五年级数学下册难点解析附34个必考公式.pdf
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1、五年级奥数 五年级下学期是小升初前的最后一个学期,对于整个小学阶段的数学 学习起着至关重要的作用,只有这一关过好了,才可能在小升初的备 考中游刃有余。所以这学期的奥数学习应该有更强的针对性,针对自 己的实际情况和目标选择合适的班型。 学习重点难点解析: 五年级属于小学高年级,孩子进入五年级以后,随着年龄的增长,孩 子的计算能力,认知能力,逻辑分析能力都比以前有很大的提高,这 个时期是奥数思维形成的关键时期,是学奥数的黄金时段,所以是否 把握住五年级这个黄金时段,关系到以后小升初的成与败。 那么在整个五年级阶段都有哪些重点知识呢?为了孩子更好的把握五 年级的学习重点,下面就介绍一下五年级的关键知
2、识点。 1. 进入数学宝库的分析方法递推方法:任何事物的发展总是从简 单到复杂,奥数也是一样,对于复杂问题,我们不妨先从最简单的情 况入手,通过处理简单的问题,我们可以从中得到规律或者诀窍,从 而来解决复杂的问题,这就是递推方法。 比如说: 平面上2008条直线最多有几个交点?同学们第一眼看到这个 问题时, 肯定会想画2008条直线相交然后再数交点个数,那该是多麻 烦啊!其实我们可以先来解决简单点的情况,分别找到1 条、 2 条、 3 条、 4 条这些直线有多少个交点。 1 条直线最多有0 个交点 2 条直线最多有1 个交点 3 条直线最多有3 个交点 4 条直线最多有6 个交点 5 条直线最
3、多有10 个交点 6 条直线最多有15 个交点 所以 2008条直线有1+2+3+4+5+2007=2015028个交点。 那么聪明的你,你能算出2008条直线最多可以把圆分成几部分么? 2. 变化无穷、形迹不定的行程问题:提到行程问题,同学们可能就感 到头疼,的确不错,因为行程问题中各个物体的速度、时间、路程都 在变化,而且各个物体都是在运动中,位置是随着时间在变化,所以 分析起来就很麻烦。 为了更好的解决这个问题,我们把行程问题进行了细分:基本行程 (单 个物体)、平均速度、相遇、追及、流水行船、火车过桥、火车错车、 钟表问题、环形线路上行程。 只要我们掌握这些每个小类型中的诀窍,形成一种
4、分析思路,复杂的 行程问题无非是这些类型的变形而已,解决起来就容易多了。 3. 抽象而又杂乱的数论问题:数论是从五年级的核心知识,无论是在 哪本教材里,都用了很多的章节来讲解数论。 要想解决复杂的数论问题,我们首先得掌握数论的基本知识:数的奇 偶性、约数(现在叫因数)、倍数、公约数及最大公约数、公倍数及 最小公倍数、质数、合数、分解质因数、整除、余数及同余等。 这些基本知识点里又有些非常有代表性的例题,只要能掌握好这些知 识点,然后做一定量的数论综合习题,碰到难的数论问题我们就容易 解决了。 4. 有趣的抽屉原理:生活中有很多有趣的事情,比如说:把4 个苹果 放到3 个抽屉里,无论你怎么放,总
5、有某个抽屉里至少有2 个苹果, 这就是抽屉原理。 对于抽屉原理我们只要找到苹果的个数a 与抽屉的个数b, 我们就可以 得到下面的结论: 若 ab=r 当 q=0时,我们就说总有某个抽屉里至少有r 个苹果; 当 q0 时,我们就说总有某个抽屉里至少有(r+1 )个苹果。 比如说把32 个苹果放进8 个抽屉里,因为32 8 4,无论怎么放, 总有某个抽屉里有4 个苹果。 如果把35 个苹果放进8 个抽屉里, 因为 35 8 43,无论怎么放,总有某个抽屉里有4 15 个苹果。 但是大部分的奥数题是没有告诉我们抽屉的个数的,那样我们就得自 己构造抽屉,从而找出抽屉的个数。 5. 图形面积计算:求图形
6、的面积也是奥数中的一个难点,对于这类题 我们首先要掌握好各种基本图形的面积计算公式,然后记住一些重要 的结论:比如说三角形的等积变形、直角三角形中30 度所对的边是斜 边的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀原理、相似三角形中边与面积 的关系。 在计算面积时的方法有:直接计算法、割补法、方程法等。在图形面 积计算中,难题往往得添加辅助线,这个就是难点所在,因为添加辅 助线非常灵活,这就要我们多做些这方面的题,多积累一些添加辅助 线的技巧,做到心中有数。 34 个小学数学必考公式 1、和差倍问题: 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数
7、的和,差,倍数关系 公式 (和差 ) 2= 较小数 较小数差 =较大数 和较小数 =较大数 (和差 ) 2= 较大数 较大数差 =较小数 和较大数 =较小数 和(倍数 1)= 小数 小数倍数 = 大数 和小数 = 大数 差(倍数 -1)= 小数 小数倍数 = 大数 小数差 = 大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2、年龄问题的三个基本特征: 两个人的年龄差是不变的; 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; 两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3、归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。 关键问题: 根据题目
8、中的条件确定并求出单一量; 4、植树问题: 基本类型 在直线或者不封闭 的曲线上植树,两 端都植树 在直线或者不封 闭 的 曲 线 上 植 树,两端都不植 树 在 直 线 或 者 不 封 闭 的曲线上植树,只有 一端植树 封 闭 曲 线 上 植 树 基本公式棵数 = 段数 1棵数 = 段数 1棵数 = 段数 棵距段数 = 总长棵 距 段 数 = 总 长 棵距段数 = 总长 关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系 5、鸡兔同笼问题: 基本概念: 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: 假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): 假设后
9、,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; 每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; 再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: 把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数) 把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。 6、盈亏问题: 基本概念: 一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一 种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或 对象的总量。 基本思路: 先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这
10、个关系求 出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量。 基本题型: 一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数(余数不足数)两次每份数的差 当两次都有余数; 基本公式:总份数(较大余数一较小余数)两次每份数的差 当两次都不足; 基本公式:总份数(较大不足数一较小不足数)两次每份数的差 基本特点: 对象总量和总的组数是不变的。 关键问题: 确定对象总量和总的组数。 7、牛吃草问题: 基本思路: 假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差; 再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点: 原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题: 确定两个不
11、变的量。 基本公式: 生长量 =(较长时间长时间牛头数- 较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间); 总草量 = 较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量; 8、周期循环与数表规律: 周期现象: 事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期: 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题: 确定循环周期。 闰 年:一年有366 天; 年份能被4 整除;如果年份能被100 整除,则年份必须能被400 整除; 平 年:一年有365 天。 年份不能被4 整除;如果年份能被100 整除,但不能被400 整除; 9、平均数: 基本公式: 平均数= 总数量总份数 总数量 = 平均数总份数 总份
