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1、1 / 20 高考数学试卷 一.选择题(每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1 ( 5 分) (2015?原题)设i 是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2 ( 5 分) (2015?原题)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是() Ay=cosx By=sinx Cy=lnx Dy=x 2+1 3 ( 5 分) (2015?原题)设p:1 x2,q:2x1,则 p 是 q 成立的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4 ( 5 分) (2015?原题)下列双曲线中
2、,焦点在y 轴上且渐近线方程为y= 2x 的是() A x 2 =1 B y2=1 C x2=1 D y2 =1 5 (5 分) (2015?原题)已知m,n 是两条不同直线, ,是两个不同平面,则下列命题正 确的是() A若 , 垂直于同一平面,则与 平行 B若 m,n 平行于同一平面,则m 与 n 平行 C若 , 不平行,则在内不存在与 平行的直线 D若 m,n 不平行,则m 与 n 不可能垂直于同一平面 6 (5 分) (2015?原题)若样本数据x1,x2, , x10的标准差为8, 则数据 2x11,2x21, , 2x101 的标准差为() A8B15 C16 D32 7 ( 5
3、分) (2015?原题)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是() A1+B2+C1+2D2 2 / 20 8 ( 5 分) (2015?原题) ABC 是边长为2 的等边三角形,已知向量,满足=2, =2+,则下列结论正确的是() A| |=1 B C ? =1 D (4+) 9(5 分) ( 2015?原题)函数 f (x) =的图象如图所示, 则下列结论成立的是() Aa0,b0,c0 Ba0,b0,c0 Ca 0,b0,c0 Da0, b0,c0 10 (5 分) (2015?原题)已知函数f(x)=Asin ( x+ ) (A, ,均为正的常数)的最小 正周期为 ,当 x=
4、时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是() Af(2)f( 2) f(0) Bf(0) f( 2) f ( 2) Cf( 2)f( 0) f(2) Df(2) f(0) f ( 2) 二.填空题(每小题5 分,共 25 分) 11 (5 分) (2015?原题) ( x3+)7的展开式中的 x 5 的系数是(用数字填写答 案) 12 (5 分) (2015?原题)在极坐标系中,圆 =8sin上的点到直线 =( R)距离的最 大值是 13 (5 分) (2015?原题)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 为 3 / 20 14 (5 分) (2015?原题)已知数列an 是
5、递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列 an 的前 n 项和等于 15 (5 分) (2015?原题)设x3+ax+b=0 ,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三次方 程仅有一个实根的是(写出所有正确条件的编号) a=3,b=3 a=3,b=2 a=3,b2 a=0,b=2 a=1,b=2 三.解答题(共6 小题, 75 分) 16 (12 分) (2015?原题)在 ABC 中, A=,AB=6 ,AC=3,点 D 在 BC 边上, AD=BD ,求 AD 的长 17 (12 分) (2015?原题)已知 2 件次品和3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分, 每次
6、随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束 ( )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; ( )已知每检测一件产品需要费用100 元,设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望) 18 (12 分) (2015?原题)设 n N *,xn 是曲线 y=x 2n+2+1 在点( 1,2)处的切线与 x 轴交点 的横坐标 ( )求数列 xn的通项公式; ( )记 Tn=x12x32 x2n12,证明: Tn 19 (13 分) (2015?原题)如图所示, 在多面体A1B1D
