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1、复习说明:圆这部分内容在陕西省中考试卷中是必考 内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题3 分,解 答题 8 分,共 11 分。2018 年考试说明中三套样题中 选择题部分增加了对圆知识的3 分考查,但是填空题 均未出现与圆有关的题型,而是改为以四边形为背景 来进行考查,第23 题解答题 8 分依然存在。在这部 分的复习中,应重视学生逻辑思维能力的培养和书写 的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出 现,学生在这部分最容易逻辑混乱,次序颠倒,甚至 书写随意。在复习中要注意随时纠正。 圆专题复习 一.选择题 1(2018?湖南株洲 ,第 6 题 3 分)如图,圆 O 是ABC 的外接圆, A
2、68 ,则 OBC 的大 小是( ) A22 B26 C32 D68 【试题分析】 本题考点为:通过圆心角BOC2A136 ,再利用等腰三角形AOC 求出 OBC 的度数 答案为: A 第6题图 O C B A 2、(2018 湖南省常德市, 第 6 题 3 分)如图,四边形 ABCD 为O 的内接四边形, 已知 BOD 100 ,则 BCD 的度数为: A、50B、80C、100D、130 【解答与分析】圆周角与圆心角的关系,及圆内接四边形的对角互补 :答案为 D 3, (2018?四川南充 ,第 8 题 3 分)如图, PA 和 PB 是 O 的切线,点A 和 B 是切点, AC 是 O
3、的直径,已知 P40 ,则 ACB 的大小是() (A)60(B) 65 (C) 70(D) 75 【答案】 C 1000 第6题图 O D B A C 考点:切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质. 4、 ( 2018? 四川自贡 ,第 9 题 4 分)如图,AB是 O 的直径,弦 ,CDABCDB30CD2 3 o, ,则 阴影部分的面积为() A.2B.C. 3 D. 2 3 考点:圆的基本性质、垂径定理,勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等. 分析:本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对 称图形和垂径定理, 利用题中条件可知 E是弦CD的中点
4、 ,B是弧CD的中点;此时解法有三: 解法一,在弓形CBD 中,被 EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的, 所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB 来求; 解法二, 连接 OD,易证ODE OCE, 所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD 来求;解法三, 阴影部分的面积之和是扇形COD 的面积的一半 . 略解: AB是 O 的直径,ABCD E是弦CD的中点 ,B是弧CD的中点(垂径定理) 在弓形 CBD 中,被 EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) 阴影部分的面积之和等于扇形COB 的面积 . E是弦CD的中点, CD23 11 CECD2 33 22 AB
5、CDOEC90o COE60o , 1 OEOC 2 . 在 RtOEC中,根据勾股定理可知: 222 OCOECE 即 2 2 21 OCOC3 2 . 解得 :OC2;S扇形 COB = 22 60OC6022 3 360360 oo oo .即 阴影部分的面积之 和为 2 3 .故选 D. 5. (2018?浙江滨州 ,第 11 题 3 分)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2,则其内切圆 半径的长为 ( ) D C O A BE A.B.C.D.1 【答案】 B 【解析】 试题分析: 如图,等腰直角三角形ABC 中, D 为外接圆, 可知 D 为 AB 的中点,因此 AD=2, AB
6、=2AD=4, 根据勾股定理可求得AC=, 根据内切圆可知四边形EFCG 是正方形,AF=AD, 因此 EF=FC=AC AF= 2. 故选 B 考点:三角形的外接圆与内切圆 6、(2018 湖南邵阳第7 题 3 分) 如图,四边形 ABCD 内接于 O, 已知 ADC=140 , 则AOC 的大小是() A80B100C60D40 考点:圆内接四边形的性质;圆周角定理. 分析:根据圆内接四边形的性质求得ABC=40 ,利用圆周角定理,得AOC=2B=80 解答:解: 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, ABC+ ADC=180 , ABC=180 140 =40 AOC=2ABC=80
