2018年广东卷高考理科数学试题及答案精品.pdf
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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) A 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120分钟。 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的 姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷 类型( B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。 2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答 案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案 不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡 各题目指定区域相应位置上;如需改动
2、, 先划掉原来的答案, 然后再 写上新的答案; 不准使用铅笔盒涂改液。 不按以上要求作答的答案无 效。 4. 作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交 回。 参考公式: 主体的体积公式V=Sh ,其中 S为柱体的底面积, h 为柱体 的高。 锥体的体积公式为,其中 S为锥体的底面积, h 为锥体的高。 一 、选择题:本大题共8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 设 i 为虚数单位,则复数 56i i = A
3、 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 2 设集合 U=1,2,3,4,5,6, M=1,2,4 则 CuM= A .U B 1,3,5 C 3,5,6 D 2,4,6 3 若向量 BA=(2,3 ) ,CA=(4,7) ,则BC= A (-2,-4 ) B (3,4) C (6,10) D (-6,-10) 4. 下列函数中,在区间( 0,+)上为增函数的是 A.y=ln (x+2) B.y=-1x C.y=( 1 2 ) x D.y=x+ 1 x 5. 已知变量 x,y 满足约束条件 1 1 2 yx yx y ,则 z=3x+y 的最大值为 A.12 B.11 C.3
4、D.-1 6, 某几何体的三视图如图1 所示,它的体积为 A12 B.45 C.57 D.81 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数为 0 的概率是 A. 4 9 B. 1 3 C. 2 9 D. 1 9 8. 对任意两个非零的平面向量和,定义。若平面向量 a,b 满足|a| |b| 0,a 与 b 的夹角 4 ,且 ab 和 ba 都 在集合Z n 2 中,则ba= A 1 2 B.1 C. 3 2 D. 5 2 二、填空题:本大题共7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题( 9-13 题) 9. 不等式|x+2|-|x|1 的解集
5、为 _。 10. 6 2 1 x x的展开式中 x3的系数为 _。 (用数字作答) 11. 已知递增的等差数列 an 满足 a1=1, 4 23 aa,则 an=_。 12. 曲线 y=x 3-x+3 在点( 1,3)处的切线方程为 。 13. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入n 的值为 8,则输出 s 的值 为。 (二)选做题( 14-15 题,考生只能从中选做一题) 14, (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,曲线 C1 和 C2的参数方程分别为)( 为参数t ty tx 和 )( sin2 cos2 为参数 y x , 则曲线 C1与 C2的交点坐标为 _。 15.
6、(几何证明选讲选做题)如图3,圆 O的半径为 1,A、B、C是圆 周上的三点,满足 ABC=30 ,过点 A作圆 O的切线与 OC的延长线 交于点 P,则 PA=_ 。 三、解答题:本大题共6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 ) 6 x 2cos(wxf (x), (其中 0,xR)的最小正周期为 10。 (1)求的值; (2)设,)(,)(, 17 16 6 5 -5f 5 6 - 3 5 5af 2 0求 cos() 的值。 17. (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图
7、4 所示,其 中成绩分组区间是: 40,5050,6060,7070,8080,9090,100。 (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为,求得数学期望。 18. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA 平面 ABCD , 点 E 在线段 PC上,PC 平面 BDE 。 (1)证明:BD 平面 PAC ; (2)若 PA=1 ,AD=2 ,求二面角 B-PC-A的正切值; 19. (本小题满分 14 分) 设数列 an 的前 n 项和为
8、 Sn,满足1-22S 1n 1nn a,nN , 且 a 1,a2+5, a3成等差数列。 (1)求 a1的值; (2)求数列an 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数n,有 2 31 . 11 21n aaa . 20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 C1: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 e= 2 3 ,且椭圆 C上的点到 Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆 C的方程; (2)在椭圆 C上,是否存在点 M (m,n)使得直线 l :mx+ny=1与圆 O : x 2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且 OAB的面积最大
9、?若存在,求 出点 M的坐标及相对应的 OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 21. (本小题满分 14 分) 设 a1,集合BAD,06aa)x(13-2,0 2 xRxBxRxA (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 axf6a)x(13-2x(x) 23 在 D内的极值点。 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 参考公式: 柱体的体积公式VSh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高 . 圆锥的体积公式 1 3 VSh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高 . 一、选择题 1. (复数)设i为虚数单位,则复数 56i i () A.65iB.65iC.65
10、iD.65i 解析: D. 56i 65i i . 2. (集合)设集合1,2,3,4,5,6U,1,2,4M,则 U C M() A.UB.1,3,5C.3,5,6D.2,4,6 解析: C.3,5,6 U C M. 3. (向量)若向量2,3BA,4,7CA,则BC() A.2, 4B.2,4C.6,10D.6, 10 解析: A.2, 4BCBACA. 4. (函数)下列函数中,在区间0,上为增函数的是() A.ln2yxB.1yxC. 1 2 x yD. 1 yx x 解析: A.ln2yx在2,上是增函数 . 5. 已知变量x、y满足约束条件 2 1 1 y xy xy ,则3zxy
11、的最大值为 () A.12 B.11 C.3 D.1 解析: B.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值. 联立 2 1 y yx ,解得 3 2 x y ,所以 3zxy的最大值为 11. 6. (立体几何)某几何体的三视图如图1 所示, 它的体积为() A.12B.45 C.57D.81 解析: C.该几何体下部分是半径为3,高为 5 的圆柱,体积为 2 3545V,上部分是半径为 3,高为 4 的圆锥,体积为 2 1 3412 3 V,所 以体积为57. 7. (概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为 0 的概率是() A. 4 9 B. 1 3 C.