7、1DCBA 中,四边形 AA1B1B, ADD1A1, ABCD 均为正方形,E 为 B1D1的中点,过A1,D,E 的平面交CD1于 F ( )证明: EF B1C; 4 / 20 ( )求二面角EAD B1的余弦值 20 (13 分) (2015?原题)设椭圆E 的方程为+=1(ab 0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为( a,0) ,点 B 的坐标为( 0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足 |BM|=2|MA| ,直线 OM 的斜率为 ( )求 E 的离心率e; ( )设点 C 的坐标为( 0, b) ,N 为线段 AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵 坐标为,求
8、 E 的方程 21 (13 分) (2015?原题)设函数f(x)=x2 ax+b ( )讨论函数 f(sinx)在(,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出最值; ( )记 fn(x)=x 2a0x+b0,求函数 |f(sinx) f 0(sinx)|在 ,上的最大值D2 ( )在( )中,取an=bn=0,求 s=b 满足条件D 1 时的最大值 5 / 20 高考数学试卷(理科) 一.选择题(每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1 ( 5 分) (2015?原题)设i 是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四
9、象限 考点 : 复 数的代数表示法及其几何意义 专题 : 计 算题;数系的扩充和复数 分析:先 化简复数,再得出点的坐标,即可得出结论 解答:解: =i(1+i)=1+i,对应复平面上的点为(1,1) ,在第二象限, 故选: B 点评:本 题考查复数的运算,考查复数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础 2 ( 5 分) (2015?原题)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是() Ay=cosx By=sinx Cy=lnx Dy=x 2+1 考点 : 函 数的零点;函数奇偶性的判断 专题 : 函 数的性质及应用 分析:利 用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择 解答:解
10、 :对于 A,定义域为R,并且 cos( x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点; 对于 B,sin( x)=sinx,是奇函数,由无数个零点; 对于 C,定义域为(0,+) ,所以是非奇非偶的函数,有一个零点; 对于 D,定义域为R,为偶函数,都是没有零点; 故选 A 点评:本 题考查了函数的奇偶性和零点的判断 求函数的定义域; 如果定义域关于原 点不对称,函数是非奇非偶的函数;如果关于原点对称,再判断f( x)与 f(x)的 关系;相等是偶函数,相反是奇函数;函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对 应方程的解的个数是一致的 3 ( 5 分) (2015?原题)设p:1 x2,q:2x
11、1,则 p 是 q 成立的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 考点 : 必 要条件、充分条件与充要条件的判断 专题 : 简 易逻辑 分析:运 用指数函数的单调性,结合充分必要条件的定义,即可判断 解答:解 :由 1x2可得 22x4,则由 p 推得 q 成立, 若 2x1 可得 x0,推不出1x2 由充分必要条件的定义可得p 是 q 成立的充分不必要条件 故选 A 6 / 20 点评:本 题考查充分必要条件的判断,同时考查指数函数的单调性的运用,属于基础题 4 ( 5 分) (2015?原题)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y= 2x 的是
12、() A x 2 =1 B y2=1 C x2=1 D y2 =1 考点 : 双 曲线的简单性质 专题 : 圆 锥曲线的定义、性质与方程 分析:对 选项首先判定焦点的位置,再求渐近线方程,即可得到答案 解答:解 :由 A 可得焦点在x 轴上,不符合条件; 由 B 可得焦点在x 轴上,不符合条件; 由 C 可得焦点在y 轴上,渐近线方程为y= 2x,符合条件; 由 D 可得焦点在y 轴上,渐近线方程为y=x,不符合条件 故选 C 点评:本 题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法,属于基 础题 5 (5 分) (2015?原题)已知m,n 是两条不同直线, ,是两个不同平
13、面,则下列命题正 确的是() A若 , 垂直于同一平面,则与 平行 B若 m,n 平行于同一平面,则m 与 n 平行 C若 , 不平行,则在内不存在与 平行的直线 D若 m,n 不平行,则m 与 n 不可能垂直于同一平面 考点 : 空 间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面 之间的位置关系 专题 : 空 间位置关系与距离 分析:利 用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答 解答:解 :对于 A,若 ,垂直于同一平面,则与 不一定平行,如果墙角的三个平面; 故 A 错误; 对于 B,若 m,n 平行于同一平面,则m 与 n 平行相交或者异面;故
