初二因式分解难题附答案及解析.pdf
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1、2 0 1 7年0 5月2 1日 数 学 ( 因 式 分 解 难 题 ) 2 一填空题(共10小题) 1已知 x+y=10,xy=16,则 x2y+xy2的值为 2两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解 成 2(x1)(x9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x2)(x4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来: 3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式,则m 的值是 4分解因式: 4x24x3= 5利用因式分解计算: 2022+202196+982= 6ABC三边 a,b,c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca,则 ABC的形状是 7计算:
2、 1222+3242+5262+ 1002+1012= 8定义运算 ab=(1a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论: 2(2)=3 ab=ba 若 a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab 若 ab=0,则 a=1或 b=0 其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号) 9如果 1+a+a2+a 3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 10若多项式 x26xb 可化为( x+a)21,则 b 的值是 二解答题(共20小题) 11已知 n 为整数,试说明( n+7) 2(n3)2 的值一定能被 20 整除 12因式分解: 4x2y4xy+y 13因式分解 (
3、1)a 3ab2 (2)(xy) 2+4xy 14先阅读下面的内容,再解决问题, 例题:若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m 和 n 的值 解: m2+2mn+2n26n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 (m+n) 2+(n3)2=0 m+n=0,n3=0 m=3,n=3 问题: (1)若 x2+2y22xy+4y+4=0,求 xy的值 (2)已知 ABC的三边长 a,b,c 都是正整数,且满足a2+b26a6b+18+| 3 c| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形? 15如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“ 和 谐数” 如 4=2202,
4、12=4222,20=6242,因此 4,12,20 这三个数都是和谐 数 (1)36 和 2016 这两个数是和谐数吗?为什么? (2)设两个连续偶数为2k+2 和 2k(其中 k 取非负整数),由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗?为什么? (3)介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为 16如图 1,有若干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边 长为 b 的大正方形的纸片 (1)如果现有小正方形 1 张,大正方形 2 张,长方形 3 张,请你将它们拼 成一个大长方形(在图2 虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项 式 a2+3ab+
5、2b2分解因式 (2)已知小正方形与大正方形的面积之和为169,长方形的周长为34, 求长方形的面积 (3)现有三种纸片各8 张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把 取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以 拼成多少种边长不同的正方形 17(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示,用若干块这样的硬纸片 拼成一个新的长方形,如图2 用两种不同的方法,计算图2 中长方形的面积; 由此,你可以得出的一个等式为: (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图; 请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2
6、因式分解的结果,画出你的拼图 18已知 a+b=1,ab=1,设 s1=a+b,s2=a 2+b2,s3=a3+b3, ,sn=an+bn (1)计算 s2; (2)请阅读下面计算s3的过程: 因为 a+b=1,ab=1, 所以 s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)ab(a+b)=1s2( 1)=s2+1= 你读懂了吗?请你先填空完成 (2)中 s3的计算结果, 再用你学到的方法计算s4 (3)试写出 sn2,sn1,sn三者之间的关系式; (4)根据( 3)得出的结论,计算s6 19(1)利用因式分解简算: 9.82+0.49.8+0.04 (2)分解因式: 4a(a1) 2(1a)
7、20阅读材料:若 m22mn+2n28n+16=0,求 m、n 的值 解: m22mn+2n28n+16=0,( m22mn+n2)+(n28n+16)=0 (mn)2+(n4) 2=0,( mn)2=0,(n4)2=0,n=4,m=4 根据你的观察,探究下面的问题: (1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0,求 xy 的值 (2)已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数,且满足a2+b26a8b+25=0, 求ABC的最大边 c 的值 (3)已知 ab=4,ab+c26c+13=0,则 ab+c= 21仔细阅读下面例题,解答问题: 例题:已知二次三项式x24x+m 有一个因式是( x
