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1、2018 届越秀区高三摸底考试试卷 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分考试用时 120分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生 号、座位号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级, 以及自己的姓名填写在答题卷上 2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目选 项的答案信息点涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其 他答案,答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在 答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液 不 按以
2、上要求作答的答案无效 4作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息 点,再作答漏涂、错涂、多涂的,答案无效 5考生必须保持答题卷的整洁考试结束后, 将试卷和答题卷一 并交回 参考公式: 圆锥的侧面积公式Sr l,其中r是圆锥的底面半径,l是圆锥的 母线长 . 一、选择题:本大题共8 小题,每小题 5 分,满分 40分在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 设集合 2 4Ax x,10Bx x,则AB R ()e(). A.21xx B.21xx C.12xx D.12xx 2. 已知 3 ( )logfxx,则 3 3 f(). A. 1 3 B. 1 3 C.
3、 1 2 D. 1 2 3. 设aR,则“1a”是“直线10axy与直线10xay平行” 的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图与侧视图都是底边长为 6、腰长为 5 的等腰三角形,则这个几何体的 全面积为(). A.12 B.15 C.21 D.24 5. 在ABC中, 3 sin 5 A,8AB AC, 则ABC的面积为(). A.3 B.4 C.6 D. 12 5 6. 函数 ( )23 x fxex的零点所在的一个区间是(). A. 1 ,0 2 B. 1 0, 2 C. 1 ,1 2 D.
4、 3 1, 2 7. 若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 22 (2)1xy相切, 则双 曲线的离心率为(). A. 4 3 B. 2 3 3 C.2 D. 2 8. 若过点(2,0)的直线与曲线 3 yx和 2 74yaxx都相切,则a的值为 (). A.2 或 49 16 B.3或 5 16 C.2 D. 5 16 二、填空题:本大题共7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题( 913 题) 9若复数z满足i2iz,则复数z的实部 是 . 10. 9 2 1 ()x x 的展开式中的常数项是 .(用 数字作答) 11. 执行
5、如图所示的程序框图,则输出的S的 值是 . 12. 已知实数,x y满足1 43 xy ,则zxy的最大值 是 . 13. 在区间0,2上随机取一个数 a,在区间0,4上随机取一个数b,则 关于x的方程 2 20xaxb有实根的概率是 . (二)选做题( 1415 题,考生只能从中选做一题) 14 (几何证明选讲选做题) 如图,AB为O的直径,弦AC、BD相交于点P,若3AB,1CD, 则cosAPB的值为 . 15 (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C的参数方程是 15 cos 25sin x y (为参数) ,以直角坐标 系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴, 并取相同的长度单位建 立极
6、坐标系,则曲线C的极坐标方程是 . 三、解答题:本大题共6小题,满分 80分解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤 16 (本小题满分 12 分) 已知函数( )sin()(0,0,0)f xAxA,xR的最大值是 1, 最小正周期是2,其图像经过点 (, 1)M (1)求( )f x的解析式; (2)设A、B、C为ABC的三个内角,且 3 ( ) 5 f A, 5 () 13 f B, 求()f C的值 17. (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随 机收集了在该超市购物的50 位顾客的相关数据,如下表所示: 一次购物量n (件) 1n 3 4n
7、 6 7n 9 10n 12 n13 顾客数(人) x 20 10 5 y 结算时间(分 钟/人) 0.5 1 1.5 2 2.5 已知这 50 位顾客中一次购物量少于10 件的顾客占 80. (1)确定 x与y的值; (2)若将频率视为概率, 求顾客一次购物的结算时间X的分布列 与数学期望; (3)在( 2)的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾 客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等 候时间不超过 2 分钟的概率 . 18. (本小题满分 14 分) 如图,菱形ABCD的边长为4, 60BAD,ACBDO. 将菱形 ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥BACD,点M是
8、棱BC的中 点, 2 2DM. (1)求 证 :/OM平 面ABD; (2)求 证 :平 面DOM平 面ABC; (3)求 二 面角DABO的余 弦 值 . 19.( 本小题满分 14 分) 已知数列 n a满足 1 1 2 a, * 11 1 () 2 nnn aanN. (1)求数列 n a的通项公式; (2)令 nn bna,数列 bn 的前n项和为Tn,试比较Tn与 3 21 n n 的 大小,并予以证明 . 20 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 1,0) F、 2(1,0) F,P为椭圆C上任意一点,且 12
9、cosF PF的最小值为 1 3 . (1)求椭圆C的方程; (2)动圆 222 (23)xytt与椭圆C相交于A、B、C、D四点, 当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大 面积. 21.( 本小题满分 14 分) 已知函数( )1ln(02) 2 x f xx x . (1)是否存在点( , )M a b,使得函数( )yf x的图像上任意一点P 关于点M对称的点Q也在函数 ( )yfx的图像上?若存在, 求出点M的坐标;若不存在,请说明理由; (2)定义 21 1 1221 ( )()()() n n i in Sffff nnnn ,其中 * nN,求 2013 S;
10、(3) 在 (2) 的条件下,令 12 nn Sa, 若不等式2()1 n am n a对 * nN 且2n恒成立,求实数m的取值范围 . 2018 届越秀区高三摸底考试数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共8题,每小题 5分,满分 40分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B D C D A C B A 二、填空题:本大题共7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 9.1 10.8411.30012.413. 1 3 14. 1 3 15.2cos4sin 三、解答题:本大题共6小题,满分 80分 16.(1)依题意得1A. 由 2 2T,解得1. 所以( )s
11、in()f xx. 因为函数 ( )f x的图像经过点( ,1)M,所以sin()1,即 sin1. 因为0,所以 2 . 所以( )sin()cos 2 f xxx. (2)由( 1)得( )cosfxx,所以 3 ( )cos 5 f AA, 5 ( )cos 13 f BB. 因为,(0,)A B,所以 2 4 sin1 cos 5 AA, 2 12 sin1cos 13 BB. 因为 ,A B C为ABC的三个内角,所以 ()coscos()cos()f CCABAB (coscossinsin)ABAB 35412 () 513513 63 65 . 17. (1)依题意得,2010
12、50 80%x,5 5020%y,解得 10x, 5y. (2)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集 的 50 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50 的随机样本,将频率视为概率得, 10 (0.5)0.2 50 P X, 20 (1)0.4 50 P X, 10 (1.5)0.2 50 P X, 5 (2)0.1 50 P X, 5 (2.5)0.1 50 P X. 所以X的分布列为 X0.5 1 1.5 2 2.5 P0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 X的数学期望为0.5 0.21 0.4 1.5 0.220.12.5 0.11.25EX. (3)记“该
13、顾客结算前的等候时间不超过2 分钟”为事件A,该顾 客前面第i位顾客的结算时间为 (1,2) i Xi,由于各顾客的结算相 互独立,且 12 ,XX的分布列都与X的分布列相同,所以 121212 ()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5(1.5)P AP XP XP XP XP XP X) 121212 (1(0.5)(1(1)(1.5(0.5)P XP XP XP XP XP X) 0.2 0.20.2 0.40.2 0.2 0.4 0.20.4 0.4 0.2 0.20.44为 所求. 18. (1)因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以/ /OMAB. 因为 OM 平 面ABD,
14、AB平面ABD,所以/OM平面ABD. (2)因为在菱形ABCD中,OD AC,所以在三棱锥BACD中, ODAC. 在菱形ABCD中,ABAD4, 60BAD,所以BD4. 因为O为 BD的中点, 所以 1 2 2 ODBD. 因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以 1 2 2 OMAB. 因为 222 8ODOMDM,所以90DOM,即OD OM. 因为AC平面ABC,OM平面ABC,AC OMO,所以OD平 面ABC. 因为OD平面DOM,所以平面 DOM平面ABC. (3) 作OE AB于E, 连结DE. 由 (2) 知,OD平面ABC, 所以ODAB. 因为OD OEO,所以AB平
