2018年全国各地中考数学压轴题汇编二(含详细答案)精品.pdf
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1、湖北省武汉为明实验学校2018 年全国各地中考数学压轴题汇编二 (含详细答案) 【11. 2018成都】 28 ( 本小题满分l2 分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数 5 4 yxm (m为常数 ) 的图象与x 轴交 于点 A( 3, 0), 与 y 轴交于点 C 以直线 x=1 为对称轴的抛物线 2 yaxbxc (abc, , 为常数,且a0) 经过 A,C两点,并与x 轴的正半轴交于点B (1)求m的值及抛物线的函数表达式; (2)设 E是 y 轴右侧抛物线上一点,过点E作直线 AC的平行线交x 轴于点 F是否存 在这样的点E,使得以A, C,E,F 为顶点的四边形是平行四
2、边形?若存在,求出点E的坐 标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由; ( 3)若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y 轴 不平行的直线交抛物线于 111 M ()xy, 222 M ()xy,两点,试探究 21 12 PPMM M M 是否为定 值,并写出探究过程 考点 :二次函数综合题。 解答: 解: ( 1)经过点( 3,0) , 0=+m ,解得 m=, 直线解析式为,C (0,) 抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴为 x=1,且与 x 轴交于 A( 3,0) ,另一交点为B( 5,0) , 设抛物线解析式为y=a( x+3) (x5)
3、 , 抛物线经过C(0,) , =a?3( 5) ,解得 a=, 抛物线解析式为y=x 2+ x+ ; (2)假设存在点E使得以 A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形, 则 AC EF且 AC=EF 如答图1, (i )当点 E在点 E位置时,过点E作 EG x轴于点 G, AC EF , CAO= EFG , 又, CAO EFG , EG=CO= ,即 yE=, =xE 2+ x E+,解得 xE=2(xE=0 与 C点重合,舍去) , E( 2,) ,S?ACEF=; (ii )当点 E在点 E位置时,过点E作 EG x 轴于点 G , 同理可求得E(+1,) ,S?ACE F= (
4、3)要使 ACP 的周长最小,只需AP+CP 最小即可 如答图 2,连接 BC交 x=1 于 P点,因为点A、B关于 x=1 对称,根据轴对称性质以及两点之 间线段最短,可知此时AP+CP 最小( AP+CP 最小值为线段BC的长度) B( 5,0) ,C(0,) ,直线BC解析式为y=x+, xP=1,yP=3,即 P(1,3) 令经过点P(1, 3)的直线为y=kx+3k, y=kx+3 k,y=x 2+ x+ , 联立化简得: x 2+(4k2)x 4k3=0, x1+x2=24k,x1x2=4k3 y1=kx1+3 k,y2=kx2+3k,y1y2=k( x1 x2) 根据两点间距离公
5、式得到: M1M2= M1M2=4 (1+k 2) 又 M1P= ; 同理 M2P= M1P?M2P= (1+k 2)? = (1+k 2)? = (1+k 2)? =4( 1+k 2) M1P?M2P=M1M2, =1 为定值 【12.2018 ?聊城】 25某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18 元,试销过程中发现,每月销 售量 y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=2x+100 (利 润=售价制造成本) (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得3502 万元的利润?当销售单价为多少
6、元时, 厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? (3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32 元,如果厂商要获得每月不 低于 350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元? 考点: 二次函数的应用;一次函数的应用。 分析: (1)根据每月的利润z=(x18)y,再把 y=2x+100 代入即可求出z 与 x 之间的 函数解析式, (2)把 z=350 代入 z=2x 2+136x1800,解这个方程即可, 将 z 2x 2+136x1800 配方,得 z=2(x34) 2+512,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 最大利润,最大利润是多少 (
7、3)结合( 2)及函数 z=2x 2+136x1800 的图象即可求出当 25x43 时 z350, 再根据限价32 元,得出25x32,最后根据一次函数y=2x+100 中 y 随 x 的增大 而减小,即可得出当x=32 时,每月制造成本最低,最低成本是18( 232+100) 解答: 解: (1)z=(x18)y=(x18) ( 2x+100) =2x 2+136x1800, z与 x 之间的函数解析式为z=2x 2+136x1800; (2)由 z=350,得 350=2x 2+136x1800, 解这个方程得x1=25, x2=43 所以,销售单价定为25 元或 43 元, 将 z 2