8、+3),求另一个因式以及m 的值 解:设另一个因式为( x+n),得 x24x+m=(x+3)(x+n),则 x24x+m=x2+ (n+3)x+3n n+3=4 m=3n 解得: n=7,m=21 另一个因式为( x7),m 的值为 21 问题: (1)若二次三项式 x25x+6 可分解为( x2)(x+a),则 a=; (2)若二次三项式 2x2+bx5 可分解为( 2x1)(x+5),则 b=; (3)仿照以上方法解答下面问题: 已知二次三项式 2x2+5xk 有一个因式是 (2x 3),求另一个因式以及k 的值 22分解因式: (1)2x2x; (2)16x 21; (3)6xy 29
9、x2yy3; (4)4+12(xy)+9(xy) 2 23已知 a,b,c 是三角形的三边,且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c 2),试确定 三角形的形状 24分解因式 (1)2x44x2y2+2y4 (2)2a34a 2b+2ab2 25图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小 长方形,然后按图的形状拼成一个正方形 (1)图中的阴影部分的面积为; (2)观察图请你写出三个代数式(m+n) 2、(mn)2、mn 之间的等量关系 是 (3)若 x+y=7,xy=10,则( xy)2= (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图,它表示了 (5
10、)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2 26已知 a、b、c 满足 ab=8,ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值 27已知:一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006, 求:这个长方体的体积 28(x24x)22(x24x)15 29阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1) 2 =(1+x) 1+x+x(x+1) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是,共应用了次 (2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)
11、2+ +x (x+1)2004,则需应用上述方法 次, 结果是 (3)分解因式: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ +x(x+1)n(n 为正整数) 30对于多项式 x 35x2+x+10,如果我们把 x=2代入此多项式,发现多项式 x3 5x 2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式( x2)(注:把 x=a代入多项式能 使多项式的值为 0,则多项式含有因式( xa),于是我们可以把多项式写成: x35x2+x+10=(x2)(x2+mx+n), (1)求式子中 m、n 的值; (2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x32x213x 10 的因式 2017 年 0
12、5 月 21 日数学(因式分解难题)2 参考答案与试题解析 一填空题(共10小题) 1(2016 秋?望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则 x 2y+xy2 的值为160 【分析】 首先提取公因式 xy,进而将已知代入求出即可 【解答】 解: x+y=10,xy=16, x 2y+xy2=xy(x+y)=1016=160 故答案为: 160 【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键 2(2016 秋?新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因 看错了一次项系数而分解成2(x1)(x9);另一位同学因看错了常数项分 解成 2(x2)(x4),请
13、你将原多项式因式分解正确的结果写出来:2(x 3) 2 【分析】 根据多项式的乘法将2(x1)(x9)展开得到二次项、常数项;将 2(x2)(x4)展开得到二次项、一次项从而得到原多项式,再对该多项 式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式 【解答】 解: 2(x1)(x9)=2x220x+18; 2(x2)(x4)=2x 212x+16; 原多项式为 2x212x+18 2x 212x+18=2(x26x+9)=2(x3)2 【点评】 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式, 看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项 正确 3(2015
14、春?昌邑市期末)若多项式x 2+mx+4 能用完全平方公式分解因式,则 m 的值是4 【分析】 利用完全平方公式( a+b)2=(ab)2+4ab、(ab)2=(a+b)24ab 计算即可 【解答】 解: x 2+mx+4=(x2)2, 即 x2+mx+4=x24x+4, m=4 故答案为: 4 【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式是 解题关键 4(2015 秋?利川市期末)分解因式:4x24x3=(2x3)(2x+1) 【分析】 ax 2+bx+c(a0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项系 数 a 分解成两个因数 a1,a2的积 a1?a2,把常数
15、项 c 分解成两个因数 c1,c2的积 c1?c2, 并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b, 那么可以直接写成结果: ax2+bx+c= (a1x+c1) (a2x+c2),进而得出答案 【解答】 解:4x 24x3=(2x3)(2x+1) 故答案为:( 2x3)(2x+1) 【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键 5(2015 春?东阳市期末)利用因式分解计算:2022+202196+982=90000 【分析】 通过观察,显然符合完全平方公式 【解答】 解:原式 =202 2+2x202x98+982 =(202+98) 2 =300 2 =90000