7、 故选 B 点评:此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质,得出B 的度数是解题关 键 7 , (2018 上海 ,第 6 题 4 分)如图,已知在O 中, AB 是弦,半径 OCAB,垂足为点D, 要使四边形OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是() A、ADBD;B、ODCD; C、CADCBD;D、OCAOCB 【答案】 B 【解析】因OCAB,由垂径定理,知AD BD,若 OD CD,则对角线互相垂直且平分, 所以, OACB 为菱形。 8 . (2018 湖北荆州第5 题 3 分)如图, A,B,C 是O 上三点, ACB=25 ,则 BAO 的 度数是() A
8、55 B 60 C 65 D 70 考点:圆周角定理 分析:连接 OB,要求 BAO 的度数,只要在等腰三角形OAB 中求得一个角的度数即可 得到答案, 利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得AOB=50 ,然后根据等腰三角形两 底角相等和三角形内角和定理即可求得 解答:解:连接 OB, ACB=25 , AOB=2 25 =50 , 由 OA=OB, BAO=ABO, BAO=(180 50 ) =65 故选 C 点评:本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键 9 . (2018?浙江杭州 ,第 5 题 3 分)圆内接四边形ABCD 中,已知 A=70 ,则 C=
9、( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】 圆内接四边形ABCD 中,已知 A=70 , 根据圆内接四边形互补的性质,得C=110 . 故选 D 10. (2018? 浙江湖州,第8 题 3 分)如图,以点O 为圆心的两个圆中,大圆的弦AB 切小圆 于点 C,OA 交小圆于点D,若 OD=2, tanOAB=,则 AB 的长是 ( ) A. 4B. 2C. 8 D. 4 【答案】 C. 考点:切线的性质定理;锐角三角函数;垂径定理. 11. (2018? 浙江宁波,第8 题 4 分)如图, O 为ABC 的外接圆, A=72
10、,则 BCO 的 度数为【】 A. 15 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】 B. 【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质;三角形内角和定理. 【分析】如答图,连接OB, A 和BOC 是同圆中同弧? BC 所对的圆周角和圆心角, 2BOCA. A=72 , BOC=144 . OB=OC , CBOBCO. 180144 18 2 CBO. 故选 B. 12 . (2018? 山东威海, 第 9 题 3 分)如图,已知 AB=AC=AD,CBD=2BDC, BAC=44 , 则 CAD 的度数为() A68 B88 C90 D112 考点:圆周角定理 . 分析:如图,作辅助圆; 首先
11、运用圆周角定理证明 CAD=2CBD , BAC=2BDC,结 合已知条件 CBD =2BDC,得到 CAD=2BAC,即可解决问题 解答:解:如图, AB=AC=AD, 点 B、C、 D 在以点 A 为圆心, 以 AB 的长为半径的圆上; CBD=2BDC , CAD =2CBD, BAC=2BDC, CAD=2BAC,而 BAC=44 , CAD=88 , 故选 B 点评:该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题;解题的方法是作 辅助圆, 将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分 析、判断、推理或解答 13 (2018?甘肃兰州 ,第 9 题
12、, 4 分)如图,经过原点O 的P 与 x、y轴分别交于A、B 两 点,点 C 是劣弧上一点,则 ACB= A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 【 答案 】B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆(或等圆)中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等;直径所对的圆 周角是直角;当圆周角为直角时,其所对的弦是直径。 【解答过程】 ACB 和AOB 都是 P 中同一条弧所对的圆周角,所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中,我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同;再换一种场合, 如果连结 AB,还有可能需要说明AB 是直径,或者点P 在 A
