五年级奥数教程.pdf
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1、1 平均数(一) 专题简析: 把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少, 使它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢? 下面的数量关系必须牢记: 平均数=总数量 总份数 总数量=平均数 总份数 总份数=总数量 平均数 例 1 有 4 箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42 个,梨、橘 子、桃平均每箱 36 个,苹果和桃平均每箱37 个。一箱苹果多少 个? 分析与解答:( 1)1 箱苹果 1 箱梨 1 箱橘子 =423=136 (个) ; (2)1 箱桃1 箱梨1 箱橘子 =363=108(个) (3)1 箱苹果 1 箱桃=372=7
2、2(个) 由(1) (2)两个等式可知: 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18(个) ,再根据等式( 3)就 可以算出: 1 箱桃有( 7418)2=28(个) ,1 箱苹果有 2 2818=46(个) 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个: 372=74(个) 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个: 42336=18(个) 1 箱苹果有多少个: 2818=46(个) 练习一 1,一次考试,甲、乙、丙三人平均分91 分,乙、丙、丁三人平 均分 89 分,甲、丁二人平均分95 分。问:甲、丁各得多少分? 2,甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120 千克, 甲、丙、丁三人共重126
3、千克,丙、丁二人的平均体重是40 千克。 求四人的平均体重是多少千克? 3,甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植树 18 棵,甲、丙两组平均每组植树17 棵,乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵? 3 例 2 一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有 21 人, 平均每人 92 分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人? 分析:女生每人比全班平均分高9291.2=0.8 (分) ,而男生每人 比全班平均分低 91.290.5=0.7 (分) 。全体女生高出全班平均分 0.821=16.8 (分) ,应补给每个男生0.7 分,16.8 里包含有
4、24 个 0.7,即全班有 24 个男生。 练习二 1,两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有 6 人,平 均每人跳 140 下,乙组平均每人跳160 下。乙组有多少人? 2,有两块棉田,平均每亩产量是92.5千克,已知一块地是5 亩, 平均每亩产量是 101.5千克;另一块田平均每亩产量是85 千克。 这块田是多少亩? 3,把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7 元,乙知甲级糖有 4 4 千克,平均每千克8 元;乙级糖有 2 千克,平均每千克多少元? 例 3 某 3 个数的平均数是 2,如果把其中一个数改为4,平均数 就变成了 3。被改的数原来是多少? 分析:原来三个数的和是23=
5、6,后来三个数的和是33=9,9 比 6 多出了 3,是因为把那个数改成了4。因此,原来的数应该是 43=1。 练习三 1,已知九个数的平均数是72,去掉一个数之后,余下的数的平均 数是 78。去掉的数是多少? 2,有五个数,平均数是9。如果把其中的一个数改为1,那么这 五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少? 3,甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均分是90 分。可是,甲在抄分数时,把自己的分错抄成了87 分,因此,算 得四人的平均分是88 分。求甲在这次考试中得了多少分? 5 例 4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分,事后复查发现计算 成绩时将一位同学的98 分误作 89
6、 分计算了。经重新计算,全班 的平均成绩是 91.7分,五一班有多少名同学? 分析:98 分比 89分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩 上升 91.791.5=0.2 (分) 。9 里面包含有几个 0.2 ,五一班就有 几名同学。 练习四 1,五( 1)班有 40 人,期中数学考试,有2 名同学去参加体育比 赛而缺考,全班平均分为92 分。缺考的两位同学补考均为100 分, 这次五( 1)班同学期中考试的平均分是多少分? 2,某班的一次测验,平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的 89 分误看作 97 分计算,经重新计算,该班平均成绩是91.1分。 问全班有多少同学? 6 3
