2017-2018学年高中数学选修2-1讲义:第二章2.2椭圆含答案精品.pdf
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1、第 1 课时椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(2,0),C(0,2),D(0, 2) 问题 1:若动点 P 满足 P APB6, 设 P 的坐标为 (x,y), 则 x, y 满足的关系式是什么? 提示: 由两点间距离公式得 x 2 2y2 x2 2 y2 6, 化简得 x 2 9 y 2 5 1. 问题 2:若动点P 满足 PCPD6,设 P 的坐标为 (x,y),则 x、y 满足什么关系? 提示: 由两点间距离公式得 x 2 y 22 x2 y2 2 6, 化简得 y 2 9 x 2 5 1. 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 x 2 a
2、2 y 2 b 21(ab0) y 2 a 2 x 2 b 21(ab0) 焦点坐标( c,0)(0, c) a、b、c 的关c 2a2b2 系 1标准方程中的两个参数a 和 b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件a, b,c 三者之间a 最大, b,c 大小不确定,且满足a 2b2c2. 2两种形式的标准方程具有共同的特征:方程右边为1,左边是两个非负分式的和, 并且分母为不相等的正值当椭圆焦点在x 轴上时,含x 项的分母大;当椭圆焦点在y轴上 时,含 y 项的分母大,已知椭圆的方程解题时,应特别注意ab0 这个条件 例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过两点 (2,2),
3、 1, 14 2 ; (2)过点 (3,5),且与椭圆 y 2 25 x 2 9 1 有相同的焦点 思路点拨 (1)由于椭圆焦点的位置不确定,故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况 进行讨论也可利用椭圆的一般方程Ax2 By21(其中 A0,B0,AB),直接求 A,B.(2) 求出焦点,然后设出相应方程,将点(3,5)代入,即可求出a, b,则标准方程易得 精解详析 (1)法一: 若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 由已知条件得 4 a 2 2 b 21, 1 a 2 14 4b 21, 解得 1 a 2 1 8, 1 b 2 1 4. 所以所
4、求椭圆的标准方程为 x 2 8 y 2 4 1. 若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 y 2 a 2 x 2 b 21(ab0) 由已知条件得 4 b 2 2 a 21, 1 b 2 14 4a 21, 解得 1 b 2 1 8, 1 a 2 1 4. 即 a 24,b28,则 a2b0 矛盾,舍去 综上,所求椭圆的标准方程为 x 2 8 y 2 4 1. 法二: 设椭圆的一般方程为Ax2By2 1(A0, B0, A B) 将两点 (2, 2),1, 14 2 代入, 得 4A2B1, A14 4 B1, 解得 A1 8, B1 4, 所以所求椭圆的标准方程为 x 2 8 y 2 4 1
5、. (2)因为所求椭圆与椭圆 y 2 25 x 2 9 1 的焦点相同, 所以其焦点在y 轴上,且 c2259 16. 设它的标准方程为 y 2 a 2 x 2 b 21(ab0) 因为 c216,且 c2a2b2,故 a2b216. 又点 (3,5)在椭圆上,所以 ()5 2 a 2 3 2 b 2 1, 即 5 a 2 3 b 21. 由得 b2 4,a220, 所以所求椭圆的标准方程为 y 2 20 x 2 4 1. 一点通 求椭圆标准方程的一般步骤为: 1求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(4,0),(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)经过两点P 1
6、3, 1 3 ,Q 0, 1 2 . 解: (1)由已知得: c 4,a5. b 2a2c225169. 故所求椭圆方程为 x 2 25 y 2 9 1. (2)设椭圆方程为Ax 2By2 1.(A0,B0,AB) 由已知得, 1 9A 1 9B1, 1 4B1, 解得: B4, A5, 故所求椭圆方程为 y 2 1 4 x 2 1 5 1. 2求适合下列条件的椭圆的方程 (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点 (0,1); (2)焦点在 y 轴上, 与 y 轴的一个交点为P(0,10),P 到它较近的一个焦点的距离等于 2. 解:(1)因为椭圆的焦点在x 轴上, 所以可设它的标准方程
7、为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 椭圆经过点(2,0)和(0,1), 2 2 a 2 0 b 21, 0 a 2 1 b 21, a 24, b 21, 故所求椭圆的标准方程为 x 2 4 y 21. (2)椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为 y 2 a 2 x 2 b 21(ab0) P(0, 10)在椭圆上,a10. 又 P 到它较近的一个焦点的距离等于2, c(10)2,故 c 8, b 2a2c236, 所求椭圆的标准方程是 y 2 100 x 2 361. 例 2已知方程 x 2 sin y2 cos 1(0 2) 表示椭圆 (1)若椭圆的焦点在x 轴上,求的