14、B 错误; 对于 C,若 ,不平行,则在内存在无数条与 平行的直线;故C 错误; 对于 D,若 m,n 不平行,则m 与 n 不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直 同一个平面,则这两条在平行;故D 正确; 故选 D 点评:本 题考查了空间线面关系的判断;用到了面面垂直、 线面平行的性质定理和判定定理 6 (5 分) (2015?原题)若样本数据x1,x2, , x10的标准差为8, 则数据 2x11,2x21, , 2x101 的标准差为() A8B15 C16 D32 考点 : 极 差、方差与标准差 7 / 20 专题 : 概 率与统计 分析:根 据标准差和方差之间的关系先求出对应的方
15、差,然后结合变量之间的方差关系进行 求解即可 解答:解 :样本数据x1,x2, ,x10的标准差为 8, =8,即 DX=64 , 数据 2x11, 2x21, ,2x101 的方差为 D(2X1)=4DX=4 64, 则对应的标准差为=16, 故选: C 点评:本 题主要考查方差和标准差的计算,根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 7 ( 5 分) (2015?原题)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是() A1+B2+C1+2D2 考点 : 由 三视图求面积、体积 专题 : 计 算题;空间位置关系与距离 分析:根 据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥
16、,结合题意画 出图形,利用图中数据求出它的表面积 解答:解 :根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示; 该几何体的表面积为 S表面积=SPAC+2SPAB+SABC = 2 1+2+ 2 1 =2+ 故选: B 8 / 20 点评:本 题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体的结 构特征,是基础题目 8 ( 5 分) (2015?原题) ABC 是边长为2 的等边三角形,已知向量,满足=2, =2+,则下列结论正确的是() A| |=1 B C ? =1 D (4+) 考点 : 平 面向量数量积的运算 专题 : 平 面向量及应用
17、分析:由题意,知道 ,根据已知三角形为等边三角形解之 解答: 解: 因为已知三角形ABC 的等边三角形, 满足=2,=2+, 又, 所以, 所以=2,=1 2 cos120 =1, 4=4 1 2 cos120 =4,=4,所以=0,即( 4)=0,即 =0,所以; 故选 D 点评:本 题考查了向量的数量积公式的运用;注意:三角形的内角与向量的夹角的关系 9(5 分) ( 2015?原题)函数 f (x) =的图象如图所示, 则下列结论成立的是() 9 / 20 Aa0,b0,c0 Ba0,b0,c0 Ca 0,b0,c0 Da0, b0,c0 考点 : 函 数的图象 专题 : 函 数的性质及
18、应用 分析:分 别根据函数的定义域,函数零点以及f(0)的取值进行判断即可 解答:解 :函数在P处无意义,即c0,则 c0, f(0)=,b0, 由 f(x)=0 得 ax+b=0,即 x=, 即函数的零点x=0, a0, 综上 a0,b0,c 0, 故选: C 点评:本 题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合定义域,零点以及 f(0)的符号是解决本题的关键 10 (5 分) (2015?原题)已知函数f(x)=Asin ( x+ ) (A, ,均为正的常数)的最小 正周期为 ,当 x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是() Af(2)f( 2) f(0) Bf(
19、0) f( 2) f ( 2) Cf( 2)f( 0) f(2) Df(2) f(0) f ( 2) 考点 : 三 角函数的周期性及其求法 专题 : 三 角函数的图像与性质 分析:依题意可求 =2,又当 x=时,函数 f(x)取得最小值,可解得 ,从而可求解析 式 f(x)=Asin (2x+) ,利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小 解答:解 :依题意得,函数f( x)的周期为 , 0, =2 (3 分) 10 / 20 又 当 x=时,函数 f(x)取得最小值, 2+ =2k +,k Z,可解得: =2k +,k Z, ( 5 分) f(x)=Asin (2x+2k +)=Asi
20、n (2x+) (6 分) f( 2)=Asin ( 4+)=Asin ( 4+2 ) 0 f(2)=Asin (4+) 0 f(0)=Asin=Asin0 又 4+2 ,而 f(x)=Asin (2x+)在区间(,)是 单调递减的, f(2) f( 2) f(0) 故选: A 点评:本 题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的图象与性质,用诱导公式将 函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键,属于中档题 二.填空题(每小题5 分,共 25 分) 11 (5 分) (2015?原题) (x3+) 7 的展开式中的x 5 的系数是35(用数字填写答案) 考点 : 二 项式定理的应用 专题
