2018全国各省市中考数学压轴题汇总函数之最值问题精品.pdf
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1、二次函数之最值问题 基本解题步骤: 1审题读懂问题,分析问题各个量之间的关系; 2列数学表达式用数学方法表示它们之间的关系,即写出变量与常量之间的二次函数关系式; 3求值利用二次函数关系式的顶点坐标公式 2 4 , 24 bacb aa 或配方法求得最值; 配方法 :将二次函数 2 yaxbxc 转化为 2 ()ya xhk 的形式,顶点坐标为,h k ,对称轴为 xh当0a时,y 有最小值, 即当 xh时,=yk 最小值 ;当0a时,y有最大值, 即当 xh 时,=yk 最大值 4检验检验结果的合理性(函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围) 解题策略 转化数学检验 解答 实际问题数学问
2、题解问题答案 关 键 在 如 何 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 利润最值问题:此类问题一般先是运用=“总利润总售价 - 总成本 ” 或 =“总利润每件商品的利润销售数量 ” 建立利润与价格之间的函数关系式,再 求出这个函数关系式的顶点坐标,顶点的纵坐标即为最大利润特殊地,这里 要考虑实际问题中自变量的取值范围,数形结合求最值 例 1 例 2 线段和或差(或三角形周长)最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和 两点之间线段最短确定最短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公 式求解 特殊地,也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题 最短距离和找法:以动点所在的直线为
3、对称轴,作一个已知点的对称点,连结 另一个已知点和对称点的线段,与对称轴交于一点,这一点即为所求点线段 长即为最短距离和 口诀:“大”同“小”异求最值 “大”同: 求差的最大值,把点移动到直线的同侧 “小”异: 求和的最小值,把点移动到直线的两侧(几何最值较多) 例 3 例 4 例 5 线段长最值问题: 根据 两点间距离公式 12 xx 把线段长用二次函数关系式表示 出来求最值 几何面积最值问题:此类问题一般是先运用三角形相似,对应线段成比例等性 质或者用 “割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图 形的面积y 与边长 x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐标即为面积最值 例
4、6 例 7 例 8 动点产生的最值问题:数形结合求解,把路程和转化成时间和,当三点共线时 有最值 例 9 例 10 利润最值问题 例1.(2018 沈阳市, 23,12 分)一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10 元/ 件,出厂价为12 元/ 件,年 销售量为2 万件今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次,以拓展市场若今年这种玩具每 件的成本比去年成本增加0.7x 倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍,则预 计今后年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中01x) (1)用含x 的代数式表示:今年生产的这种玩具每件的成本为_元,今年生产的这种玩具每 件的出厂价为_元 (
5、2)求今年这种玩具每件的利润y 元与 x 之间的函数关系式; (3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元, 求当 x 为何值时, 今年的年销售利润最大?最大年销 售利润是多少万元? 注:年销售利润=(每件玩具的出厂价每件玩具的成本)年销售量 例2.(2009 黄冈市, 19,11 分)新星电子科技公司积极应对2008 年世界金融危机,及时调整投资方向, 瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等 因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营 的盈亏情况每月最后一天结算1 次) 公司累积获得的利润y(万元)与销售
6、时间第x(月)之间的 函数关系式(即前x 个月的利润总和y 与 x 之间的关系)对应的点都在如下图所示的图象上该图 象从左至右,依次是线段OA、曲线 AB和曲线 BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A 为该抛物 线的顶点, 曲线 BC为另一抛物线 2 52051230yxx的一部分, 且点 A,B, C的横坐标分别为4, 10,12 (1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第x 个月所获得S (万元) 与时间 x (月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元? 12
7、10 4 C B x( 月) y( 万元 ) 40 O A 线段和(或三角形周长)最值问题 例3.(2018 浙江宁波模拟,24,7 分)已知二次函数 2 yxbxc 的图象过点3,0A和点1,0B,且 与 y 轴交于点C, D 点在抛物线上且横坐标是2 (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PAPD的最小值 例4.(2007 北京海淀模拟,25,8 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直 线 3 2 3 yx分别交 x 轴、 y 轴于 C、A两点将射线AM 绕着点 A 顺 时针旋转 45得到射线AN. 点 D 为 AM 上的动点,点 B为 AN 上的动点, 点 C
8、在 MAN 的内部 (1)求线段AC的长; (2)当 AMx 轴,且四边形ABCD为梯形时,求BCD的面积; (3)求 BCD周长的最小值; (4)当 BCD的周长取得最小值,且 5 2 3 BD时, BCD的面积为 _. (第( 4)问只需填写结论,不要求书写过程) 例5.(2018 福州市, 22, 14 分)已知,如图,二次函数 2 230yaxaxa a图像的顶点为H,与 x 轴交于 A、B 两点( B在 A 点右侧),点 H,B 关于直线l: 3 3 3 yx对称 (1)求 A、B 两点坐标,并证明点A 在直线 l 上; (2)求二次函数解析式; (3) 过点 B作直线 BKAH 交
9、直线 l 于 K点,M、 N 分别为直线AH和直线 l 上的两个动点, 连接 HN, NM, MK,求 HNNMMK 和的最小值 线段长最值问题 例6.(2018 眉山市 26, 12 分)如图, RtABO 的两直角边OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴 上, O 为坐标原点, A、B 两点的坐标分别为3,0 、 0,4,抛物线 22 3 yxbxc 经过 B 点,且 顶点在直线 5 2 x上 (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若 DCE是由 ABO沿 x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点 D 是 否在该抛物线上,并说明理由; (3) 若 M 点
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