2014年上海高考理科数学试题及答案.pdf
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1、2014年上海市高考数学试卷(理科) 一、填空题(共14 题,满分56 分) 1 (4 分) (2014?上海)函数y=12cos2(2x)的最小正周期是 _ 2 (4 分) (2014?上海)若复数z=1+2i ,其中 i 是虚数单位,则(z+)?=_ 3 (4 分) (2014?上海)若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆+=1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 _ 4 (4 分) (2014?上海)设f(x)=,若 f(2)=4,则 a 的取值范围为_ 5 (4 分) (2014?上海)若实数x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2的最小值为 _ 6 ( 4 分) (2014?上海)若圆
2、锥的侧面积是底面积的3 倍,则其母线与底面角的大小为_(结果用反三 角函数值表示) 7 (4 分) (2014?上海)已知曲线C 的极坐标方程为 (3cos 4sin )=1,则 C 与极轴的交点到极点的距离是 _ 8 (4 分) (2014?上海)设无穷等比数列an的公比为q,若 a1=(a3+a4+ an) ,则 q=_ 9 (4 分) (2014?上海)若f(x)=,则满足 f(x) 0 的 x 的取值范围是_ 10 (4 分) (2014?上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练,则选 择的 3 天恰好为连续3 天的概率是_(结果用最简分数表示
3、) 11 (4 分) (2014?上海)已知互异的复数a,b 满足 ab 0,集合 a, b=a 2,b2 ,则 a+b= _ 12 (4 分) (2014?上海)设常数a 使方程 sinx+cosx=a 在闭区间 0,2 上恰有三个解x1,x2,x3,则 x1+x2+x3= _ 13 (4 分) (2014?上海)某游戏的得分为1,2,3,4, 5,随机变量 表示小白玩该游戏的得分,若E( )=4.2, 则小白得5 分的概率至少为_ 14 (4 分) (2014?上海)已知曲线C:x=,直线 l:x=6,若对于点A(m,0) ,存在 C 上的点 P 和 l 上 的 Q 使得+=,则 m 的取
4、值范围为_ 二、选择题(共4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,选对得5 分,否则一律得零分 . ;. 15 (5 分) (2014?上海)设a,b R,则 “ a+b4” 是“ a2 且 b2” 的() A充 分非必要条件B必要非充分条件 C充 要条件D既非充分又非必要条件 16 (5 分) (2014?上海)如图,四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,Pi(i=1,2, 8)是 上底面上其余的八个点,则?(i=1,2, ,8)的不同值的个数为() A1B2C3D4 17 (5 分) (2014?上海)已知P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线y=kx
5、+1 ( k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和 y 的方程组的解的情况是() A无 论 k,P1,P2如何,总是无解 B无论 k,P1,P2如何,总有唯一解 C存 在 k,P1,P2,使之恰有两解 D存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 18 (5 分) (2014?上海) 设 f(x)=,若 f(0)是 f(x)的最小值, 则 a 的取值范围为 () A1,2B1,0C1,2D0,2 三、解答题(共5 题,满分 72 分) 19 (12 分) ( 2014?上海)底面边长为2 的正三棱锥P ABC ,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求 P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积V 2
6、0 (14 分) ( 2014?上海)设常数a 0,函数 f( x)= (1)若 a=4,求函数 y=f (x)的反函数y=f 1( x) ; (2)根据 a 的不同取值,讨论函数y=f (x)的奇偶性,并说明理由 21 (14 分) ( 2014?上海)如图,某公司要在A、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD,其中 D 为顶端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设点A、B 在同一水平面上,从A 和 B 看 D 的仰角分别为和 (1)设计中CD 是铅垂方向,若要求2 ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到0.01 米)? (2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 =3
7、8.12 , =18.45 ,求 CD 的长(结果精确到0.01 米) . ;. 22 (16 分) ( 2014?上海)在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l:ax+by+c=0 和点 P1(x1, y1) ,P2(x2,y2) ,记 =(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,若 0,则称点 P1,P2被直线 l 分隔,若曲线C 与直线 l 没有公共点,且曲线C 上 存在点 P1、P2被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 (1)求证:点A(1,2) ,B( 1,0)被直线 x+y1=0 分隔; (2)若直线y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线,求实数 k
8、的取值范围; (3)动点 M 到点 Q( 0,2)的距离与到y 轴的距离之积为1,设点 M 的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E 的分隔线 23 (16 分) ( 2014?上海)已知数列an 满足an an+1 3an,n N * ,a1=1 (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)设 an是公比为 q 的等比数列, Sn=a1+a2+ an,若Sn Sn+1 3Sn,n N *,求 q 的取值范围 (3)若 a1,a2, ak成等差数列, 且 a1+a2+ ak=1000,求正整数 k 的最大值, 以及 k 取最大值时相应数列a1,a2
9、, ak 的公差 . ;. 2014年上海市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、填空题(共14 题,满分56 分) 1 (4 分) (2014?上海)函数y=12cos2(2x)的最小正周期是 考点 : 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法 专题 : 三角函数的求值 分析:由二倍角的余弦公式化简,可得其周期 解答:解: y=12cos2(2x) =2cos 2(2x) 1 =cos4x, 函数的最小正周期为T= 故答案为: 点评:本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题 2 (4 分) (2014?上海)若复数z=1+2i ,其中 i 是虚数单位,则(z+)?=6 考