21、 : 二 项式定理 分析:根 据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项,整理成最简形式,令 x 的指数为5 求得 r,再代入系数求出结果 解答:解 :根据所给的二项式写出展开式的通项, Tr+1=; 要求展开式中含x5的项的系数, 214r=5, r=4,可得:=35 故答案为: 35 点评:本 题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种 题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 12 (5 分) (2015?原题)在极坐标系中,圆 =8sin上的点到直线 =( R)距离的最 大值是6 考点 : 简 单曲线的极坐标方程 11 / 20 专题 :
22、 坐 标系和参数方程 分析: 圆 =8sin化为 2=8 sin ,把 代入可得直角坐标方程,直线 = ( R)化为 y=x利用点到直线的距离公式可得圆心C(0,4)到直线的距离d, 可得圆 =8sin上的点到直线 =( R)距离的最大值=d+r 解答:解 :圆 =8sin化为 2=8 sin ,x2+y2=8y,化为 x2+(y 4)2=16 直线 =( R)化为 y=x 圆心 C(0,4)到直线的距离d=2, 圆 =8sin上的点到直线 =( R)距离的最大值=d+r=2+4=6 故答案为: 6 点评:本 题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算 能力,属于
23、中档题 13 (5 分) (2015?原题)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 为4 考点 : 程 序框图 专题 : 图 表型;算法和程序框图 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,n 的值,当a=时不满足条件|a 1.414|=0.002670.005,退出循环,输出n 的值为 4 解答:解 :模拟执行程序框图,可得 a=1,n=1 12 / 20 满足条件 |a1.414|0.005, a= ,n=2 满足条件 |a1.414|0.005, a= ,n=3 满足条件 |a1.414|0.005, a=,n=4 不满足条件 |a1.414|=0.002670.00
24、5,退出循环,输出n 的值为 4 故答案为: 4 点评:本 题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的a, n 的值是解题的 关键,属于基础题 14 (5 分) (2015?原题)已知数列an 是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列 an 的前 n 项和等于2n1 考点 : 等 比数列的性质;等比数列的前n 项和 专题 : 等 差数列与等比数列 分析:利 用等比数列的性质,求出数列的首项以及公比,即可求解数列an 的前 n 项和 解答:解 :数列 an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8, 可得 a1a4=8,解得 a1=1,a4=8, 8=1 q3,q=
25、2, 数列 an 的前 n 项和为: =2n1 故答案为: 2n1 点评:本 题考查等比数列的性质,数列an的前 n 项和求法,基本知识的考查 15 (5 分) (2015?原题)设x3+ax+b=0 ,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三次方 程仅有一个实根的是(写出所有正确条件的编号) a=3,b=3 a=3,b=2 a=3,b2 a=0,b=2 a=1,b=2 考点 : 函 数的零点与方程根的关系 专题 : 函 数的性质及应用 分析:对 五个条件分别分析解答;利用数形结合以及导数,判断单调区间以及极值 解答:解 :设 f(x)=x 3+ax+b,f(x)=3x2+a, a=3,b
26、=3 时,令 f( x)=3x 23=0,解得 x= 1,x=1 时 f( 1)=5,f( 1) =1; 并且 x1 或者 x 1 时 f(x) 0, 所以 f( x)在( , 1)和( 1,+)都是增函数, 所以函数图象与x 轴只有一个交点,故x 3+ax+b=0 仅有一个实根;如图 13 / 20 a=3,b=2 时,令 f(x)=3x 23=0,解得 x= 1, x=1 时 f(1)=0, f( 1)=4; 如图 a=3,b2 时,函数 f(x)=x 3 3x+b,f( 1)=2+b0,函数图象形状如图 ,所以方程x 3+ax+b=0 只有一个根; a=0,b=2 时,函数f(x)=x
27、3+2,f(x)=3x2 0 恒成立,故原函数在 R 上是增函 数;故方程方程x3+ax+b=0 只有一个根; a=1,b=2 时,函数 f(x)=x 3+x+2 ,f( x)=3x2+10 恒成立,故原函数在 R 上是 增函数;故方程方程x3+ax+b=0 只有一个根; 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是 故答案为: 点评:本 题考查了函数的零点与方程的根的关系;关键是数形结合、利用导数解之 三.解答题(共6 小题, 75 分) 16 (12 分) (2015?原题)在 ABC 中, A=,AB=6 ,AC=3,点 D 在 BC 边上, AD=BD ,求 AD 的长 考点 : 正 弦定理
