全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编49运动变化类的压轴题.pdf
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1、运动变化类的压轴题 2014 年运动变化类的压轴题,题目展示涉及:单一(双)动点在三角形、四边形上运 动;在直线、抛物线上运动;几何图形整体运动问题. 知识点涉及:全等三角形的判定与性 质;特殊四边形形的判定和性质;圆的相关性质;解直角三角形,勾股定理,相似三角形的 性质 . 数学思想涉及:分类讨论;数形结合;方程思想. 解答这类问题的关键是正确分类画 出直观图形 . 现选取部分省市的2014 年中考题展示,以飨读者. 一、单动点问题 【题 1】(2014 年江苏徐州第28 题) 如图, 矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A 出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆
2、O与射线BD的公共点,连接EF、CF, 过点E作EGEF,EG与圆O相交于点G,连接CG (1)试说明四边形EFCG是矩形; (2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中, 矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存 在,说明理由; 求点G移动路线的长 【考点】:圆的综合题;垂线段最短;直角三角形斜边上的中线;矩形的判定与性质;圆 周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质 【专题】:压轴题;运动变化型 【分析】:(1)只要证到三个内角等于90即可 (2)易证点D在O上,根据圆周角定理可得FCE=FDE,从而证到CFEDAB,根据 相似
3、三角形的性质可得到S矩形ABCD=2SCFE=然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD 的范围 根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值,从而得到点G的移动的路 线是线段,只需找到点G的起点与终点,求出该线段的长度即可 【解答】:解: (1)证明:如图1, CE为O的直径, CFE=CGE=90 EGEF, FEG=90 CFE=CGE=FEG=90 四边形EFCG是矩形 (2)存在 连接OD,如图 2, 四边形ABCD是矩形, A=ADC=90 点O是CE的中点, OD=OC 点D在O上 FCE=FDE,A=CFE=90, CFEDAB =() 2 AD=4,AB=3, BD
4、=5, SCFE=() 2?S DAB =34 = S矩形 ABCD=2SCFE = 四边形EFCG是矩形, FCEG FCE=CEG GDC=CEG,FCE=FDE, GDC=FDE FDE+CDB=90, GDC+CDB=90 GDB=90 当点E在点A(E)处时,点F在点B(F)处,点G在点D(G处,如图2所示 此时,CF=CB=4 当点F在点D(F)处时,直径FGBD, 如图 2所示, 此时O与射线BD相切,CF=CD=3 当CFBD时,CF最小,此时点F到达F, 如图 2所示 SBCD=BC?CD=BD?CF 43=5CF CF= CF4 S矩形 ABCD=, () 2 S矩形 AB
5、CD4 2 S矩形 ABCD12 矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为 GDC=FDE=定值,点G的起点为D,终点为G, 点G的移动路线是线段DG GDC=FDE,DCG=A=90, DCGDAB = = DG= 点G移动路线的长为 【点评】:本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、 直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识,考查了动点的移动的路线长,综 合性较强而发现CDG=ADB及FCE=ADB是解决本题的关键 【题 2】 (2014?湖州第24 题) 已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P( 1, 1)为圆心的P与x轴,y轴分别相切于
6、点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动,连接PF,过点PEPF交y轴于点E,设点F运动的时间是t 秒(t0) (1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF; (2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b; (3)作点F关于点M的对称点F,经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q, 连接QE在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以 点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存 在,请说明理由 【分析】: (1)连接PM,PN,运用PMFPNE证明, (2)分两种情况
7、当t1 时,点E在y轴的负半轴上,0t1 时, 点E在y轴的正半轴或原点上,再根据(1)求解, (3)分两种情况,当1t2 时,当t2 时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式 求出时间t 【解答】: 证明: (1)如图,连接PM,PN, P与x轴,y轴分别相切于点M和点N, PMMF,PNON且PM=PN, PMF=PNE=90且NPM=90,PEPF, NPE=MPF=90MPE, 在PMF和PNE中,PMFPNE(ASA) , PE=PF, (2)解:当t1 时,点E在y轴的负半轴上,如图, 由( 1)得PMFPNE,NE=MF=t,PM=PN=1, b=OF=OM+MF=1+t,a=