7、,五个数的平均数是18,把其中一个数改为6 后,这五个数的平 均数是 16。这个改动的数原来是多少? 例 5 把五个数从小到大排列,其平均数是38。前三个数的平均 数是 27,后三个数的平均数是48。中间一个数是多少? 分析:先求出五个数的和:385=190,再求出前三个数的和: 273=81,后三个数的和: 483=144。用前三个数的和加上后三 个数的和,这样,中间的那个数就算了两次,必然比190 多,而 多出的部分就是所求的中间的一个数。 练习五 1,甲、乙、丙三人的平均年龄为22 岁,如果甲、乙的平均年龄 是 18岁,乙、丙的平均年龄是25 岁,那么乙的年龄是多少岁? 2,十名参赛者的
8、平均分是82 分,前 6 人的平均分是 83 分,后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分? 3,下图中的内有五个数A、B、C、D、E,内的数表示与它 相连的所有中的平均数。求C 是多少? 7 平 均 数(二) 例 1 小明前几次数学测验的平均成绩是84 分,这次要考 100分, 才能把平均成绩提高到86 分。问这是他第几次测验? 分析与解答: 100分比 86 分多 14 分,这 14 分必须填补到前几次 的平均分 84 分中去,使其平均分成为86 分。每次填补 8684=2(分) ,14 里面有 7 个 2,所以,前面已经测验了7 次, 这是第 8 次测验
9、。 练习一 1,老师带着几个同学在做花,老师做了21 朵,同学平均每人做 了 5 朵。如果师生合起来算,正好平均每人做了7 朵。求有多少 个同学在做花? 2,一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课的平均成 绩是 94 分,如果数学算在内,平均每门95 分。已知他数学得了 8 100分,问这位同学一共考了多少门功课? 3,两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳152次。甲组有 6 人,平 均每人跳 140 次,如果乙组平均每人跳160 次,那么,乙组有多 少人? 9 例 2 小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的 平均成绩是 89 分,政治、数学两科平均91.5 分,政治、英语两
10、 科平均 86 分,英语比语文多10 分。小亮的各科成绩是多少分? 分析与解答:因为语文、英语两科平均分84分,即语文英语 =168分,而英语比语文多10 分,即英语语文 =10 分,所以,语 文是(16810)2=79 分,英语是 7910=89分。又因为政治、 英语两科平均 86 分,所以政治是 86289=83分;而政治、数 学两科平均分 91.5 分,数学是 91.5283=100分;最后根据五 科的平均成绩是 89 分可知,自然分是 895(798983100)=94分。 练习二 1,甲、乙、丙三个数的平均数是82,甲、乙两数的平均数是 86,乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少?甲
11、、丙两个数的平 均数是多少? 2,小华的前几次数学测验的平均成绩是80 分,这一次得了 100 分,正好把这几次的平均分提高到85 分。这一次是他第几次测验? 3,五个数排一排,平均数是9。如果前四个数的平均数是7,后 10 四个数的平均数是10,那么,第一个数和第五个数的平均数是多 少? 例 3 两地相距 360 千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时,已 知这条河的水流速度为每小时6 千米。往返两地的平均速度是每 小时多少千米? 分析与解答:用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地 的平均速度。显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程 时所用的时间。因为36010=36(千米)是顺水
12、速度,它是汽艇 的静水速度与水流速度的和,所以,此汽艇的静水速度是 366=30(千米) 。而逆水速度 =静水速度水流速度,所以汽艇 的逆水速度是 306=24(千米) 。逆水行全程时所用时间是 36024=15(小时) ,往返的平均速度是3602 (1015) =28.8(千米)。 练习三 1,甲、乙两个码头相距144 千米,汽船从乙码头逆水行驶8 小时 到达甲码头,已知汽船在静水中每小时行驶21 千米。求汽船从甲 码头顺流行驶几小时到达乙码头? 11 2,一艘客轮从甲港驶向乙港,全程要行165千米。已知客轮的静 水速度是每小时 30 千米,水速每小时3 千米。现在正好是顺流而 行,行全程需