28、;三角形中的几何计算 专题 : 解 三角形 分析:由 已知及余弦定理可解得BC 的值, 由正弦定理可求得sinB,从而可求cosB,过点 D 14 / 20 作 AB 的垂线 DE,垂足为E,由 AD=BD 得: cosDAE=cosB ,即可求得AD 的长 解答:解: A= ,AB=6 ,AC=3, 在ABC 中,由余弦定理可得:BC 2=AB2+AC22AB ?ACcos BAC=90 BC=3 4 分 在ABC 中,由正弦定理可得:, sinB=, cosB= 8 分 过点 D 作 AB 的垂线 DE,垂足为E,由 AD=BD 得: cosDAE=cosB , RtADE 中, AD=
29、12 分 点评:本 题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基本知识的考查 17 (12 分) (2015?原题)已知 2 件次品和3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分, 每次随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束 ( )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; ( )已知每检测一件产品需要费用100 元,设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望) 考点 : 离 散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列 专题 : 概 率与统计 分析:(
30、 )记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品” 为事件 A,利用古典概型 的概率求解即可 ( )X 的可能取值为:200,300,400求出概率,得到分布列,然后求解期望即 可 解答:解 : ()记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品” 为事件 A, 则 P(A)= ( )X 的可能取值为:200,300,400 P(X=200) = 15 / 20 P(X=300) = P(X=400) =1P(X=200 ) P(X=300 )= X 的分布列为: X 200 300 400 P EX=200 +300+400=350 点评:本 题考查离散型随机变量的分布列以及期望的
31、求法,考查计算能力 18 (12 分) (2015?原题)设 n N *,xn 是曲线 y=x 2n+2+1 在点( 1,2)处的切线与 x 轴交点 的横坐标 ( )求数列 xn的通项公式; ( )记 Tn=x12x32 x2n12,证明: Tn 考点 : 利 用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和 专题 : 导 数的概念及应用;点列、递归数列与数学归纳法 分析:( 1)利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标; ( 2)利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立 解答:解 : (1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x 2n+2+1 在点( 1,2)处的切线斜
32、率 为 2n+2, 从而切线方程为y 2=(2n+2) (x 1) 令 y=0,解得切线与x 轴的交点的横坐标为, ( 2)证明:由题设和(1)中的计算结果可知: Tn=x12x32 x2n12=, 当 n=1 时, 当 n 2 时,因为= 所以 Tn 综上所述,可得对任意的n N+,均有 点评:本 题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用,属基础题型 16 / 20 19 (13 分) (2015?原题)如图所示, 在多面体A1B1D1DCBA 中,四边形 AA1B1B, ADD1A1, ABCD 均为正方形,E 为 B1D1的中点,过A1,D,E 的平面交CD1于 F ( )证明: EF B
33、1C; ( )求二面角EAD B1的余弦值 考点 : 二 面角的平面角及求法;直线与平面平行的性质 专题 : 空 间位置关系与距离;空间角 分析:( )通过四边形A1B1CD 为平行四边形,可得 B1CA1D,利用线面平行的判定定 理即得结论; ( )以 A 为坐标原点,以AB、AD 、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系 Axyz, 设边长为 2, 则所求值即为平面A1B1CD 的一个法向量与平面 A1EFD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可 解答:( )证明: B1C=A1D 且 A1B1=CD, 四边形 A1B1CD 为平行四边形, B1CA1D, 又 B
