2018年全国各地中考数学压轴题专集答案反比例函数精品.pdf
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1、2018年全国各地中考数学压轴题专集答案 三、反比例函数 1 (北京模拟)如图,直线AB 经过第一象限,分别与x 轴、y轴交于 A、B 两点, P 为线段 AB 上任意一 点(不与 A、B 重合),过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线,垂足分别为C、D设 OCx,四边形OCPD 的 面积为 S (1)若已知A(4,0) ,B(0,6) ,求 S与 x 之间的函数关系式; (2)若已知A(a,0) ,B(0,b) ,且当 x 3 4 时, S有最大值 9 8 ,求 a、b 的值; (3)在( 2)的条件下,在直线AB 上有一点M,且点 M 到 x轴、y轴的距离相等,点N 在过 M 点的反比
2、例函数图象上,且OAN 是直角三角形,求点N 的坐标 1解:(1)设直线AB 的解析式为 ykxb 由 A(4,0) ,B(0, 6) ,得 4kb0 b6 解得 k 3 2 b 6 直线 AB 的解析式为y 3 2 x6 OC x, P(x, 3 2 x6) S x( 3 2 x6) 即 S 3 2 x26x(0x4) (2)设直线AB 的解析式为y mxn OC x, P(x,mxn) S mx2nx 当 x 3 4 时, S有最大值 9 8 n 2m 3 4 9 16 m 3 4 n 9 8 解得 m2 n3 直线 AB 的解析式为为y2x3 A( 3 2 ,0) ,B(0, 3) P
3、B O C A x y D 即 a 3 2 ,b3 (3)设点 M 的坐标为( xM,yM) , 点 M 在( 2)中的直线AB 上,yM2xM3 点 M 到 x 轴、y轴的距离相等, xMyM或 xMyM 当 xMyM时,易得M 点的坐标为( 1,1) 过 M 点的反比例函数的解析式为y 1 x 点 N 在y 1 x 的图象上, OA 在 x 轴上,且 OAN 是直角三角形 点 N 的坐标为( 3 2 , 2 3 ) 当 xMyM时, M 点的坐标为(3,3) 过 M 点的反比例函数的解析式为y 9 x 点 N 在y 9 x 的图象上, OA 在 x 轴上,且 OAN 是直角三角形 点 N
4、的坐标为( 3 2 ,6) 综上,点 N 的坐标为( 3 2 , 2 3 )或( 3 2 ,6) 2 (北京模拟)已知点A 是双曲线y k1 x (k10)上一点,点 A 的横坐标为1,过点 A 作平行于y轴的直 线,与 x 轴交于点B,与双曲线y k2 x (k20)交于点 C点 D(m,0)是 x 轴上一点,且位于直线AC 右侧, E 是 AD 的中点 (1)如图 1,当 m4 时,求 ACD 的面积(用含k1、k2的代数式表示) ; (2)如图 2,若点 E 恰好在双曲线y k1 x (k10)上,求 m 的值; (3)如图 3,设线段EB 的延长线与y轴的负半轴交于点F,当 m2 时,
5、若 BDF 的面积为1,且 CF AD,求 k1的值,并直接写出线段CF 的长 图 1 E B O C A x y D 图 2 E B O C A x y D 图 3 E B O C A x y D F 解: ( 1)由题意得A,C 两点的坐标分别为A(1,k1) , C( 1,k2) k10, k2 0,点 A 在第一象限,点 C 在第四象限,ACk1k2 当 m4 时, SACD 1 2 ACBD 3 2 ( k1k2) (2)作 EGx 轴于点 G,则 EGAB E 是 AD 的中点, G 是 BD 的中点 A(1,k1) ,B(1, 0) ,D(m,0) EG 1 2 AB k1 2