13、B 上。 【题目星级】 14. (2018?山东临沂 ,第 8 题 3 分) 如图 A, B, C 是上的三个点, 若, 则 等于() (A) 50 . (B) 80 . (C) 100 . (D) 130 . 【答案】 D 【解析】 试题分析:根据圆周的度数为360 ,可知优弧AC 的度数为360 100 =260 ,然后根据同 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,可求得B=130 . 故选 D 考点:圆周角定理 15 (2018 深圳,第9 题分)如图, AB 为 O 直径,已知为 DCB=20 o,则DBA 为( ) A、 o 50 B、 o 20 C、 o 60 D、 o 70 【
14、答案】 D 【解析】 AB 为O 直径,所以, ACB=90o, DBADCA o 70 16 (2018 南宁,第 11 题 3 分)如图 6, AB 是 O 的直径,AB=8, 点 M 在O 上, MAB=20 ,N 是弧 MB 的中点 ,P 是直径 AB 上的一动点,若MN=1,则 PMN 周长的最小值为( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 考点:轴对称最短路线问题;圆周角定理. 分析:作N 关于 AB 的对称点N,连接MN,NN,ON,ON,由两点之间线段最短可知 MN 与AB 的交点 P 即为 PMN周长的最小时的点,根据N 是弧MB 的中点可知 A=NOB=MON =2
15、0 ,故可得出 MON=60,故 MON 为等边三角形,由此可得出结 论 解答:解:作N 关于 AB 的对称点N ,连接 MN, NN ,ON ,ON N 关于 AB 的对称点N , MN 与 AB的交点P 即为PMN周长的最小时的点, N 是弧 MB 的中点, A=NOB=MON =20 , MON=60, MON为等边三角形, MN= OM=4, PMN 周长的最小值为4+1=5 故选 B 图 6 点评: 本题考查的是轴对称最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的 性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点 17. (2018?四川凉山州 ,第
16、10 题 4 分)如图, ABC 内接于 O,OBC=40 ,则 A 的度 数为() A80B 100C110D 130 【答案】 D 考点:圆周角定理 18、(2018?四川泸州 ,第 8 题 3 分)如图,PA、 PB 分别与 O 相切于 A、 B 两点,若C=65 , 则 P 的度数为 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考点:切线的性质. 分析:由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线,利用切线的性质得到OA 垂直于 AP,OB 垂直于 BP, 可得出两个角为直角,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍,由已知 C 的度数求 出 AOB 的度数,在四边形P ABO 中
17、,根据四边形的内角和定理即可求出P 的度数 解答:解: PA、 PB 是 O 的切线, OAAP, OBBP, OAP=OBP=90 , 又 AOB=2C=130 , 则 P=360 ( 90 +90 +130 )=50 故选 C 点评: 本题主要考查了切线的性质,四边形的内角与外角,以及圆周角定理,熟练运用性质 及定理是解本题的关键 19. (2018?四川眉山,第11 题 3 分)如图, O 是ABC 的外接圆, ACO=45 ,则 B 的度数为() A30 B35 C40 D45 考点:圆周角定理 . 分析:先根据 OA=OC, ACO=45 可得出 OAC=45 ,故可得出 AOC 的
18、度数,再由圆 周角定理即可得出结论 解答:解: OA=OC,ACO=45 , OAC=45 , AOC=180 45 45 =90 , B=AOC=45 故选 D 第8题图 P O A B C 点评:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 20 (2018?甘肃武威 ,第 8 题 3 分) ABC 为O 的内接三角形,若AOC=160 ,则 ABC 的度数是() A 80B 160C 100D 80 或 100 考点:圆周角定理 分析:首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案ABC 的度数,又由 圆的内接四