34、1C? 平面 A1EFD , B1C平面 A1EFD, 又 平面 A1EFD 平面 EF, EFB1C; ( )解:以 A 为坐标原点,以AB、AD 、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系Axyz 如图, 设边长为2, A1D平面 A1B1CD,=(0,1,1)为平面 A1B1CD 的一个法向量, 设平面 A1EFD 的一个法向量为 =( x,y,z) , 又 =(0,2, 2) ,=(1,1,0) , , 取 y=1,得=( 1, 1,1) , 17 / 20 cos(,)=, 二面角 EAD B1的余弦值为 点评:本 题考查空间中线线平行的判定,求二面角的三角函数值,注
35、意解题方法的积累,属 于中档题 20 (13 分) (2015?原题)设椭圆E 的方程为+=1(ab 0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为( a,0) ,点 B 的坐标为( 0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足 |BM|=2|MA| ,直线 OM 的斜率为 ( )求 E 的离心率e; ( )设点 C 的坐标为( 0, b) ,N 为线段 AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵 坐标为,求 E 的方程 考点 : 直 线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质 专题 : 圆 锥曲线中的最值与范围问题 分析:( I) 由于点 M 在线段 AB 上,满足 |BM|=2|MA| , 即
36、 , 可得 利 用,可得 ( II)由( I)可得直线AB 的方程为:=1,利用中点坐标公式可得N设点 N 关于直线 AB 的对称点为S,线段 NS 的中点 T,又 AB 垂直平分线段 NS,可得 b,解得即可 解答: 解: (I)点 M 在线段 AB 上,满足 |BM|=2|MA| , 18 / 20 A( a,0) ,B(0,b) ,= ,a=b = ( II)由( I)可得直线AB 的方程为:=1,N 设点 N 关于直线AB 的对称点为S,线段 NS 的中点 T, 又 AB 垂直平分线段NS, ,解得 b=3, a=3 椭圆 E 的方程为: 点评:本 题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段
37、的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互 垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题 21 (13 分) (2015?原题)设函数f(x)=x 2 ax+b ( )讨论函数 f(sinx)在(,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出最值; ( )记 fn(x)=x 2a 0x+b0,求函数 |f(sinx) f0(sinx)|在,上的最大值D2 ( )在( )中,取an=bn=0,求 s=b 满足条件D 1 时的最大值 考点 : 二 次函数的性质 专题 : 函 数的性质及应用;导数的综合应用 分析:( )设 t=sinx ,f(t)=t2 at+b( 1t1) ,讨论对称轴和区
38、间的关系,即可判断 极值的存在; ( )设 t=sinx ,t 1,1,求得 |f(t) f0(t)|,设 g(t)=|t(aa0)+(b b0) |,讨论 g(1) ,g( 1)取得最大值; ( )由( )讨论 ab 0 时, ab 0时, D 的取值,求得点(a, b)所在区域,求得 s=b的最大值 19 / 20 解答:解: ()设 t=sinx,在 x ( ,)递增, 即有 f( t)=t2 at+b( 1 t1) ,f(t)=2ta, 当 a 2时, f (t) 0,f(t)递减,即f( sinx)递减; 当 a 2 时, f (t) 0,f(t)递增,即f(sinx)递增 即有 a
39、 2 或 a 2时,不存在极值 当 2a2 时, 1t,f (t) 0,f(sinx)递减; t1, f (t) 0,f(sinx)递增 f(sinx)有极小值f()=b; ( )设 t=sinx ,t 1,1,|f(t) f0(t) |=|t(aa0)+(bb0)|, 易知 t= 1时,取得最大值,设g(t)=|t(aa0)+(bb0)|, 而 g(1)=|( aa0)+(bb0)|,g( 1)=|(a a0)+(bb0)|, 则当( a a0) (bb0) 0 时, D=g(t)max=g( 1)=|(aa0)+(bb0)|; 当( aa0) (bb0) 0 时, D=g (t)max=g(1)=|( aa0)+( bb0)| ( )由( )得 ab 0 时, D=|a+b|,当 ab 0时, D=|ab| 即有或, 点( a,b)在如图所示的区域内, 则有 s=b,当 b 取最大值1 时,取最小值0 时, smax=1 点评:本 题考查函数的性质和运用,主要考查二次函数的单调性和极值、最值,考查分类讨 论的思想方法和数形结合的思想,属于难题 20 / 20 )
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