8、取值范围 (2)若椭圆的焦点在y 轴上,求的取值范围 思路点拨 (1)已知的方程不是椭圆的标准形式,应先化成标准方程 (2)对于椭圆方程 x 2 m y 2 n 1(m0,n0,mn)可由 m,n 的大小确定椭圆焦点的位置, 列出三角不等式后求的范围 精解详析 将椭圆方程x 2 sin y2 cos 1(0 2) 化为标准形式为 x 2 1 sin y 2 1 cos 1(0 2) (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆, 则 1 sin 1 cos 0,即 2, tan 1, 所以 3 4 1 sin 0,即 2, tan a6, a60, 即 a2a3 0 a 6. 解得 a3 或 60,
9、k 30, 5 kk3, 得 30,B0,AB)求解,避免了分类 讨论,达到了简化运算的目的 课时达标训练(七) 1若椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为 _ 解析: 由椭圆定义知,a5, P 到两个焦点的距离之和为2a10,因此,到另一个焦 点的距离为5. 答案: 5 2椭圆 25x 216y21 的焦点坐标是 _ 解析: 椭圆的标准方程为 x 2 1 25 y 2 1 16 1,故焦点在y 轴上,其中a2 1 16,b 21 25,所以 c 2 a2b2 1 16 1 25 9 400,故 c 3 20.所以该椭圆的焦点坐标为 0,
10、 3 20 . 答案:0, 3 20 3已知方程 (k 21)x23y21 是焦点在 y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是 _ 解析: 方程 (k21)x23y21 可化为 x 2 1 k 21 y 2 1 3 1. 由椭圆焦点在y 轴上,得 k 210, 1 k 212 或 kb0) 2a26,2c10, a13,c5. b2a2c2144. 所求椭圆的标准方程为 y 2 169 x 2 1441. (2)法一: 由 9x 25y245, 得 y 2 9 x 2 5 1, c2 954, 所以其焦点坐标为F1(0,2),F2(0, 2) 设所求椭圆的标准方程为 y 2 a 2 x 2 b 21
11、(ab0) 由点 M(2,6)在椭圆上,所以MF 1 MF22a, 即 2a20 2 62 2 20 2 62 24 3, 所以 a2 3, 又 c2,所以 b 2a2c28, 所以所求椭圆的标准方程为 y 2 12 x 2 8 1. 法二: 由法一知,椭圆9x 25y2 45 的焦点坐标为 F1(0,2),F2(0, 2), 则设所求椭圆方程为 y 2 4 x 2 1( 0), 将 M(2,6)代入,得 6 4 4 1( 0), 解得 8 或 2(舍去 ) 所以所求椭圆的标准方程为 y 2 12 x 2 8 1. 7如图,设点P 是圆 x 2y225 上的动点,点 D 是点 P 在 x 轴上
12、的投影, M 为 PD 上 一点,且MD 4 5PD,当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 解: 设 M 点的坐标为 (x,y),P 点的坐标为 (xP, yP), 由已知易得 xPx, yP 5 4y. P 在圆上, x2(5 4y) 225. 即轨迹 C 的方程为 x 2 25 y 2 16 1. 8已知动圆M 过定点 A( 3,0),并且内切于定圆B:(x3) 2y264,求动圆圆心 M 的轨迹方程 解:设动圆M 的半径为r, 则|MA|r,|MB|8 r, |MA|MB|8,且 8|AB| 6, 动点 M 的轨迹是椭圆,且焦点分别是A(3,0),B(3,0),且 2a8,
13、 a4,c3, b2a2c21697. 所求动圆圆心M 的轨迹方程是 x 2 16 y 2 7 1. 第 2 课时椭圆的几何性质 建立了椭圆的标准方程后,我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质 以方程 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)为例,试着完成下列问题: 问题 1:方程中对x,y 有限制的范围吗? 提示: 由 y 2 b 21 x 2 a 20,得 axa. 同理 byb. 问题 2:在方程中,用x 代 x, y 代 y,方程的形式是否发生了变化? 提示: 不变 问题 3:方程与坐标轴的交点坐标是什么? 提示: 令 x0,得 y b; 令 y0,得 x a; 与 x 轴的交点为 (
14、a,0),(a,0), 与 y 轴的交点为 (0,b),(0, b) 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) y 2 a 2 x 2 b 21(ab0) 范围axa, byb ay a, bxb 顶点( a,0),(0, b)(0, a),( b,0) 轴长短轴长 2b,长轴长 2a 焦点( c,0)(0, c) 焦距F1F22c 对称性对称轴 x 轴, y 轴,对称中心 (0,0) 离心率e c a(0,1) 1椭圆的对称性 椭圆的图像关于x 轴成轴对称,关于y 轴成轴对称,关于原点成中心对称 2椭圆的离心率与椭
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