8、NEON=t 1, ba=1+t(t1)=2,b=2+a, 0t1 时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上, 同理可证PMFPNE, b=OF=OM+MF=1+t,a=ONNE=1t, b+a=1+t+1t=2, b=2a, (3)如图 3, ()当1t2 时, F(1+t,0) ,F和F关于点M对称, F( 1t,0) 经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q, Q(1t,0)OQ=1t, 由( 1)得PMFPNE NE=MF=t,OE=t1 当OEQMPF=, 解得,t=,当OEQMFP时,=, =,解得,t=, ()如图4,当t2 时, F(1+t,0) ,F和F关于点M对称, F
9、( 1t,0) 经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q, Q(1t,0)OQ=t 1, 由( 1)得PMFPNENE=MF=t,OE=t1 当OEQMPF=,无解, 当OEQMFP时,=,=,解得,t=2, 所以当t=,t=,t=2时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似 【点评】:本题主要考查了圆的综合题,解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系 【题 3】 (2014年四川省绵阳市第24 题) 如图 1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形 沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE (1)求证:DE
10、CEDA; (2)求DF的值; (3)如图 2,若P为线段EC上一动点,过点P作AEC的内接矩形,使其定点Q落在线段 AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求 出其最大值 【考点】:四边形综合题 【分析】:(1)由矩形的性质可知ADCCEA,得出AD=CE,DC=EA,ACD=CAE, 从而求得DECEDA; (2)根据勾股定理即可求得 (3) )有矩形PQMN的性质得PQCA,所以,从而求得PQ,由PNEG,得出=, 求得PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式,即可求得 【解答】:(1)证明:由矩形的性质可知ADCCEA, AD=CE,DC=EA
11、,ACD=CAE, 在ADE与CED中 DECEDA(SSS) ; (2)解:如图1,ACD=CAE, AF=CF, 设DF=x,则AF=CF=4x, 在RTADF中,AD 2+DF2 =AF 2, 即 3 2+x2=(4 x) 2, 解得;x=, 即DF= (3)解:如图2,由矩形PQMN的性质得PQCA 又CE=3,AC=5 设PE=x(0x 3) ,则,即PQ= 过E作EGAC于G,则PNEG, = 又在RtAEC中,EG?AC=AE?CE,解得EG= =,即PN= ( 3x) 设矩形PQMN的面积为S 则S=PQ?PN=x 2+4x= +3(0x 3) 所以当x= ,即PE= 时,矩形
12、PQMN的面积最大,最大面积为3 【点评】:本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理的应用,平行线分线段成比例 定理 【题 4】(2014 年浙江绍兴第25 题) 如图,在平面直角坐标系中,直线l平行x轴,交 y轴于点A,第一象限内的点B在l上,连结OB,动点P满足APQ=90,PQ交x轴于点C (1)当动点P与点B重合时,若点B的坐标是( 2,1) ,求PA的长 (2)当动点P在线段OB的延长线上时,若点A的纵坐标与点B的横坐标相等,求PA:PC 的值 (3)当动点P在直线OB上时,点D是直线OB与直线CA的交点,点E是直线CP与y轴的 交点,若ACE=AEC,PD=2OD,求PA:PC的
13、值 【考点】:相似形综合题; 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判 定与性质; 勾股定理; 矩形的判定与性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质 【专题】:压轴题 【分析】:(1)易得点P的坐标是( 2,1) ,即可得到PA的长 (2)易证AOB=45,由角平分线的性质可得PA=PC,然后通过证明ANPCMP即可求 出PA:PC的值 (3)可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论易证PA:PC=PN: PM,设OA=x,只需用含x的代数式表示出PN、PM的长,即可求出PA:PC的值 【解答】:解: (1)点P与点B重合,点B的坐标是( 2,1) ,
14、 点P的坐标是( 2,1) PA的长为 2 (2)过点P作PMx轴,垂足为M,过点P作PNy轴,垂足为N,如图 1 所示 点A的纵坐标与点B的横坐标相等, OA=AB OAB=90, AOB=ABO=45 AOC=90, POC=45 PMx轴,PNy轴, PM=PN,ANP=CMP=90 NPM=90 APC=90 APN=90APM=CPM 在ANP和CMP中, APN=CPM,PN=PM,ANP=CMP, ANPCMP PA=PC PA:PC的值为 1:1 (3)若点P在线段OB的延长线上, 过点P作PMx轴,垂足为M,过点P作PNy轴,垂足为N, PM与直线AC的交点为F,如图 2 所
15、示 APN=CPM,ANP=CMP, ANPCMP ACE=AEC, AC=AE APPC, EP=CP PMy轴, AF=CF,OM=CM FM=OA 设OA=x, PFOA, PDFODA PD=2OD, PF=2OA=2x,FM=x PM=x APC=90,AF=CF, AC=2PF=4x AOC=90, OC=x PNO=NOM=OMP=90, 四边形PMON是矩形 PN=OM=x PA:PC=PN:PM=x:x= 若点P在线段OB的反向延长线上, 过点P作PMx轴,垂足为M,过点P作PNy轴,垂足为N, PM与直线AC的交点为F,如图 3 所示 同理可得:PM=x,CA=2PF=4x