13、要几小时? 3,甲船逆水航行 300 千米,需要 15 小时,返回原地需要10 小时; 乙船逆水航行同样的一段水路需要20 小时,返回原地需要多少小 时? 例 4 幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的30 个小朋友一起分饼干, 小班的小朋友每人分10 块,大班的小朋友每人比大、小班小朋友 的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干? 分析与解答:只要知道了大、小班小朋友分得的平均数,再乘 (3020)人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比 大、小班小朋友的平均数多2 块,30 个小朋友一共多 230=60(块) ,这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友,每人可得 6020=3(块)
14、。因此,大、小班小朋友分得平均块数是 103=13(块) 。一共分掉 13(3020)=650(块) 。 练习四 12 1,数学兴趣小组里有4 名女生和 3 名男生,在一次数学竞赛中, 女生的平均分是 90 分,男生的平均分比全组的平均分高2 分,全 组的平均分是多少分? 2,两组同学跳绳,第一组有25 人,平均每人跳 80 下;第二组有 20 人,平均每人比两组同学跳的平均数多5 下,两组同学平均每 人跳几下? 3,一个技术工带 5 个普通工人完成了一项任务,每个普通工人各 得 120元,这位技术工人的收入比他们6 人的平均收入还多20 元。 问这位技术工得多少元? 例 5 王强从 A地到
15、B地,先骑自行车行完全程的一半,每小时行 12 千米。剩下的步行,每小时走4 千米。王强行完全程的平均速 度是每小时多少千米? 分析与解答:求行完全程的平均速度,应该用全程除以行全程所 13 用的时间。由于题中没有告诉我们A地到 B地间的路程,我们可 以设全程为 24 千米(也可以设其他数) ,这样,就可以算出行全 程所用的时间是 1212124=4(小时),再用 244 就能得到 行全程的平均速度是每小时6 千米。 练习五 1,小明去爬山,上山时每小时行3 千米,原路返回时每小时行5 千米。求小明往返的平均速度。 2,运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑150 米,后 一半路程中每分
16、钟跑100 米。求他在整个长跑中的平均速度。 3,把一份书稿平均分给甲、乙二人去打,甲每分钟打30 个字, 乙每分钟打 20 个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字? 第 3 周长方形、正方形的周长 14 同学们都知道,长方形的周长=(长宽) 2,正方形的周 长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长 方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是 长方形或正方形的图形的周长,还需同学们灵活应用已学知识, 掌握转化的思考方法,把复杂的问题转化为标准的图形,以便计 算它们的周长。 例 1 有 5 张同样大小的纸如下图(a)重叠着,每张纸都是 边长 6 厘米的正方形,重叠的部
17、分为边长的一半,求重叠后图形 的周长。 思路与导航根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一 半同时向左、右、上、下平移(如图b) ,转化成一个大正方形, 这个大正方形的周长和原来5 个小正方形重叠后的图形的周长相 等。因此,所求周长是184=72 厘米。 15 练习一 1,下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成,求这个图形的 周长。 2,下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成,求这个图形的周长。 3,有 6 块边长是 1 厘米的正方形,如例题中所说的这样重叠 着,求重叠后图形的周长。 16 例 2 一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去4 厘米, 截掉的面积为 192 平方厘米
18、。现在这块木板的周长是多少厘米? 思路导航把截掉的 192平方厘米分成 A、B、C三块(如图), 其中 AB的面积是 19244=176(平方厘米)。把 A和 B移到一起 拼成一个宽 4 厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板剩下 部分的周长的一半。 1764=44(厘米),现在这块木板的周长是 442=88(厘米) 。 练习二 1,有一个长方形,如果长减少4 米,宽减少 2 米,面积就比 原来减少 44 平方米,且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方 形的周长。 2,有两个相同的长方形,长是8 厘米,宽是 3 厘米,如果按 下图叠放在一起,这个图形的周长是多少? 17 3,有一块长方形广场
