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1、几何概型例题分析及练习题 ( 含答案 ) 例1 甲、乙两人约定在下午4:005:00 间在某地相见他们约好 当其中一人先到后一定要等另一人15分钟,若另一人仍不 到则可以离去,试求这人能相见的概率。 解: 设x为甲到达时间,y为乙到达时间 . 建立坐标系,如图 15|yx时可相见,即阴影部分 16 7 60 4560 2 22 P 例2 设A为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与A连接, 求弦长超过半径2倍的概率。 解: RACAB2|. 2 1 2 R RBCD P 圆周 例3 将长为 1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过 2 1 的概率。 解:设第一段的长度为 x,第二段的长度为
2、y,第三段的长度 为yx1,则基本事件组所对应的几何区域可表示为 10, 10 , 10| ),(yxyxyx,即图中黄色区域,此区 域面积为 2 1 。 事件“三段的长度都不超过 2 1 ”所对应的几何区域可表 示为 ),(|),(yxyxA, 2 1 1 , 2 1 , 2 1 yxyx 即图中最中间三角形区域,此区域面积为 8 1 ) 2 1 ( 2 1 2 此时事件“三段的长度都不超过 2 1 ”的概率为 4 1 2 1 8 1 P 例4 两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们 对讲机的接收范围是25,下午 3:00张三在基地正东 30内 部处,向基地行驶,李四在基地正北4
3、0内部处,向基地行 驶,试问下午 3:00,他们可以交谈的概率。 解:设yx,为张三、李四与基地的距离30, 0x,40,0y,以 基地为原点建立坐标系. 他们构成实数对),(yx, 表示区域总 面积为 1200,可以交谈即25 22 yx 故 192 25 1200 25 4 12 P 例5 在区间 1 ,1上任取两数ba,,运用随机模拟方法求二次方 程0 2 baxx两根均为正数的概率。 0 0 04 21 21 2 bxx axx ba 解: (1)利用计算器产生 0 至1区间两组随机数 11,b a (2)变换12 1aa,121bb (3)从中数出满足条件 2 4 1 ab且0a且0
4、b的数 m (4) n m P(n为总组数) 例 6 在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C,求ABC是锐角 三角形的概率。 解法 1:记ABC的三内角分别为,,事件 A表示 “ABC是锐角三角形”,则试验的全部结果组成集合 (,)|,00。 因为ABC是锐角三角形的条件是 0 2 ,且 2 所以事件 A构成集合 A(,)|, 2 0 2 由图 2 可知,所求概率为 P A A () 的面积 的面积 1 2 2 1 2 1 4 2 2 () 。 解法 2:如图 3 所示建立平面直角坐标系,A、B、C1、C2为单 位圆与坐标轴的交点,当ABC为锐角三角形,记为事件A。则当 C点在劣弧C C 12上
5、运动时, ABC即为锐角三角形, 即事件 A发生, 所以 P A() 1 4 2 2 1 4 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图 形的几何度量来求随机事件的概率。 例 7 将长为 L 的木棒随机的折成3 段,求 3 段构成三角形的概 率 解:设M“3 段构成三角形”xy,分别表示其中两段的长度, 则第三段的长度为Lxy () 000xyxLyLxyL,| 由题意,xyLxy, ,要构成三角形,须有xyLxy, 即 1 2 xy; ()xLxyy,即 2 L y; ()yLxyx,即 2 L x 故() | 222 LLL Mxyxyyx , 如 图1 所 示 , 可 知 所
6、 求 概 率 为 2 2 1 122 () 4 2 L M P M L 的面积 的面积 例8 在 区 间0 1,上 任 取 三 个 实 数xyz, , 事 件 222 ()1Axyzxyz, ,| (1)构造出此随机事件对应的几何图形; (2)利用该图形求事件A的概率 解: (1)如图 2 所示,构造单位正方体为事件空间,正方体 以O为球心,以 1 为半径在第一卦限的 1 8 球即为事件A (2) 3 3 14 1 83 ( ) 16 P A 例 9 例 5、如图所示,在矩形中,5,7. 现在向该矩形内 随机投一点 P,求 0 90APB时的概率。 解:由于是向该矩形内随机投一点P,点 P落在
7、矩形内的机 会是均等的,故可以认为矩形是区域. 要使得 0 90APB,须满 足点 P落在以线段为直径的半圆内,以线段为直径的半圆可看作 区域 A.记“点 P落在以线段为直径的半圆内”为事件A,于是求 0 90APB时的概率,转化为求以线段为直径的半圆的面积与矩 形的面积的比,依题意得, 8 25 ) 2 5 ( 2 1 2 A ,矩形的面积为 35,故所求的概率为. 56 5 35 8 25 )(AP 点评:挖掘出点 P必须落在以线段为直径的半圆内是解答本题的 关键。 课后习题 1一枚硬币连掷3 次,至少出现两次正面的概率是() 1 4 1 2 3 8 2 3 答案: P 例9 D C B
8、A 2在正方形ABCD内任取一点P,则使90APB的概率是() 8 4 1 8 1 4 答案: 3已知地铁列车每10 到站一次,且在车站停1,则乘客到达站 台立即乘上车的概率是() 1 10 1 6 11 60 1 11 答案: 4在两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于2m的概率是() 1 2 1 3 1 4 1 5 答案: 5在腰长为2 的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三 角形的直角顶点的距离不大于1 的概率是() 16 8 4 2 答案: 6 在 线 段0 3,上 任 取 一 点 , 则 此 点 坐 标 小 于1 的 概 率 是答案: 1 3
9、7 在 1万平方千米的海域中有40 平方千米的大陆架贮藏着石油, 假 如 在 海 域 中 任 意 一 点 钻 探 , 钻 到 油 层 面 的 概 率 是答案: 1 250 8从 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机 取 出10 ,则其 含有 麦 锈病的 种 子的 概率 是答案: 0.01 9. 将数 2.5 随机地(均匀地)分成两个非负实数,例如2.143 和 0.357 或者3和 2.5 3, 然后对每一个数取与它最接近的整数, 如在上述第一个例子中是取2 和 0,在第二个例子中取2 和 1. 那么这两个整数之和等于3 的概率是多少?(答案: 5 2 ) 11. 在等腰直角三角形中,在斜边上任取一点M ,求小于的概率。 (答案: 4 3 ) 12. 设 p 在0 ,5 上随机地取值, 求方程0 2 1 4 2 p pxx有实根的 概率。 (答案: 5 3 ) 13. 在集合40 ,50|),(yxyx内任取一个元素,能使代数式 0 12 19 34 yx 的概率是多少?(答案: 10 3 )
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