6、,BG 1 2 BD m1 2 , OGOBBG m1 2 点 E 的坐标为E( m1 2 ,k 1 2 ) 点 E 恰好在双曲线y k1 x (k10)上 m1 2 k1 2 k1 k10,方程可化为 m1 4 1,解得 m3 (3)当 m2 时,点 D 的坐标为D(2,0) ,由( 2)可知点E 的坐标为E( 3 2 , k1 2 ) SBDF1, 1 2 BDOF1, OF2 设直线 BE 的解析式为yaxb( a0) B(1,0) ,E( 3 2 , k1 2 ) ab0 3 2 ab k1 2 解得 kk1 bk1 直线 BE 的解析式为yk1xk1 线段 EB 的延长线与y轴的负半
7、轴交于点F,k10 点 F 的坐标为F(0,k1) , OFk1 k12 线段 CF 的长为 5 3 (上海模拟)RtABC 在直角坐标系中的位置如图所示,tanBAC 1 2 ,反比例函数y k x (k0)在 第一象限内的图象与BC 边交于点D(4, m) ,与 AB 边交于点E(2,n) , BDE 的面积为2 (1)求反比例函数和直线AB 的解析式; (2)设直线AB 与y轴交于点F,点 P 是射线 FD 上一动点,是否存在点P 使以 E、 F、P 为顶点的三角 形与 AEO 相似?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由 E B O C A x y D G B O C A x y
8、 D E F E B O C A x y D F 解: ( 1)点 D(4, m) 、E(2, n)在反比例函数y k x (k0)的图象上 4mk 2n k 得 n2m 过点 E 作 EHBC 于 H,连接 DE 在 RtBEH 中, tanBEHtanBAC 1 2 ,EH2, BH1 D(4,m) ,E(2, 2m) ,B(4,2m1) SBDE 1 2 BDEH 1 2 ( m1)22,m1 D(4,1) ,E( 2,2) , B( 4,3) 点 D(4,1)在反比例函数y k x(k0)的图象上, k4 反比例函数的解析式为y 4 x 设直线 AB 的解析式为yk xb,把 B(4,
9、3) ,E(2, 2)代入 得 34k b 22k b 解得 k 1 2 b1 直线 AB 的解析式为y 1 2 x1 (2)直线y 1 2 x1 与y轴交于点 F(0,1) ,点 D 的坐标为( 4,1) , FDx 轴, EFPEAO 因此以 E、F、P 为顶点的三角形与AEO 相似有两种情况: 若 EF FP EA AO ,则 FEP AEO E(2,2) ,F(0,1) , EF5 直线y 1 2 x1与 x 轴交于点A, A(0,2) 5 FP 25 2 , FP1 P(1,1) 若 FP EF AE OA ,则 FPE AEO FP 5 25 2 , FP5 P(5,1) 4 (安
10、徽某校自主招生)如图,直角梯形OABC 的腰 OC 在y轴的正半轴上,点A( 5n,0)在 x 轴的负半 轴上, OA : AB: OC 5: 5: 3点 D 是线段 OC 上一点,且ODBD (1)若直线ykxm(k 0)过 B、D 两点,求k 的值; (2)在( 1)的条件下,反比例函数y m x 的图象经过点B B O C A x y D E H F B O C A x y D E F P B O C A x y D E F P 求证:反比例函数y m x 的图象与直线AB 必有两个不同的交点; 设反比例函数y m x 的图象与直线AB 的另一个交点为E,已知点P(p,n1) ,Q(q,
11、n2) 在线段 AB 上,当点E 落在线段PQ 上时,求 n 的取值范围 解: ( 1) A(5n,0) ,OA : OC5 : 3,点 C 在y轴的正半轴上 C(0,3n) BCOA,点 B 的纵坐标为3n 过点 B 作 BGOA 于 G,则 BG3n 设 OGx,在 RtABG 中, (5nx) 2( 3n) 2( 5n) 2 解得 xn 或 x9n(舍去) B(n,3n) 设 ODt,点 D 是线段 OC 上一点,且ODBD t 2( 3nt ) 2( n) 2, t 5 3 n D(0, 5 3 n) 把 B、D 的坐标代入ykxm,得 nkb3n b 5 3 n 解得 k 4 3 (