19、边形的性质,即可求得ABC 的度数 解答:解:如图, AOC=160 , ABC=AOC= 160 =80 , ABC+ ABC=180 , AB C=180 ABC=180 80 =100 ABC的度数是:80 或100 故选 D 点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大,注意数 形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解 二.填空题 1.(2018? 福建泉州第17 题 4 分)在以O 为圆心 3cm 为半径的圆周上,依次有A、 B、C 三 个点,若四边形OABC 为菱形,则该菱形的边长等于3cm;弦 AC 所对的弧长等于2 或 4 cm 解:连接 OB 和 AC 交于
20、点 D, 四边形 OABC 为菱形, OA=AB=BC=OC, O 半径为 3cm, OA=OC=3cm, OA=OB, OAB 为等边三角形, AOB=60 , AOC=120 , =2 , 优弧=4 , 故答案为3,2或 4 2.(2018 湖北鄂州第15 题 3 分) 已知点 P 是半径为1 的O 外一点, PA 切O 于点 A, 且 P A=1, AB 是 O 的弦,AB=, 连接 PB,则 PB= 【答案】 1 或. D C BA O 考点: 1.垂径定理; 2.圆的认识; 3.切线的性质 3, (2018 上海 ,第 17 题 4 分)在矩形ABCD 中,AB5,BC12,点 A
21、在B 上如果 D 与 B 相交,且点B 在D 内,那么 D 的半径长可以等于_(只需写出一个符 合要求的数 ) 【答案】 15 【解析】 4(2018?江苏南昌 ,第 10 题 3 分)如图,点A, B, C 在O 上, CO 的延长线交AB 于点 D, A=50 ,B=30 则ADC 的度数为. 第10题 D O B A C 答案:解析: A=50 , BOC=100 , BOD=80 , ADC=B BOD=30 80 =110 5(2018?江苏南京 ,第 15 题 3 分)如图,在 O 的内接五边形ABCDE 中, CAD=35 ,则 B+E= _ 【答案】 215 考点:圆内接四边形
22、的性质 6、 ( 2018? 四川自贡 ,第 13 题 4 分)已知,AB是 O 的一条直径,延长AB至C点,使 AC3BC,CD与O 相切于D点,若 CD3 ,则劣弧AD的长为. 考点:圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等. 分析:本题劣弧AD的长关键是求出圆的半径和劣弧AD所对的 圆心角的度数 .在连接OD 后,根据切线的性质易知 ODC90 o ,圆的半径和圆心角的度数 D CB A O 13题 D CB A O 13题 可以通过 Rt OPC获得解决 . 略解:连接半径OD.又CD与O 相切于 D点 ODCD ODC90 o AC3BCAB2OBOBBC
23、1 OBOC 2 又OBOD 1 ODOC 2 在 RtOPCcos OD1 DOC OC2 DOC60 o AOD120 o 在 Rt OPC根据勾股定理可知: 222 ODDCOC CD 3 2 2 2 OD32OD解得:OD1 则劣弧 AD的长为 120OD12012 3180180 oo oo . 故应填 2 3 7. (2018?四川省宜宾市,第14 题, 3 分)如图, AB 为 O 的直径,延长 AB 至点 D,使 BD=OB,DC 切O 于点 C,点 B 是 CF 的中点,弦CF 交 AB 于点 F 若 O 的半径为2,则 CF= .2 3 O F A B E C D 8.(2
24、018?江苏泰州 ,第 12 题 3 分)如图, O 的内接四边形ABCD 中, A=115 ,则BOD 等于 _ . 【答案】 150 . 考点: 1.圆内接四边形的性质;2.圆周角定理 . 9.(2018? 江苏徐州 ,第 15 题 3 分)如图, AB 是O 的直径,弦CDAB,垂足为E,连接 AC若 CAB=22.5 , CD=8cm,则 O 的半径为4cm 考点:垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理. 专题:计算题 分析:连接 OC,如图所示,由直径AB 垂直于 CD,利用垂径定理得到E 为 CD 的中点, 即 CE=DE,由 OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,确定出三角形C
25、OE 为等腰直角 三角形,求出OC 的长,即为圆的半径 解答:解:连接 OC,如图所示: AB是O的直径,弦CDAB, CE=DE=CD=4cm, OA=OC, A=OCA=22.5 , COE 为AOC 的外角, COE=45 , COE 为等腰直角三角形, OC=CE=4cm, 故答案为: 4 点评:此题考查了垂径定理,等腰直角三角形的性质,以及圆周角定理,熟练掌握垂径定 理是解本题的关键 10 (2018?四川甘孜、阿坝,第23 题 4 分)如图, AB 是 O 的直径,弦CD 垂直平分半径 OA,则 ABC 的大小为30度 考点:垂径定理;含30 度角的直角三角形;圆周角定理. 分析:
26、根据线段的特殊关系求角的大小,再运用圆周角定理求解 解答:解:连接 OC, 弦 CD 垂直平分半径OA, OE=OC, OCD=30 , AOC=60 , ABC=30 故答案为: 30 点评:本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出 OCE=30, EOC=60 然后再圆周角定理,从而求出ABC=30 11 (2018?四川广安, 第 12 题 3 分) 如图, A、B、C 三点在 O 上,且 AOB=70 ,则C= 35度 考点:圆周角定理 . 分析:由 A,B,C 三点在 O 上,且 AOB=70 ,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半
27、,即可求得答案 解答:解: AOB=70 , C=AOB=35 故答案为: 35 点评:此题考查了圆周角定理此题比较简单, 注意掌握数形结合思想的应用,解题的关 键是: 熟记在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的 一半 12 (2018?甘肃兰州 ,第 20 题, 4 分)已知 ABC 的边 BC=4cm,O 是其外接圆,且半径 也为 4cm,则 A 的度数是 _ 【 答案 】30 【考点解剖】本题考查同(等)弧所对圆周角和圆心角的关系,正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中,圆周角等于同弧(等弧)所对圆心角的 一半, 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等
28、。 【思路点拔】 BC=半径,那么BC 与对应的两条半径所构成的三角形就 是等边三角形,这样,自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立 起了联系。 【解答过程】分别连结OB 和 OC,因为 BC=OB=OC,所以 O=60 , 则在 O 中, A= 2 1 B=30 . 【题目星级】 三.解答题 1.(2018?山东威海,第22 题 9 分)如图,在 ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E (1)求证: BE=CE; (2)若 BD=2,BE=3,求 AC 的长 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理. 专题:证明题 分析:
29、(1)连结 AE,如图,根据圆周角定理,由AC 为O 的直径得到 AEC=90 ,然 后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE; (2)连结 DE,如图,证明 BED BAC,然后利用相似比可计算出AB 的长,从而得到 AC 的长 解答:(1)证明:连结AE,如图, AC 为O 的直径, AEC=90 , AEBC, 而 AB=AC, BE=CE; (2)连结 DE,如图, BE=CE=3, BC=6, BED=BAC, 而 DBE=CBA, BED BAC, =,即=, BA=9, AC=BA=9 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形 中已有的公共角
30、、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理 2 (2018?四川资阳 ,第 22 题 9 分)如图 11,在ABC 中,BC 是以 AB 为直径的 O 的切线, 且 O 与 AC 相交于点D,E 为 BC 的中点,连接DE. (1)求证: DE 是 O 的切线; (2)连接 AE,若 C=45 ,求 sinCAE 的值 . 考点: 切线的判定;勾股定理;解直角三角形. 分析: (1)连接 DO,DB,由圆周角定理就可以得出 ADB=90 ,可以得出 CDB=90 ,根 据 E 为 BC 的中点可以得出D
31、E=BE, 就有 EDB=EBD, OD=OB 可以得出 ODB=OBD, 由的等式的性质就可以得出ODE =90 就可以得出结论 (2)作 EFCD 于 F,设 EF=x,由 C=45 ,得出 CEF 、ABC 都是等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x,AB=BC=2x,AE=x,进而 就可求得sinCAE 的值 解答:解:( 1)连接 OD,BD, OD=OB ODB=OBD AB 是直径, ADB=90 , CDB=90 E 为 BC 的中点, DE=BE, EDB=EBD, ODB+EDB=OBD+EBD, 即 EDO=EBO BC 是以 AB 为直径