8、x 2+136x1800 配方,得 z=2(x 34) 2+512, 因此,当销售单价为34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是512 万元; (3)结合( 2)及函数z= 2x 2+136x1800 的图象(如图所示)可知, 当 25x43 时 z350, 又由限价 32 元,得 25x32, 根据一次函数的性质,得y=2x+100 中 y 随 x 的增大而减小, 当 x=32 时,每月制造成本最低最低成本是18( 232+100) =648(万元), 因此,所求每月最低制造成本为648 万元 点评: 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,关键是根据题意求出二次函数的解析 式,综合利用二
9、次函数和一次函数的性质解决实际问题 【13. 2018安徽】 23. 如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的 A处发出,把球看成 点,其运行的高度y(m )与运行的水平距离x(m) 满足关系式y=a(x-6) 2+h. 已知球网与 O点 的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m 。 (1)当 h=2.6 时,求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当 h=2.6 时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由; (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h 的取值范围。 23. 解析: (1)根据函数图象上面的点的坐标应该
10、满足函数解析式,把x=0,y=2, 及 h=2.6 代 入到 y=a(x-6) 2+h 中即可求函数解析式; (2)根据函数解析式确定函数图象上点的坐标,并 解决时间问题; (3)先把 x=0,y=2, 代入到 y=a(x-6) 2+h 中求出 36 2h a;然后分别表示出 x=9,x=18 时, y 的值应满足的条件,解得即可. 解: (1)把 x=0,y=2, 及 h=2.6 代入到 y=a(x-6) 2+h 即 2=a(0 6) 2+2.6 , 60 1 a y= 60 1 (x-6) 2+2.6 (2)当 h=2.6 时, y= 60 1 (x-6) 2+2.6 x=9 时, y=
11、60 1 (9 6) 2+2.6=2.45 2.43 第 23题图 A O x y 边界 球网 1896 2 球能越过网 x=18 时, y= 60 1 (18 6) 2+2.6=0.2 0 球会过界 (3)x=0,y=2, 代入到 y=a(x-6) 2+h 得 36 2h a; x=9 时, y= 36 2h (9 6) 2+h 4 32h 2.43 x=18 时, y= 36 2h (18 6) 2+h h380 由得 h 3 8 点评: 本题是二次函数问题,利用函数图象上点的坐标确定函数解析式,然后根据函数性质 来结合实际问题求解. 【14. 2018 ?乐山】 26如图,在平面直角坐标
12、系中,点A的坐标为( m ,m ) ,点 B的坐标为( n, n) ,抛物线 经过 A、O 、B三点,连接OA 、OB 、AB ,线段 AB交 y 轴于点 C已知实数m 、n(m n)分别 是方程 x 22x3=0 的两根 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P为线段 OB上的一个动点(不与点O、B重合) ,直线 PC与抛物线交于D、E两点 (点 D在 y 轴右侧),连接 OD 、BD 当 OPC为等腰三角形时,求点P的坐标; 求 BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标 考点 :二次函数综合题。 分析: (1)首先解方程得出A,B两点的坐标,进而利用待定系数法求出二次函数解析式即 可;
13、(2)首先求出AB的直线解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性质得出 当 OC=OP 时,当 OP=PC 时,点 P在线段 OC的中垂线上,当OC=PC 时分别求出x 的值 即可; 利用 SBOD=SODQ+SBDQ得出关于x 的二次函数,进而得出最值即可 解答: 解(1)解方程x 22x3=0, 得 x1=3,x2=1 m n, m= 1,n=3( 1 分) A( 1, 1) ,B (3, 3) 抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax 2+bx 解得:, 抛物线的解析式为( 4 分) (2)设直线AB的解析式为y=kx+b 解得:, 直线 AB的解析式为 C 点坐标为( 0,) (
14、6 分) 直线 OB过点 O(0,0) ,B(3, 3) , 直线 OB的解析式为y=x OPC为等腰三角形, OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC 设 P(x, x) , (i )当 OC=OP 时, 解得,(舍去) P1(,) (ii )当 OP=PC 时,点 P在线段 OC的中垂线上, P2(,) (iii)当 OC=PC 时,由, 解得,x2=0(舍去) P3(,) P 点坐标为 P1(,)或 P2(,)或 P3(,) ( 9 分) 过点 D作 DG x轴,垂足为G ,交 OB于 Q ,过 B作 BH x轴,垂足为H 设 Q(x, x) ,D(x,) SBOD=SODQ+SBDQ