16、【点评】 运用公式法可以简便计算一些式子的值 6(2015 秋?浮梁县校级期末) ABC三边 a,b,c 满足 a 2+b2+c2=ab+bc+ca, 则ABC的形状是等边三角形 【分析】 分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得( ab)2+(a c)2+(bc) 2=0,得出: a=b=c,即选出答案 【解答】 解:等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得: 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac, 即 a22ab+b2+a 22ac+c2+b22bc+c2=0, 即(ab)2+(ac)2+(bc)2=0, 解得: a=b=c , 所以, ABC是等
17、边三角形 故答案为:等边三角形 【点评】 此题考查了因式分解的应用; 利用等边三角形的判定, 化简式子得 a=b=c, 由三边相等判定 ABC是等边三角形 7(2015 秋?鄂托克旗校级期末)计算:1222+3242+5262+ 1002+1012= 5151 【分析】 通过观察,原式变为1+(3222)+(5242)+(10121002),进一 步运用高斯求和公式即可解决 【解答】 解:1222+3242+5262+ 1002+1012 =1+(3222)+(5242)+(10121002) =1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+ +(101+100) =(1+101)1012 =515
18、1 故答案为: 5151 【点评】 此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题 8(2015 秋?乐至县期末)定义运算ab=(1a)b,下面给出了关于这种运 算的四个结论: 2(2)=3 ab=ba 若 a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab 若 ab=0,则 a=1或 b=0 其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号) 【分析】 根据题中的新定义计算得到结果,即可作出判断 【解答】 解: 2(2)=(12)( 2)=2,本选项错误; ab=(1a)b,ba=(1b)a,故 ab 不一定等于 ba,本选项错误; 若 a+b=0,则(aa)+(bb)=(1a)a+
19、(1b)b=aa2+bb2=a2 b2=2a2=2ab,本选项正确; 若 ab=0,即( 1a)b=0,则 a=1或 b=0,本选项正确, 其中正确的有 故答案为 【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算, 弄清题中的新定 义是解本题的关键 9(2015 春?张掖校级期末)如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a 2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 【分析】 4 项为一组,分成 2 组,再进一步分解因式求得答案即可 【解答】 解: 1+a+a2+a3=0, a+a2+a3+a4+a5+a6+a 7+a8, =a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3), =
20、0+0, =0 故答案是: 0 【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题 10(2015 春?昆山市期末)若多项式x26xb 可化为( x+a)21,则 b 的值 是8 【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可 【解答】 解: x 26xb=(x3)29b=(x+a)21, a=3,9b=1, 解得: a=3,b=8 故答案为: 8 【点评】 此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键 二解答题(共20小题) 11已知 n 为整数,试说明( n+7) 2(n3)2 的值一定能被 20 整除 【分析】 用平方差公式展开( n+7) 2(n3)2,看因式中有
21、没有 20 即可 【解答】 解:( n+7) 2(n3)2=(n+7+n3)(n+7n+3)=20(n+2), (n+7)2(n3)2的值一定能被 20 整除 【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式:a2b2=(a+b)(ab) 12(2016 秋?农安县校级期末)因式分解:4x2y4xy+y 【分析】 先提取公因式 y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】 解:4x 2y4xy+y =y(4x24x+1) =y(2x1)2 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式 首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到 不
22、能分解为止 13(2015 秋?成都校级期末)因式分解 (1)a 3ab2 (2)(xy) 2+4xy 【分析】 (1)原式提取 a,再利用平方差公式分解即可; (2)原式利用完全平方公式分解即可 【解答】 解:( 1)原式 =a(a2b2)=a(a+b)(ab); (2)原式 =x 22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法 是解本题的关键 14(2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题, 例题:若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m 和 n 的值 解: m2+2mn+2n26n+9=
23、0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 (m+n) 2+(n3)2=0 m+n=0,n3=0 m=3,n=3 问题: (1)若 x2+2y22xy+4y+4=0,求 xy的值 (2)已知 ABC的三边长 a,b,c 都是正整数,且满足a2+b26a6b+18+| 3 c| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形? 【分析】 (1)首先把 x2+2y22xy+4y+4=0,配方得到( xy) 2+(y+2)2=0,再 根据非负数的性质得到x=y=2,代入求得数值即可; (2) 先把 a2+b26a6b+18+| 3c| =0, 配方得到(a3) 2+ (b3)2+| 3c| =0, 根据非负数的
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