12、2)比例函数y m x 的图象经过点B, mn(3n) 3n 2 y 3n 2 x 由 A(5n,0) , B(n,3n)可得直线AB 的解析式为y 3 4 x 15 4 n 由y 3n 2 x 和y 3 4 x 15 4 n 消去y并整理得: 3x 215nx12n20 (15n) 24 312n 29n20 反比例函数y 3n 2 x 的图象与直线AB 必有两个不同的交点 联立 y 3n 2 x y 3 4 x 15 4 n 解得 x1n y13n x24n y2 3 4 n x y O C A B E F x y O C A B E F G D E(4n, 3 4 n) 当点 E 过点
13、P 时,有n1 3 4 n, n4 当点 E 过点 Q 时,有n2 3 4 n, n8 当点 E 落在线段PQ 上时, n的取值范围是:8n4 5 (浙江杭州)在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数yk( x 2 x1) 的图象交于点A(1,k)和 点 B(1,k) (1)当 k2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数与二次函数都是y随着 x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为Q,当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求k 的值 解: ( 1)当 k2 时, A(1,2) 设反比例函数为y k x ,则 k 1(2) 2
14、反比例函数的解析式为y 2 x (2)要使反比例函数与二次函数都是y随着 x 的增大而增大 则反比例函数只能在二、四象限,kk 0 此时二次函数开口向下,故x b 2a 1 2 才满足要求 综上所述, k0 且 x 1 2 (3)yk( x 2 x1) k( x 1 2 ) 25 4 k, Q( 1 2 , 5 4 k) A(1,k) , B(1,k) , A、B 两点关于原点O 对称,即O 是 AB 的中点 又 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,OQOA ( 1 2 ) 2( 5 4 k) 212 k2,解得 k 23 3 6 (浙江义乌)如图,矩形OABC 的顶点 A、C 分别在 x
15、、y轴的正半轴上,点D 为对角线OB 的中点,点 E( 4,n)在边 AB 上,反比例函数y k x 在第一象限内的图象经过点D、E,且 tanBOA 1 2 (1)求反比例函数的解析式; (2)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点 F,将矩形折叠,使点O 与点 F 重合,折痕分别与x、y 轴正轴交于点H、G,求线段 OG 的长 解: ( 1)在 RtBOA 中, OA 4,tanBOA 1 2 ABOAtanBOA 2, B(4,2) 点 D 为对角线OB 的中点, D(2,1) G B F C x O y A H D E 点 D 在反比例函数y k x 的图象上,1 k 2 , k2
16、反比例函数的解析式为y 2 x (2)设点 F(a,2) ,则 2a2, CFa1 连接 FG,设 OGt,则 OGFG t,CG2t 在 RtCGF 中, FG 2CF2CG2 t 212( 2t)2,解得 t5 4 OG t 5 4 7 (浙江某校自主招生)已知点P 的坐标为( m,0) ,在 x 轴上存在点Q(不与 P 重合) ,以 PQ 为边, PQM60 作菱形 PQMN,使点 M 落在反比例函数y 2 3 x 的图象上 (1)如图所示,若点P 的坐标为( 1,0) ,图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN,若另一个菱形为 PQ1M1N1,求点 M1的坐标; (2)探究发现,当符合上
