2018年高考数学试题分类汇编-----导数精品.pdf
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1、2018 年高考数学试题分类汇编-导数(解析版) 1.(2018 全国卷理)已知直线y=x+1 与曲线yln()xa相切,则 的值为 ( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy,则 0000 ln1,()yxayx, 又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa.故答案选B 2.(2018 安徽卷理) 设ab, 函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析 : / ()(32)yxaxab,由 / 0y得 2 , 3 ab xa x,当xa时,y取极 大值 0,当 2 3 ab x时y取极小值且极小值为负。故选C。 或
2、当xb时0y,当xb时,0y选 C 3.(2018 安徽卷理)已知函数( )f x在 R上满足 2 ( )2(2)88fxfxxx,则曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 (A)21yx(B)y x (C)32yx( D)23yx 解析 :由 2 ( )2 (2)88f xfxxx得 2 (2)2( )(2)8(2)8fxf xxx, 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx, 2 ( )f xx / ( )2fxx,切线方程为 12(1)yx,即210xy选 A 4.(2018 安徽卷文)设,函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解
3、 . 当xa时 ,则( )0xbfx 当a xb时 ,则( )0,fx 当x b时,则( )0.fx 选 C。 【答案】 C 5.(2018 江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切,则 a等于 A 1或 25 - 64 B 1或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或7 答案: A 【 解 析 】 设 过(1 , 0 )的 直 线 与 3 yx相 切 于 点 3 00 (,)xx, 所 以 切 线 方 程 为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yxxx,又(1,0)在切线上,则 0 0x或 0 3 2 x,
4、当 0 0x时,由0y与 215 9 4 yaxx相切可得 25 64 a, 当 0 3 2 x时,由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a,所以选A. 6.(2018 江西卷理) 设函数 2 ( )( )f xg xx,曲线( )yg x在点(1, (1)g处的切线方程为 21yx,则曲线( )yf x在点(1, (1)f处切线的斜率为 A4B 1 4 C2D 1 2 答案: A 【解析】由已知(1)2g,而( )( )2fxg xx,所以(1)(1)214fg故选 A 7.(2018 天津卷文) 设函数 f(x)在 R 上的导函数为f (x),且 2f(x)+xf
5、 (x)x 2 ,x 下面的不等式在R 内恒成立的是 A 0)(xfB 0)(xfC xxf)(Dxxf)( 【答案】 A 【解析】由已知,首先令 0x ,排除 B,D。然后结合已知条件排除C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考 查了分析问题和解决问题的能力。 8.(2018 湖北卷理 ) 设球的半径为时间t 的函数R t。若球的体积以均匀速度c 增长,则球 的表面积的增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为CB. 成正比,比例系数为2C C.成反比,比例系数为CD. 成反比,比例系数为2C 【答案】 D 【解析】由题意可知球的体积为 34
6、( )( ) 3 V tR t,则 2 ( )4( )( )cVtRt R t,由此可得 4( ) ( )( ) c R t R t R t ,而球的表面积为 2 ( )4( )S tRt, 所以 2 ( )4( )8( )( )vS tR tR t R t 表 , 即 22 8( )( )24( )( )( ) ( )( )( ) cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 ,故选 D 9.(2018 全国卷理)曲线 21 x y x 在点1,1处的切线方程为 A. 20xyB. 20xyC.450xyD. 450xy 解: 111 22 2121 |1 (21)(
7、21) xxx xx y xx , 故切线方程为1(1)yx,即20xy故选 B. 10.(2018 湖南卷文)若函数( )yf x的导函数 在区间 , a b上是增函数, 则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是【A 】 a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y A BCD 解:因为函数( )yf x的导函数 ( )yfx在区间 , a b上是增函数,即在区间 , a b上 各点处的斜率 k是递增的,由图易知选 A. 注意 C中yk为常数噢 . 11.(2018 陕西卷文)设曲线 1* () n yxnN在点( 1,1)处的切线与x 轴的交点
8、的横坐 标为 n x,则 12n xxx的值为 (A) 1 n (B) 1 1n (C) 1 n n (D) 1 答案 : B 解析 :对 1* ()(1) nn yxnNynx求导得,令 1x 得在点( 1,1)处的切线的斜率 1kn,在点 (1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx,不妨设0y, 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 B. 12.(2018 湖南卷理 )设函数( )yf x在(, +)内有定义。对于给定的正数K,定义函 数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xK fx K f xK 取
9、函数( )f x= 1 2xe。若对任意的(,)x,恒有( ) k fx=( )f x,则 AK 的最大值为2 B. K的最小值为2 CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】 【答案】:D 【解析】由( )10, x fxe知0x, 所以(,0)x时,( )0fx, 当( 0 ,)x时, ( )0fx,所以 max ( )(0)1,f xf即( )f x的值域是(,1,而要使( )( ) k fxf x在R 上恒成立,结合条件分别取不同的K值,可得D 符合,此时( )( ) k fxf x。故选 D 项。 13.(2018 天津卷理)设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则
