2015年浙江省高中数学竞赛试卷(版,含答案).pdf
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1、. ;. 2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题(本大题共有8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6 分,共 48 分) 1“ a =2,2b” 是“ 曲线 C: 22 22 1( ,0) xy a bR ab ab 经过点2,1” 的( A ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案: A. 解答: 当 a =2,2b曲线 C: 22 22 1 xy ab 经过2,1;当曲线C: 22 22 1 xy ab 经过 点2,1 时, 即有 22 21 1 ab ,显然 2,2ab 也
2、满足上式。 所以 “ a =2,2b” 是“ 曲线 C: 22 22 1 xy ab 经过点2,1” 的充分不必要条件。 2已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m mm,则实数m的取值范围为 ( B ) A1mB 3 1 2 mC 3 3 2 mD3m 答案: B. 解答:由题意可知: 222 (1)2 (2)(1)(1) mmm mmmm m 解得 3 1 2 m。 3 如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中, M 为 BB1的中点, 则二面角M-CD1-A 的余弦值为 ( C ) A 3 6 B 1 2 C 3 3 D 6 3 答案: C. 解答:以D为坐标原点, 1
3、 ,DA DC DD所在的直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系, 则 1 1 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1, ) 2 DACDM, 且 平 面 1 ACD的 法 向 量 为 1 n u r (1,1,1),平面 1 MCD法向量为 2 ( 1,2,2)n u u r 。因此 12 3 cos, 3 n n u r uu r ,即二面角 第 3 题图 M C1 B1 D1 A1 C D A B . ;. M-CD1-A 的余弦值为 3 3 。 4若实数,a b满足 20 10 1 ab ba a ,则 2 2 ab ab 的最大值为( C )
4、 A1B 5 4 C 7 5 D 2 答案: C. 解答:由,a b满足的条件知13 b a ,所以 237 2 25 2 ab b ab a ,当 1 3 ( , )(,) 2 2 a b取等 号。 5 已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上, 记 PQR,ABC 的面积分别为SPQR,SABC,则 PQR ABC S S 的最小值为 ( D ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 参考答案: D. 解答: 如图 5-1 所示, 图 5-1 图 5-2 ( 1 ) 当PQR的 直 角 顶 点 在ABC的 斜 边 上 , 则,P C Q R四 点 共 圆 ,
5、 180,APRCQRBQR o 所以sinsin.APRBQR在,APRBQR中分别应 用 正 弦 定 理 得, sinsinsinsin PRARQRBR AAPRBBQR . 又45 ,AB o 故PRQR, 故 ARBR即R为AB的中点 . A B C P Q R H A B C P R Q . ;. 过R作RHAC于H,则 1 2 PRRHBC,所以 2 2 22 1 () 1 2 4 PQR ABC BC S PR SBCBC ,此 时 PQR ABC S S 的最大值为 1 4 . ( 2 ) 当PQR的 直 角 顶 点 在ABC的 直 角 边 上 , 如 图5-2所 示 , 设
6、 1,(01),(0) 2 BCCRxxBRQ,则90.CPRPRCBRQ o 在Rt CPR中,, sinsin CRx PR 在BRQ中, 3 1, sin4 x BRx RQPRRQBQRBB, 由正弦定理 , 1 sin 3 sinsin sinsin() 44 x PQRBx BPQB 1 sincos2sin x ,因此 222 1111 ()() 22 sin2 cos2sin PQR x SPR. 这样, PQR ABC S S 2 222 111 () cos2sin(12 )(cossin)5 , 当且仅当arctan2取 等号,此时 PQR ABC S S 的最小值为 1
7、 5 . 6. 已知数列 n a的通项 (1)(21)(1) n nx a xxnxL , * nN,若 122015 1aaaL,则实数x等于(D ) A 3 2 B 5 12 C 9 40 D 11 60 答案: D. (1)111 (1)(21)(1)(1)(21)(1)1(1)(21)(1) n nx a xxnxxxnxxxnxLLL 则 2015 1 1 11(1)(21)(20151)0 (1)(21)(20151) k k axxx xxx L L , 所以 111111 ( 1,)(,)(,)(,) 234201320142015 xL,经检验只有 11 60 x . ;.
8、符合题意。 7 若过点P(1,0) ,Q( 2,0) , R(4,0) ,S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则 该正方形的面积不可能 等于 ( C ) A 16 17 B 36 5 C 26 5 D 196 53 答案: C. 解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a,面积为,S过P的直线的倾 斜角为(0) 2 。 当过点,P Q的直线为正方形的对边所在的直线时, 4 sincossin4cossin 17 PQaRS, 此 时 正 方 形 的 面 积 216 (sin) 17 SPQ。 同理, 当过点,P R的直线为正方形的对边所在的直线时, 36 5 S;当过点,P S的
9、直线为正 方形的对边所在的直线时, 196 53 S. 8若集合 2015* (, ) (1)(2)()10,Am nmmmnmZ nNL ,则集合A 中的元素个数为( B ) A4030 B4032 C 20152D20162 答案: B. 解答:由已知得 20162015 (21)25n nm, 因为,21n nm一奇一偶, 所以,21n nm两 者之一为偶数,即为 201620162016220162015 2,25,25 ,25L共有2016 种情况,交换顺序又得到 2016 种情形,所以集合A共有 4032 个元素 . 二、填空题(本大题共有7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9
10、-14 每题 7 分, 15 题 8 分,共 50 分) 9已知函数( )f x满足(1)(1)0f xfx,(2)(2)0f xfx,且 2 ( )1 3 f,则 1000 () 3 f 答案:1. 解答:(2)(2)1(1)1(1)( )(4)( )f xfxfxfxf xf xf x,所以 100044112 ()(332)()(1)(1)( )1. 333333 ffffff . ;. 10若数列 n a的前n项和 n S 32 nn, * nN,则 2015 1 1 82i i ai = 答案: 2015 6048 . 解答: 1 2 11 352, nn nii ii aaann
11、又 1 0a,故 2* 352() n annnN, 201520152015 111 11111 () 823 (1)31 iiii aii iii 2015 6048 . 1 已知 F 为抛物线 2 5yx的焦点,点 A ( 3 ,1 ), M 是 抛物线上的动点当取最小值时, 点 M 的坐标为 答案: 1 ( ,1) 5 . 解答:设抛物线的准线为 5 : 4 lx.过 M 作l的垂线,垂足为,H则 AMMFAMMHAH,当,A M H三点共线时取等号,此时M 的坐标为 1 (,1) 5 。 12若 22 sincos 161610 xx ,则cos4x. 答案: 1 2 . 解答 :
12、设 2 sin 16,116 x tt,则 22 cos1 sin16 1616 xx t ,代入方程得 16 102,tt t 或 8t,即 21 sin 4 x或 3 4 ,所以cos4x 1 2 。 13. 设函数 2 ( )min1,1,1 f xxxx,其中min, , x y z表示, ,x y z中的最小者若 (2)( )f af a ,则实数 a的取值范围为 答案:( , 2)( 1,0). . ;. 解答:当21a时, 21,aa 此时有 ( )(2)f af a ; 当120a时,32,a此时有 ( )( 2)1(2)f aff a ; 当021a时,21,a此时有( )(
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