12、 2 9 D. 1 9 解析: D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的 两位数有 45 个,个位数为 0 的有 5 个,所以概率为 51 459 . 8. 对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向 量a、b满足0ab,a与b的夹角0, 4 ,且ab和b a都在集合 2 n nZ中,则ab() A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 5 2 解析: C. a a b ab b bb 1 cos 2 k , b b a a 2 cos 2 k ,两式相乘,可 得 2 12 cos 4 k k . 因 为0, 4 , 所 以 1 k、 2 k都 是 正 整 数 , 于 是 2
13、12 1 cos1 24 kk , 即 12 24k k, 所以 12 3kk. 而0ab, 所以 1 3k,21k, 于是 3 2 a b. 二、填空题 (一)必做题( 913 题) 9. (不等式)不等式21xx的解集为 _. 解析: 1 , 2 .2xx的几何意义是x到2的距离与x到 0 的距 离的差,画出数轴,先找出临界“ 21xx的解为 1 2 x” ,然后可 得解集为 1 , 2 . 10.(二项式定理) 6 21 x x 的展开式中 3 x的系数为 _. (用 数字作答) 解析: 20. 6 21 x x 的展开式通项为 6 212 3 166 1 k k kkk k TCxC
14、x x ,令 1233k,解得3k,所以 6 21 x x 的展开式中 3 x的系数为 3 6 20C. 11. (数列)已知递增的等差数列 n a满足 1 1a, 2 32 4aa,则 n a_. 解析:21n.设公差为d(0d) ,则有 2 1214dd,解得2d, 所以21 n an. 12.曲 线 3 3yxx在点1,3处的切线方程为 _. 解析:210xy. 2 1 |3 112 x y,所以切线方程为321yx, 即210xy. 13. (算法)执行如图2 所示的程序框图, 若输入n的值为 8,则输出s的值为 _. 解析:8. 第一次循环, 1 122 1 s,4i, 2k;第二次
15、循环, 1 244 2 s,6i,3k; 第三次循环, 1 468 3 s,8i,4k. 此时退 出循环,输出s的值为 8. (二)选做题( 1415 题) 14.(坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C和 2 C 的参数方程分别为 xt yt (t为参数)和 2cos 2sin x y (为参数) ,则曲 线 1 C与 2 C的交点坐标为 _. 解析:1,1. 法 1:曲线 1 C的普通方程是 2 yx(0y) ,曲线 2 C的 普通方程是 22 2xy,联立解得 1 1 x y ,所以交点坐标为1,1. 法2 : 联 立 2cos 2sin t t , 可 得 2 2c
16、os2sin, 即 2 2cos2cos20, 解得 2 cos 2 或cos2(舍去) , 所以 1 1 t t ,交点坐标为1,1. 15.(几何证明选讲) 如图 3,圆O的半径为 1,A、 B、C是圆周上的三点,满足30ABC,过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P,则PA_. 解析:3. 连接OA,则60AOC,90OAP,因为1OA,所以 3PA. 三、解答题 16. (三角函数)(本小题满分 12 分) 已知函数2cos 6 fxx(其中0 xR)的最小正周期为10. ()求的值; ()设、0, 2 , 56 5 35 f, 516 5 617 f,求cos 的值. 解析: (
17、) 2 10T,所以 1 5 . () 5156 52cos52cos2sin 353625 f,所 以 3 sin 5 . 51516 52cos52cos 656617 f,所以 8 cos 17 . 因为、0, 2 ,所以 2 4 cos1sin 5 , 2 15 sin1cos 17 ,所以 4831513 coscoscossinsin 51751785 . 17. (概率统计)(本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩 的频率分布直方图如图4 所示, 其中成 绩分组区间是:40,50、50,60、60,70、 70,80、80,90、90,100. ()求图中x的
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