10、( )yf x A 在区间 1 ( ,1),(1, )e e 内均有零点。B 在区间 1 (,1),(1, ) e e 内均无零点。 C在区间 1 ( ,1) e 内有零点,在区间(1, )e内无零点。 D 在区间 1 ( ,1) e 内无零点,在区间(1, )e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析:由题得 x x x xf 3 31 3 1 )(, 令0)( xf得3x; 令0)( xf得30x; 0)( xf得3x,故知函数)( xf在区间)3,0(上为减函数,在区间),3(为增函数, 在点3x处有极小值03ln1;又01 3 1 ) 1 (,01 3 , 3 1 )
11、1( ee f e eff, 故选择 D。 14. (2018 福建卷文) 定义在 R 上的偶函数 fx 的部分图像如右图所示,则在 2,0 上, 下列函数中与fx的单调性不同的是 A 2 1yx B. | 1yx C. 3 21,0 1,0 xx y xx D , ,0 x x exo y ex 解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在2,0上单调递 减,注意到要与fx的单调性不同,故所求的函数在2, 0上应单调递增。而函数 2 1yx在,1上 递 减 ; 函 数1yx在,0时 单 调 递 减 ; 函 数 0, 1 0, 12 3 xx xx y在(0,上单调递减,理由
12、如下y =3x 2 0(x1 ()讨论 f(x)的单调性 ; ()若当 x0 时, f(x)0 恒成立,求a 的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析:本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关 键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解: ( I ))2)(2(4)1(2)( 2 axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 1a 知,当 2x 时,0)(xf,故)(xf在区间)2,(是增函数; 当 ax22 时,0)(xf,故)(xf在区间)2 ,
13、2(a是减函数; 当ax2时,0)(xf,故)(xf在区间),2( a是增函数。 综上,当1a时,)(xf在区间)2 ,(和),2( a是增函数, 在区间)2,2(a是减 函数。 ( II )由( I )知,当0x时,)(xf在ax2或0x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 423 af24)0( 由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o. m ,0)0( ,0)2( 1 f af a 即 .024 ,0)6)(3( 3 4 ,1 a aaa a 解得11 时, 1 21a 当 x 变化时,( )fx与( )f x的变化情况如
14、下表: x (,12 )a(12 , 1)a( 1,) ( )fx + ( )fx单调递增单调递减单调递增 由此得,函数( )f x的单调增区间为(,12 )a和( 1,),单调减区间为(12 , 1)a。 当1a时,121a此时有( )0fx恒成立,且仅在1x处( )0fx,故函数 ( )f x的单调增区间为R 当1a时,121a同理可得,函数( )f x的单调增区间为(, 1)和(12 ,)a, 单调减区间为( 1,1 2 )a w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 综上: 当1a时, 函数( )f x的单调增区间为(,12 )a和( 1,), 单调减区间为(12 , 1)a; 当1a
15、时,函数( )fx的单调增区间为R; 当1a时,函数( )f x的单调增区间为(, 1)和(1 2 ,)a,单调减区间为( 1,1 2 )a. ()由 1a 得 32 1 ( )3 3 f xxxx令 2 ( )230f xxx得 12 1,3xx 由( 1)得( )f x增区间为(, 1)和(3,),单调减区间为( 1,3),所以函数( )f x在处 12 1,3xx取得极值,故M( 5 1,3)N(3, 9) 。 观察( )f x的图象,有如下现象: 当 m 从-1(不含 -1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线( )f x在点 P处切线的斜率( )f x 之差 Kmp-()fm的值
16、由正连续变为负。 线段 MP 与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp()fm的 m 正负有着密切的关联; Kmp()fm=0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp()fm的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出证明并确定的t 最小值 .曲线( )f x在点(,()P m fm处的切线斜率 2 ()23fmmm; 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp()fm=0 时,解得12mm或 直线 MP 的方程为 22 454 () 33 mmmm yx w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 令 22 454 ( )( )() 33 mmmm g xf xx 当2m时, 2
17、 ( )2gxxx在( 1,2)上只有一个零点0x,可判断( )f x函数在( 1,0) 上单调递增,在(0, 2)上单调递减,又( 1)(2)0gg,所以( )g x在( 1,2)上没有零点, 即线段 MP 与曲线( )f x没有异于M,P的公共点。 当2,3m时, 2 4 (0)0 3 mm g. 2 (2)(2)0gm 所以存在0,2m使得( )0g 即当2,3,m时MP 与曲线( )f x有异于 M,P 的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 综上, t 的最小值为2. (2)类似( 1)于中的观察,可得m 的取值范围为1,3 解法二: (1)同解法一 . (2)由 1a
18、得 32 1 ( )3 3 f xxxx,令 2 ( )230fxxx,得 12 1,3xx 由( 1)得的( )f x单调增区间为(, 1)和(3,),单调减区间为( 1,3),所以函数在处 取得极值。故M( 5 1,3).N(3, 9) () 直线 MP 的方程为 22 454 . 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3(44)40xxmmxmm 线段 MP 与曲线( )f x 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在( 1,m)上有根 ,即函数 3222 ( )3(44)4g xxxmmxmm在 (-1,m) 上有零点
19、. 因为函数( )g x 为三次函数 ,所以( )g x 至多有三个零点,两个极值点 . 又( 1)()0gg m.因此 , ( )g x 在 ( 1,)m 上有零点等价于( )g x 在 ( 1,)m 内恰有一个极大值 点和一个极小值点,即 22 ( )36(44)0(1,)gxxxmmm在内有两不相等的实数根. 等价于 2 22 22 3612440 3( 1)6(44)0 36(44)0 1 mm mm mmmm m () 即 15 21,25 1 m mmm m 或解得 又因为13m,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2. 42.(2018 辽宁卷文)(
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