17、述条件的菱形只有两个时,一个菱形的顶点M 在第四象限,另一个菱形的顶点 M1在第二象限通过改变P 点坐标,对直线MM1的解析式 y kx b 进行探究可得k_,若点 P 的坐标为( m,0) ,则 b_(用含 m 的代数式表示) ; (3)继续探究:若点P 的坐标为( m,0) ,则 m 在什么范围时,符合上述条件的菱形分别有两个、三 个、四个? 求出符合上述条件的菱形刚好有三个时,点M 坐标的所有情况 解: ( 1)过 M1作 M1HPQ1于 H,设 Q1(x,0) , 显然点 Q1在 x 轴的负半轴上,点 M1在第二象限 P(1,0) , M1Q1PQ1 1x PQM160 , Q1H 1
18、 2 ( 1x),M1H 3 2 ( 1x) OHx 1 2 ( 1x) 1 2( 1x) M1( 1 2 ( 1x), 3 2 ( 1x)) G B F C x O y A H D E x y P O Q M N Q1 M1 N1 H x y P O Q M N x y O 备用图 点 M1在反比例函数y 2 3 x 的图象上 1 2( 1 x) 3 2 ( 1x) 23,解得: x3(舍去)或x3 M1(1,2 3) (2) k3,b3m 提示:连接PM1、PM,则 M1PQ1OPNMPN 60 M1PM180 ,即 M1、P、M 三点共线且 M1MN60 可得直线MM1的解析式为 y 3
19、xb, k3 若点 P 的坐标为( m,0) ,则直线MM1的解析式为y3x3m b3m (3)若符合条件的菱形有三个,则其中必有一个菱形的一条边PN 或对角线PM 所在直线与双曲线只有 一个交点 由 QPM 60 或 PNM 60 ,P(m, 0) ,得直线PM 或直线 PN 的解析式为y3x3m 令y3x3m 2 3 x ,得 x 2mx 20 m 280,得 m 22 当22m22时, 0,满足条件的菱形有两个 当 m22时, 0,满足条件的菱形有三个 当 m22或 m2 2时, 0,满足条件的菱形有四个 由知,当符合条件的菱形刚好有三个时,m22 当 m22时,点 P 的坐标为( 2
20、2,0) 把 m22代入 x 2 mx20,得 x 22 2x20 解得 x2, M1( 2,6) 设 Q(x,0) ,由( 1)知, 1 2 ( 22x) 3 2 ( 22x) 23 解得: x4 或 x4 M2(2 2,236) ,M3(22, 236) 当 m22时,由对称性可得: M4(2,6) ,M5(22,236) ,M6(22,236) 8 (浙江模拟)如图,在平面直角坐标系中,AOB 的顶点O 是坐标原点,点A 坐标为( 1,3) ,A、 B 两点关于直线yx 对称,反比例函数y k x(x0)图象经过点 A,点 P 是直线yx 上一动点 (1)填空: B 点的坐标为( _,_
21、) ; (2)若点 C 是反比例函数图象上一点,是否存在这样的点C,使得以A、B、C、P 四点为顶点的四边形 是平行四边形?若存在,求出点C 坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 Q 是线段 OP 上一点( Q 不与 O、P 重合) ,当四边形AOBP 为菱形时,过点Q 分别作直线OA 和直线 AP 的垂线,垂足分别为E、 F,当 QEQFQB 的值最小时,求出Q 点坐标 B x O y A B x O y A 备用图 x y P O Q3 M3 N3 ( Q1) M1 N1 Q6 M6 N6 x y POQ5 M5 N5 ( Q4) N2 Q2 M2 M4 N4 解: ( 1) (3,
22、1) (2)反比例函数y k x(x0)图象经过点 A( 1,3) k133 反比例函数的解析式为y 3 x 点 P 在直线y x 上,设P(m,m) 若 PC 为平行四边形的边 点 A 的横坐标比点B 的横坐标小2,点 A 的纵坐标比点B 的纵坐标大2 若点 C 在点 P 下方,则点C 的坐标为( m2,m2) ,如图 1 若点 C 在点 P 上方,则点C 的坐标为( m2,m2) ,如图 2 把 C(m2, m2)代入反比例函数的解析式,得: m2 3 m2 ,解得 m7 m0, m7 C1( 72,72) 同理可得另一点C2( 72,72) 若 PC 为平行四边形的对角线,如图3 A、B
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