12、数 = 总数量平均数 平均数= 基准数每一个数与基准数差的和总份数 基本算法: 求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算. 基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近 的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所 有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求 的平均数,具体关系见基本公式 10 、抽屉原理: 抽屉原则一: 如果把(n+1 )个物体放在n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体。 例:把 4 个物体放在3 个抽屉里,也就是把4 分解成三个整数的和,那么就有以下四 种情况: 4=4+
13、0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2 个 或多于2 个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。 抽屉原则二: 如果把n 个物体放在m 个抽屉里,其中nm ,那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体:当n 不能被m 整除时。 k=n/m个物体:当n 能被 m 整除时。 理解知识点: X 表示不超过X 的最大整数。 例4.351=4; 0.321=0; 2.9999=2; 关键问题: 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。 11 、定义新运算: 基本概念:
14、定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路: 严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基 本运算过程、规律进行运算。 关键问题: 正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项: 新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12 、数列求和: 等差数列: 在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。 基本概念: 首项:等差数列的第一个数,一般用a1 表示; 项数:等差数列的所有数的个数,一般用n 表示; 公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d 表示; 通项:表示数
15、列中每一个数的公式,一般用an 表示; 数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn 表示 基本思路: 等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个, 就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式: 通项公式:an = a1+( n 1) d ; 通项首项(项数一1) 公差; 数列和公式:sn,= (a1+ an)n2; 数列和(首项末项)项数2; 项数公式:n= (an+ a1)d 1; 项数 = (末项 - 首项)公差1; 公差公式:d = ( an a1 )( n 1); 公差 = (末项首项)(项数1
16、); 关键问题: 确定已知量和未知量,确定使用的公式; 13 、二进制及其应用: 十进制: 用 0 9 十个数字表示,逢10 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2 表示 20 ,百位上的2 表示 200 。所以234=200+30+4=2102+310+4 。 =An 10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-6 10n-7+A3 102+A2101+A1100 注意: N0= ; N =N (其中N 是任意自然数) 二进制: 用 0 1 两个数字表示,逢2 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义。 ( 2) = An 2n
17、-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-6 2n-7 + +A3 22+A221+A120 注意: An 不是 0 就是 1。 十进制化成二进制: 根据二进制满2 进 1 的特点,用2 连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得 的余数按自下而上依次写出即可。 先找出不大于该数的2 的 n 次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2 的 n 次 方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。 14 、加法乘法原理和几何计数: 加法原理: 如果完成一件任务有n 类方法,在第一类方法中有m1 种不同方法,在第二类方法中 有 m2 种不同方法,在
18、第 n 类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有: m1+ m2. +mn种不同的方法。 关键问题: 确定工作的分类方法。 基本特征: 每一种方法都可完成任务。 乘法原理: 如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行,做第1 步有m1种方法,不管第1 步用 哪一种方法,第2 步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法,第n 步总有 mn 种方法,那么完成这件任务共有:m1 m2. mn 种不同的方法。 关键问题: 确定工作的完成步骤。 基本特征: 每一步只能完成任务的一部分。 直线: 一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点: 没有端点,没有长度。 线段: 直线上任意
19、两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点: 有两个端点,有长度。 射线: 把直线的一端无限延长。 射线特点: 只有一个端点;没有长度。 数线段规律:总数1+2+3+ (点数一1); 数角规律=1+2+3+ (射线数一1); 数长方形规律:个数= 长的线段数宽的线段数: 数长方形规律:个数=1 1+2 2+3 3+ + 行数列数 15 、质数与合数: 质数: 一个数除了1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。 合数: 一个数除了1 和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数: 如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数: 把一个数用质数相
20、乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式: N= ,其中a1 、 a2 、 a3 an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1) (r2+1)(r3+1) (rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16 、约数与倍数: 约数和倍数: 若整数a 能够被b 整除, a 叫做 b 的倍数,b 就叫做a 的约数。 公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大 公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所
21、得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数m ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数 乘以 m 。 例如: 12 的约数有1、 2、 3、 4、 6、 12 ; 18 的约数有:1、 2、 3、 6、 9、 18 ; 那么 12 和 18 的公约数有:1、 2、 3、 6; 那么 12 和 18 最大的公约数是:6,记作(12 , 18 ) =6 ; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。 3、
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- 年级 数学 下册 难点 解析 34 必考 公式
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