16、,OC=x PN=OM=OC=x PA:PC=PN:PM=x:x= 综上所述:PA:PC的值为或 【点评】:本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与 性质、 矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知 识,综合性非常强 【题 5】 (2014?无锡第28 题) 如图 1,已知点A(2,0) ,B(0,4) ,AOB的平分线交 AB于C,一动点P从O点出发, 以每秒 2 个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过 点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N设P运动的时间 为t(0t2)秒 (1)求C点的坐标,
17、并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示) ; (2)设MNC与OAB重叠部分的面积为S 试求S关于t的函数关系式; 在图 2 的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?若有,写 出S的最大值;若没有,请说明理由 【考点】:相似形综合题 【分析】:(1)如答图1,作辅助线,由比例式求出点D的坐标; (2)所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论 答图 21,答图 22 表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求 解; 画出函数图象,由两段抛物线构成观察图象,可知当t=1时,S有最大 值 【解答】:解: (1)如答图 1,过点C作CFx轴于点F,CEy轴于点E, 由题
18、意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x CEx轴, ,即,解得x= C点坐标为(,) ; PQAB, ,即, OP=2OQ P(0,2t) , Q(t,0) 对称轴OC为第一象限的角平分线, 对称点坐标为:M(2t,0) ,N(0,t) (2)当 0t1 时,如答图2 1 所示,点M在线段OA上,重叠部分面 积为SCMN SCMN=S四边形 CMONSOMN =(SCOM+SCON)SOMN =(?2t+?t)?2t?t =t 2+2t ; 当 1t2 时,如答图2 2 所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于 点D,则重叠部分面积为SCDN 设直线MN的解析式为y=kx+b,将
19、M(2t,0) 、N(0,t)代入得, 解得, y=x+t; 同理求得直线AB的解析式为:y=2x+4 联立y=x+t与y= 2x+4,求得点D的横坐标为 SCDN=SBDNSBCN =(4t)?(4t) =t 2 2t + 综上所述,S= 画出函数图象,如答图23 所示: 观察图象,可知当t=1 时,S有最大值,最大值为1 【点评】:本题是运动型综合题,涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形 面积计算、动点问题函数图象等知识点难点在于第(2)问,正确地进行 分类讨论,是解决本题的关键 【题 6】 (2014?杭州第22 题) 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=
20、4, 动点P在线段BD上从点B向点D运动,PFAB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形 QEDH与四边形PEBG关于AC对称设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被 盖住部分的面积为S2,BP=x (1)用含x的代数式分别表示S1,S2; (2)若S1=S2,求x的值 【考点】:四边形综合题;菱形的性质;轴对称的性质;轴对称图形;特殊角的三角函数 值 【专题】:综合题;动点型;分类讨论 【分析】:(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P 在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论 (2)由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4
21、然后在两种情况下分别建立 关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值 【解答】:解: (1)当点P在BO上时,如图1 所示 四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=4, ACBD,BO=BD=2,AO=AC=2, 且S菱形ABCD=BD?AC=8 tanABO= ABO=60 在RtBFP中, BFP=90,FBP=60,BP=x, sinFBP=sin60= FP=x BF= 四边形PFBG关于BD对称, 四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称, SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQ S1=4SBFP =4x? = S2=8 当点P在OD上时,如图2 所示 AB=4,BF=
22、, AF=ABBF=4 在RtAFM中, AFM=90,FAM=30,AF=4 tanFAM=tan30= FM=(4) SAFM=AF?FM =(4)?(4) =( 4) 2 四边形PFBG关于BD对称, 四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称, SAFM=SAEM=SCHN=SCGN S2=4SAFM =4(4) 2 =(x8) 2 S1=8S2=8(x8) 2 综上所述: 当点P在BO上时,S1=,S2=8; 当点P在OD上时,S1=8(x8) 2,S 2=(x8) 2 (2)当点P在BO上时, 0x2 S1=S2,S1+S2=8, S1=4 S1=4 解得:x1=2,x2=2 22
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- 全国各地 2014 年中 数学 分类 解析 汇编 49 运动 变化 压轴
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