32、的 O 的切线, ABBC, EBO=90 , ODE=90 , DE 是 O 的切线; (2)作 EFCD 于 F,设 EF=x C=45 , CEF、ABC 都是等腰直角三角形, CF =EF=x, BE=CE=x, AB=BC=2x, 在 RTABE 中, AE=x, sinCAE= 点评:本题考查了圆周角定理的运用,直角三角形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用, 切线的判定定理的运用,勾股定理的运用,解答时正确添加辅助线是关键 3, (2018?浙江滨州,第21题9分) 如图 ,O 的直径 AB 的长为 10,弦 AC 的长为 5,ACB 的平分线交 O 于点 D. (1)求弧 BC
33、 的长; (2)求弦 BD 的长 . 【答案】(1)(2) (2)连接 OD. CD 平分 ACB, ACD=BCD, AOD=BOD, AD=BD, BAD=ABD=45 在 RtABD 中, BD=. 考点 :圆周角定理,解直角三角形,弧长公式 4. (2018?浙江杭州 ,第 19 题 8 分) 如图 1, O 的半径为r(r0),若点 P 在射线 OP 上,满足OP?OP=r 2,则称点 P是点 P 关 于 O 的“ 反演点 ” ,如图 2, O 的半径为4,点 B 在O 上,BOA=60 ,OA=8,若点 A、 B分别是点A,B 关于 O 的反演点,求A B 的长 . 图2图1 A
34、B OP P O 【答案】解: O 的半径为4,点 A 、B分别是点A,B 关于 O 的反演点,点B 在O 上,OA=8, 22 4 ,4OA OAOBOB,即 22 84 ,44OAOB. 2,4OAOB.点 B 的反演点B 与点 B 重合 . 如答图,设OA 交O 于点 M,连接 BM, OM=OB,BOA=60 , OB M 是等边三角形 . 2OAA M,BMOM. 在 Rt OB M中,由勾股定理得 2222 422 3A BOBOA . 【考点】新定义;等边三角形的判定和性质;勾股定理. 【分析】先根据定义求出2,4OAOB,再作辅助线: 连接点 B与 OA 和O 的交点 M, 由
35、已知 BOA=60 判定 OB M 是等边三角形,从而在 Rt OB M中,由勾股定理求得A B 的长 . 5 ( 2018? 广东省 ,第 24 题, 9 分) O 是ABC 的外接圆, AB 是直径,过 ? BC 的中点 P 作 O的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB. (1)如题图1;若 D 是线段 OP 的中点,求 BAC 的度数; (2)如题图2,在 DG 上取一点k,使 DK =DP,连接 CK,求证:四边形AGKC 是平行四 边形; (3) 如题图 3, 取 CP 的中点 E, 连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H, 连接 PH, 求证:PHAB. 【答案】解:
36、 (1) AB 为 O 直径,点P 是? BC 的中点, PGBC,即 ODB=90 . D 为 OP 的中点, OD= 11 22 OPOB . cosBOD= 1 2 OD OB . BOD=60 . AB 为O 直径, ACB=90 . ACB= ODB. ACPG. BAC=BOD=60 . (2)证明:由(1)知, CD=BD, BDP=CDK ,DK=DP, PDB CDK(SAS ). CK=BP,OPB=CKD . AOG=BOP,AG=BP. AG=CK. OP=OB, OPB= OBP. 又 G=OBP,AG CK. 四边形 AGCK 是平行四边形 . (3)证明: CE=
37、PE,CD=BD,DEPB,即 DH PB. G=OPB,PBAG. DHAG. OAG=OHD. OA=OG, OAG=G. ODH=OHD. OD=OH. 又 ODB=HOP,OB=OP, OBD HOP(SAS). OHP=ODB=90 . PHAB. 【考点】圆的综合题;圆周角定理;垂径定理;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值; 平行的判定和性质;全等三角形的判定和性质;等腰三角形的性质;平行四边形的判定. 【分析】 (1)一方面,由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出BOD=60 ;另一方 面,由证明ACB=ODB=90 得到ACPG ,根据平行线的同位角相等的性质得到 BAC
38、=BOD=60 . (2) 一方面,证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK; 另一方面,证明 AG CK, 从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证. (3)通过应用SAS证明 OBD HOP 而得到 OHP=ODB=90 ,即 PHAB. 6. (2018?绵阳第 22 题, 11 分)如图, O 是ABC 的内心, BO 的延长线和 ABC 的外接 圆相交于点D,连接 DC,DA,OA,OC,四边形 OADC 为平行四边形 (1)求证: BOC CDA; (2)若 AB=2,求阴影部分的面积 考点:三角形的内切圆与内心;全等三角形的判定与性质;扇形面积的计算.
