偶数共有 33=9(
8、种) 不同的情形 所以,两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有 33+33=18(种) 不同的情形 例 6 从 1 到 500的所有自然数中,不含有数字4 的自然数有多少个? 分析从 1 到 500的所有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位 数 一位数中,不含4 的有 8 个,它们是 1、2、3、5、6、7、8、9; 两位数中,不含4 的可以这样考虑:十位上,不含4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上,不含4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位 数,再取个位数,应用乘法原理,这时共有89=72 个数不含 4 三位数中
9、,小于500 并且不含数字 4 的可以这样考虑:百位上,不含4 的 有 1、2、3、这三种情况十位上,不含4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况,个位上,不含4 的也有九种情况要确定一个三位数,可以先取 百位数,再取十位数,最后取个位数,应用乘法原理,这时共有399=243 个三位数由于 500 也是一个不含 4 的三位数所以, 1500中,不含 4 的三 位数共有 399+1=244 个 解:在 1500 中,不含 4 的一位数有 8 个;不含 4 的两位数有 89=72 个; 不含 4 的三位数有 399+1=244 个,由加法原理,在1500 中,共有: 8+89+39
10、9+1=324(个) 不含 4 的自然数 补充说明:这道题也可以这样想:把一位数看成是前面有两个0 的三位数, 如:把 1 看成是 001把两位数看成是前面有一个0 的三位数如:把11 看成 011那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看成是 “三位数 ” ,除去 500 外, 考虑不含有 4 的这样的 “三位数 ” 百位上,有 0、1、2、3 这四种选法;十位 上,有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种选法;个位上,也有九种选法所 以,除 500 外,有 499=324 个不含 4 的“三位数 ” 注意到,这里面有一个 数是 000,应该去掉而500还没有算进去,应该加进去所以
11、,从1 到 500 中,不含 4 的自然数仍有 324 个 这是一种特殊的思考问题的方法,注意到当我们对“三位数 ”重新给予规 定之后,问题很简捷地得到解决 例 7 如下页左图,要从 A 点沿线段走到 B,要求每一步都是向右、向上或者向 斜上方问有多少种不同的走法? 分析观察下页左图,注意到,从A 到 B 要一直向右、向上,那么,经过 下页右图中 C、D、E、F 四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点也就 是说从 A 到 B 点的路线共分为四类,它们是分别经过C、D、E、F 的路线 第一类,经过C 的路线,分为两步,从A 到 C 再从 C 到 B,从 A 到 C 有 2 条路可走,从 C 到
12、 B 也有两条路可走,由乘法原理,从A 经 C 到 B 共有 22=4 条不同的路线 第二类,经过D 点的路线,分为两步,从A 到 D 有 4 条路,从 D 到 B 有 4 条路,由乘法原理,从A 经 D 到 B 共有 44=16种不同的走法 第三类,经过E 点的路线,分为两步,从A 到 E 再从 E 到 B,观察发 现各有一条路所以,从A 经 E 到 B 共有 1 种走法 第四类,经过F 点的路线,从 A 经 F 到 B 只有一种走法 最后由加法原理即可求解 解:如上右图,从A 到 B 共有下面的走法: 从 A 经 C 到 B 共有 22=4 种走法; 从 A 经 D 到 B 共有 44=1
13、6 种走法; 从 A 经 E 到 B 共有 1 种走法; 从 A 经 F 到 B 共有 1 种走法 所以,从 A 到 B 共有: 4+16+1+1=22 种不同的走法 三、习题练习 1如右图,从甲地到乙地有三条路,从乙地到丙地有三条路,从甲地到丁 地有两条路,从丁地到丙地有四条路,问:从甲地到丙地共有多少种走法? 2书架上有 6 本不同的画报和 7 本不同的书,从中最多拿两本(不能不拿) ,有多少种不同的拿法? 3如下图中,沿线段从点A 走最短的路线到 B,各有多少种走法? 4在 11000 的自然数中,一共有多少个数字0? 5在 1500 的自然数中,不含数字0 和 1 的数有多少个? 6十把钥匙开十把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,问:最多试开多少次, 就能把锁和钥匙配起来? 四、习题巩固 1、如图,从甲地到乙地有两条路线,乙地到丁地也有两条路线;从甲地到丙地只有一条路 线,丙地到丁地有三条路线那么从甲地到丁地共有多少种不同走法? 2、书架上有 6 本故事书, 6 本画报, 6 本科普读物,小芳从书架上任取一本, 有多少种不同的取法 3、在 11000 的自然数中,一共有多少个末尾数字含0? 4、3 把钥匙开3 把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多试多少次,才能把锁和钥匙配起 来
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