10、点 : 复数代数形式的乘除运算 专题 : 数系的扩充和复数 分析:把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 解答:解:复数z=1+2i,其中 i 是虚数单位, 则( z+)? = =(1+2i) (12i)+1 =14i 2+1 =2+4 =6 故答案为: 6 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查 3 (4 分) (2014?上海)若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆+=1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为x= 2 考点 : 椭圆的简单性质 专题 : 圆锥曲线的定义、性质与方程 分析: 由题设中的条件y2=2px(p0)的焦点与椭圆 +=1 的右焦点重合,故可
11、以先求出椭圆的右焦点坐标, 根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程 . ;. 解答: 解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是(2,0) , 又 y2=2px(p0)的焦点与椭圆 +=1 的右焦点重合, 故 p=4, 抛物线的准线方程为x= 2 故答案为: x= 2 点评:本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些 性质与几何特征解答问题 4 (4 分) (2014?上海)设f(x)=,若 f(2)=4,则 a 的取值范围为( ,2 考点 : 分段函数的应用;真题集萃 专题 : 分类讨论;函数的性质及应用 分析:可对 a 进行
12、讨论,当a 2 时,当 a=2 时,当 a 2 时,将 a 代入相对应的函数解析式,从而求出a的范围 解答:解:当 a2 时, f(2)=2 4,不合题意; 当 a=2 时, f(2)=2 2=4,符合题意; 当 a2 时, f(2)=22=4,符合题意; a 2, 故答案为:( ,2 点评:本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想,本题是一道基础题 5 (4 分) (2014?上海)若实数x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2的最小值为 2 考点 : 基本不等式 专题 : 不等式的解法及应用 分析: 由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得 解答: 解: xy=1, y= x2
13、+2y 2=x2+ 2=2, 当且仅当x2= ,即 x=时取等号, 故答案为: 2 点评:本题考查基本不等式,属基础题 6 (4分) (2014?上海)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍,则其母线与底面角的大小为arccos(结果用反三角 函数值表示) 考点 : 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 专题 : 空间位置关系与距离 分析:由已知中圆锥的侧面积是底面积的3 倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍,在轴截面中,求出母线 . ;. 与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角 解答:解:设圆锥母线与轴所成角为 , 圆锥的侧面积是底面积的3 倍, =3, 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍, 故圆锥
14、的轴截面如下图所示: 则 cos =, =arccos, 故答案为: arccos 点评:本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍,是解答的关键 7(4 分) (2014?上海)已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin ) =1, 则 C 与极轴的交点到极点的距离是 考点 : 简单曲线的极坐标方程 专题 : 计算题;坐标系和参数方程 分析:由题意, =0,可得 C 与极轴的交点到极点的距离 解答:解:由题意, =0,可得 ( 3cos04sin0)=1, C 与极轴的交点到极点的距离是 = 故答案为: 点评:正确理解C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关
15、键 8 (4 分) (2014?上海)设无穷等比数列an的公比为q,若 a1=(a3+a4+ an) ,则 q= 考点 : 极限及其运算 专题 : 等差数列与等比数列 分析: 由已知条件推导出a1= ,由此能求出q 的值 解答:解: 无穷等比数列 an的公比为 q, a1=(a3+a4+ an) . ;. =(a1a1q) =, q2+q1=0, 解得 q=或 q=(舍) 故答案为: 点评:本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用 9 (4 分) (2014?上海)若f(x)=,则满足 f(x) 0 的 x 的取值范围是(0,1) 考点 : 指、对数不等
16、式的解法;其他不等式的解法 专题 : 不等式的解法及应用 分析:直接利用已知条件转化不等式求解即可 解答: 解: f(x)=,若满足f(x) 0, 即, , y=是增函数, 的解集为:( 0,1) 故答案为:(0,1) 点评:本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力 10 (4 分) (2014?上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练,则选 择的 3 天恰好为连续3 天的概率是(结果用最简分数表示) 考点 : 古典概型及其概率计算公式 专题 : 概率与统计 分析:要求在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练,选择的3 天
17、恰好为连续3 天的概率,须先求在 10 天中随机选择3 天的情况, 再求选择的3 天恰好为连续3 天的情况,即可得到答案 解答: 解:在未来的连续10 天中随机选择3 天共有种情况, 其中选择的3 天恰好为连续3 天的情况有8 种, 选择的 3 天恰好为连续3 天的概率是, 故答案为: 点评:本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题 . ;. 11 (4 分) (2014?上海)已知互异的复数a,b 满足 ab 0,集合 a, b=a 2,b2 ,则 a+b= 1 考点 : 集合的相等 专题 : 集合 分析:根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论 解答:解:根据集合相等的条件可知,若
18、a,b=a 2,b2, 则 或 , 由 得, ab 0,a 0 且 b 0,即 a=1, b=1,此时集合 1,1 不满足条件 若 b=a2,a=b2,则两式相减得a2b2=ba, 互异的复数a,b, ba 0,即 a+b=1, 故答案为:1 点评:本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论 12 (4 分) (2014?上海)设常数a 使方程 sinx+cosx=a 在闭区间 0,2 上恰有三个解x1,x2,x3,则 x1+x2+x3= 考点 : 正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数 专题 : 三角函数的图像与性质 分析: 先利用两角和公式对函数
19、解析式化简,画出函数y=2sin(x+)的图象,方程的解即为直线与三角函数图 象的交点,在0,2 上,当 a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1,x2, x3最后 相加即可 解答: 解: sinx+cosx=2(sinx+cosx) =2sin(x+)=a, 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在0,2 上,当 a=时,直线与三角函数图象恰有三个 交点, 令 sin(x+)=, x+=2k +,即 x=2k ,或 x+=2k +,即 x=2k +, 此时 x1=0,x2=,x3=2 , x1+x2+x3=0+2 = 故答案为: . ;. 点评:本题主要考查了三角函数图象
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