19、,沿着它不同的两条边各划出2 米做绿 化带,剩下的部分仍是长方形,且周长为280米。求划去的绿化 带的面积是多少平方米? 例 3 已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的 周长是多少? 思路导航从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围 成,其中三条横着,三条竖着。三条横着的线段和是(ab) 2 ,三条竖着的线段和是b2。所以,整个图形的周长是 (ab)2 b2,即 2a4b。 练习三 1,有一张长 40 厘米,宽 30 厘米的硬纸板,在四个角上各剪 去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒,求被剪后硬 纸板的周长。 18 2,一个长 12 厘米,宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好
20、拼 成下图( 1)所示长方形,求所拼长方形的周长。 3,求下面图形(图2)的周长(单位:厘米) 。 图(1)图(2) 19 例 4 下图是边长为 4 厘米的正方形,求正方形中阴影部分的周长。 思路导航我们把阴影部分周长中左边的5 条线段全部平移 到左边,其和正好是4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面, 其和也正好是 4 厘米。因此,阴影部分的周长与边长是4 厘米的 正方形的周长是相等的。 练习四 1,求下面图形的周长(单位:厘米) 。 20 2,在()里填上 “” 、 “”或“=” 。 甲的周长()乙的周长 3,下图中的每一小段的长度都相等,求图形的周长。 例 5 如下图,阴影部分是正方形,
21、DF=6厘米, AB=9厘米,求最 大的长方形的周长。 分析根据题意可知,最大长方形的宽就是正方形的边长。 因为 BC=EF ,CF=DE ,所以, AB BC CF=AB FE ED=9 6=15(厘 米) ,这正好是最大长方形周长的一半。因此,最大长方形的周长 是(96)2=30(厘米) 。 21 练习五 1,下面三个正方形的面积相等,剪去阴影部分的面积也相等, 求原来正方形的周长发生了什么变化?(单位:厘米) 2,下面是一个零件的平面图,图中每条短线段都是5 厘米, 零件长 35 厘米,高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米? 22 3,有两个相同的长方形,长7 厘米,宽 3 厘米,如
22、下图重叠 着,求重叠图形的周长。 第 4 周长方形、正方形的面积 专题简析: 23 长方形的面积 =长宽,正方形的面积 =边长边长。掌握并 能运用这两个面积公式,就能计算它们的面积。 但是,在平时的学习过程中,我们常常会遇到一些已知条件 比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题 目。这就需要我们切实掌握有关概念,利用“割补” 、 “平移” 、 “旋转”等方法,使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形 面积的问题,从而正确解答。 例 1 已知大正方形比小正方形边长多2 厘米,大正方形比小正方 形的面积大 40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米? 2 2 B A 分
23、析从图中可以看出,大正方形的面积比小正方形的面积 大出的 40 平方厘米,可以分成三部分,其中A 和 B 的面积相等。 因此,用 40 平方厘米减去阴影部分的面积,再除以2 就能得到长 方形 A 和 B 的面积,再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的 边长。求到了小正方形的边长,计算大、小正方形的面积就非常 简单了。 24 练习一 1,有一块长方形草地,长20 米,宽 15米。在它的四周向外筑一 条宽 2 米的小路,求小路的面积。 2,正方形的一组对边增加30 厘米,另一组对边减少18 厘米,结 果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多 少平方厘米? 3,把一个长方形
24、的长增加5 分米,宽增加 8 分米后,得到一个面 积比原长方形多 181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是 多少分米? 25 例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小 的长方形,其中三个长方形的面积如下图所求,求第四个长方形 的面积。 分析因为 AECE=6 ,DE EB=35 ,把两个式子相乘 AECE DE EB=356,而 CE EB=14 ,所以 AE DE=35 614=15 。 练习二 1,下图一个长方形被分成四个小长方形,其中三个长方形的面积 分别是 24 平方厘米、 30 平方厘米和 32 平方厘米,求阴影部分的 面积。 30 24 32 P NM F
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