15、面ODE. 因为DE平面ODE, 所以 ABDE. 所以 DEO是二 面角DABO的平面角 . 在 RtDOE中, 2OD,3 OA OB OE AB , 22 7DEODOE, 所以 21 cos 7 OE DEO DE . 所以二 面 角 DABO的 余 弦 值 为 21 7 . 19. (1)当2n时, 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 23 1111 2222 n23 1111 2222 n 1 11 1 11 42 1 22 1 2 n n . 又 1 1 2 a也适合上式,所以 *1 () 2 n n anN. (2)由( 1)得 1 2 n n a,所以 2
16、nn n n bna. 因为 123 123 2222 nn n T,所以 2341 1123 22222 nn n T. 由得, 1231 11111 222222 nnn n T, 所以 121 1 1 1112 2 12 1 222222 1 2 n n nnnn nnn T. 因为 33222(2)(221) 2 21212212(21)2 n nnnn nnnnnnn T nnnn , 所以确定 n T与 3 21 n n 的大小关系等价于比较2 n 与21n的大小. 当1n时, 1 22 1 1;当2n时, 2 2221; 当3n时, 3 2231;当4n时, 4 2241;, 可
17、猜想当3n时,221 n n. 证明如下:当3n时, 011 2(1 1) nnnn nnnn CCCC 011 2221 nn nnnn CCCCnn. 综上所述,当1n或2n时, 3 21 n n T n ;当3n时, 3 21 n n T n . 20. (1)因为P是椭圆C上一点,所以 12 2PFPFa. 在 12 F PF中, 12 2F F,由余弦定理得 222 1212 12 12 cos 2 PFPFF F F PF PFPF 2 2 1212 1212 24 44 1 22 PFPFPFPF a PFPFPFPF . 因为 2 122 12 2 PFPF PFPFa,当且仅
18、当 12 PFPFa时等号 成立. 因为1a,所以 2 1222 442 cos11 2 a F PF aa . 因为 12 cosF PF的最小值为 1 3 ,所以 2 21 1 3a ,解得 2 3a. 又1c,所以 222 2bac.所以椭圆C的方程为 22 1 32 xy . (2)设 00 (,)A xy,则矩形ABCD的面积 00 4Sx y. 因为 22 00 1 32 xy ,所以 2 20 0 2 1 3 x y. 所以 2 2 22222 0 0000 323 1632124 332 x Sx yxx. 因为 0 33x且 0 0x,所以当 2 0 3 2 x时, 2 S取
19、得最大值 24. 此时 2 0 1y, 22 00 10 2 txy. 所以当 10 2 t时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为2 6. 21. (1)假设存在点( , )M a b,使得函数( )yf x的图像上任意一点P 关于点M对称的点Q也在函数( )yf x的图像上, 则函数( )yf x图 像的对称中心为( , )M a b. 由( )(2)2fxfaxb,得 2 1ln1ln2 222 xax b xax , 即 2 2 2 22ln0 244 xax b xaxa 对 (0,2)x恒成立,所以 220, 440, b a 解 得 1, 1. a b 所以存在点(1,1)M, 使
20、得函数( )yf x的图像上任意一点P关于点M 对称的点 Q也在函数( )yf x的图像上 . (2)由( 1)得( )(2)2(02)fxfxx. 令 i x n ,则()(2)2 ii ff nn (1,2,21)in. 因为 1221 ( )( )(2)(2) n Sffff nnnn , 所以 1221 (2)(2)( )( ) n Sffff nnnn , 由+得22(21) n Sn,所以 * 21() n SnnN. 所以 2013 2201314025S. (3)由( 2)得 * 21()nSnnN,所以 * 1 () 2 n n S an nN. 因为当 * nN且2n时,2
21、()121 lnln2 n amnm n nm an n . 所 以 当 * nN且2n时 , 不 等 式 lnln 2 nm n 恒 成 立 minlnln 2 nm n . 设( )(0) ln x g xx x ,则 2 ln1 ( ) (ln) x gx x . 当0xe时,( )0gx,( )g x在(0, )e上单调递减; 当xe时,( )0gx,( )g x在( ,)e上单调递增 . 因为 23ln 9ln8 (2)(3)0 ln 2ln 3ln 2 ln 3 gg,所以 (2)(3)gg, 所以当 * nN且2n时, min 3 ( )(3) ln 3 g ng. 由 min ( ) ln 2 m g n,得 3 ln3ln 2 m ,解得 3ln 2 ln 3 m. 所以实数 m的取值范围是 3ln 2 (,) ln3 . 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有
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