15、= DQ?OG+DQ?GH, = DQ (OG+GH ) , =, =, 0x3, 当时, S取得最大值为,此时 D(,) ( 13 分) 点评: 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知 识,求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出 【15. 2018 ?衢州】 24如图,把两个全等的RtAOB和 RtCOD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB 、 OD在 x 轴上已知点A(1,2) ,过 A、C两点的直线分别交x 轴、 y 轴于点 E、F抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O 、A、C三点 (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点 P为线段 OC上一个动
16、点,过点P作 y 轴的平行线交抛物线于点M ,交 x 轴于点 N , 问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若 不存在,请说明理由 (3)若 AOB沿 AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),AOB在平移过 程中与 COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值; 若不存在,请说明理由 考点 :二次函数综合题。 分析: (1)抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 O 、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元 二次方程,求出t 的值,从而
17、可解结论:存在点P (,) ,使得四边形ABPM 为等 腰梯形; (3)本问关键是求得重叠部分面积S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的 最大值解答中提供了三种求解面积S表达式的方法,殊途同归,可仔细体味 解答: 解: (1)抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 O 、A、C, 可得 c=0, 解得 a=,b= , 抛物线解析式为y=x 2+ x (2)设点 P的横坐标为t ,PN CD , OPN OCD ,可得PN= P(t ,) ,点 M在抛物线上, M ( t,t 2+ t ) 如解答图 1,过 M点作 MG AB于 G,过 P点作 PH AB于 H, AG=yAyM=2(t 2+
18、 t )= t2 t+2 ,BH=PN= 当 AG=BH 时,四边形ABPM 为等腰梯形, t 2 t+2=, 化简得 3t 28t+4=0 ,解得 t 1=2(不合题意,舍去) ,t2= , 点 P的坐标为(,) 存在点 P(,) ,使得四边形ABPM 为等腰梯形 (3)如解答图2,AOB沿 AC方向平移至 AO B,AB交x 轴于 T,交 OC 于 Q,AO 交 x 轴于 K,交 OC于 R 求得过 A、C的直线为yAC= x+3,可设点A的横坐标为a,则点 A( a, a+3) , 易知 OQT OCD ,可得QT= , 点 Q的坐标为( a,) 解法一: 设 AB与 OC相交于点J,
19、ARQ AOJ ,相似三角形对应高的比等于相似比,= HT=2a, KT= AT=(3a) ,AQ=yA yQ=( a+3)=3a S四边形 RKTQ=SAKTSARQ= KT?A TAQ?HT = ?(3a)?( 3a)?( a+2) =a 2+ a=(a) 2+ 由于0, 在线段 AC上存在点A(,) ,能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为 解法二: 过点 R作 RH x轴于 H,则由 ORH OCD ,得 由RKH AO B,得 由,得KH= OH , OK= OH ,KT=OT OK=a OH 由AKT AO B,得, 则 KT= 由,得=aOH ,即 OH=2a 2, RH=a 1
20、,所以点R的坐标为R(2a2,a 1) S四边形 RKTQ=SQOTSROK=?OT?QT ?OK?RH = a? a( 1+ a)?( a1) =a 2+ a=(a) 2+ 由于0, 在线段 AC上存在点A(,) ,能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为 解法三: AB=2 , OB=1 ,tan O AB=tanOAB=, KT=A T?tanO AB=(a+3)? =a+ , OK=OT KT=a (a+ )= a, 过点 R作 RH x轴于 H,tan OAB=tan RKH=2,RH=2KH 又tan OAB=tan ROH= , 2RH=OK+KH=a+ RH , RH=a 1,O
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