39、专题:计算题 分析:(1)由于 O 是ABC 的内心,也是 ABC 的外心,则可判断ABC 为等边三角 形 , 所 以 AOB=BOC=AOC=120, BC=AC , 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 ADC = AOC=120 ,AD=OC,CD=OA=OB,则根据 “ SAS ” 证明 BOC CDA; (2)作 OHAB 于 H,如图,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 BOH=30 , 根据垂径定理得到BH=AH=AB=1,再利用含30 度的直角三角形三边的关系得到 BH=AH=AB=1,OH=BH=,OB=2OH=,然后根据三角形面积公式和扇形面积 公式,利用
40、S阴影部分=S扇形AOBSAOB进行计算即可 解答:(1)证明: O 是 ABC 的内心,也是ABC 的外心, ABC为等边三角形, AOB=BOC=AOC=120 ,BC=AC, 四边形 OADC 为平行四边形, ADC=AOC=120 ,AD=OC,CD=OA, AD=OB, 在 BOC 和CDA 中 , BOC CDA ; (2)作 OHAB 于 H,如图, AOB=120 ,OA=OB, BOH=( 180 120 )=30 , OHAB, BH=AH=AB=1, OH=BH=, OB=2OH=, S阴影部分=S扇形AOBSAOB = 2 = 点评:本题考查了三角形的内切圆与内心:与三
41、角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆, 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算 7. (2018?四川省内江市,第27 题, 12 分)如图,在 ACE 中,CA=CE,CAE=30 ,O 经过点 C,且圆的直径AB 在线段 AE 上 (1)试说明CE 是O 的切线; (2)若 ACE 中 AE 边上的高为h,试用含h的代数式表示O 的直径 AB; (3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接 OD,当CD+OD 的最小值为6 时, 求 O 的直径 AB 的长
42、考点:圆的综合题;线段的性质:两点之间线段最短;等腰三角形的性质;等边三角形的 判定与性质;菱形的判定与性质;锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值. 专题:综合题 分析:(1)连接 OC,如图 1,要证 CE 是O 的切线,只需证到OCE=90 即可; (2)过点 C 作 CHAB 于 H,连接 OC,如图 2,在 RtOHC 中运用三角函数即可解决问 题; (3)作 OF 平分 AOC,交 O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3,易证四边形AOCF 是 菱形,根据对称性可得DF =DO过点 D 作 DH OC 于 H,易得 DH=DC,从而有 CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最
43、短可得:当F、D、H 三点共线时, DH+FD (即 CD+OD)最小,然后在RtOHF 中运用三角函数即可解决问题 解答:解: (1)连接 OC,如图 1, CA=CE,CAE=30 , E=CAE=30 ,COE=2A=60 , OCE=90 , CE 是O 的切线; (2)过点 C 作 CHAB 于 H,连接 OC,如图 2, 由题可得 CH=h 在 RtOHC 中, CH=OC?sin COH, h=OC?sin60 =OC, OC= h, AB=2OC= h; (3)作 OF 平分 AOC,交 O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3, 则 AOF=COF= AOC=(180 6
44、0 )=60 OA=OF=OC, AOF、COF 是等边三角形, AF=AO=OC=FC, 四边形 AOCF 是菱形, 根据对称性可得DF =DO 过点 D作DH OC于H, OA=OC, OCA=OAC=30 , DH =DC?sinDCH =DC? sin30 =DC, CD+OD=DH+FD 根据两点之间线段最短可得: 当 F、 D、 H 三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小, 此时 FH=OF?sin FOH=OF=6, 则 OF=4,AB=2OF=8 当CD+OD 的最小值为 6 时, O 的直径 AB 的长为 8 点评:本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、
45、三角函数的定义、 特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等 知识,把CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第( 3)小题的关键 8. (2018?浙江省台州市, 第 22 题)如图, 四边形 ABCD 内接于 O,点 E 在对角线AC 上, EC=BC=DC (1)若 CBD =39 ,求 BAD 的度数 (2)求证: 1=2 9. (2018 呼和浩特, 24, 9 分) (9 分)如图, O 是ABC 的外接圆, P 是O 外的一点, AM 是 O 的直径, PAC=ABC (1) 求证: PA 是 O 的切线; (2) 连接 PB 与 AC 交于点 D,与 O 交于点 E,F 为 BD 上的一点,若M 为BC 的中点,且 DCF =P,求证: BD PD = FD ED = CD AD . 考点分析:圆 垂径定理、相切 相似三角形逻辑推理 逆推 解析: 什么是逆推?就是在做几何证明题时,从要证的结论出发进行推导,即假 定结论成立,将该结论作为已知条件进行推理,同时从题目中的已知条件 出发推理,向中间过程中的某关键步骤靠拢。 说过,在圆里证明直角
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