2018年高考数学试题分类汇编专题圆锥曲线理精品.pdf
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1、2018 年高考试题数学(理科)圆锥曲线 一、选择题 : 1. (2018年高考山东卷理科8)已知双曲线 22 22 1(0b0) xy a ab , 的两条渐近线均和圆 C: 22 650xyx相切 , 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 ,则该双曲线的方程为 (A) 22 1 54 xy (B) 22 1 45 xy (C) 22 1 36 xy (D) 22 1 63 xy 【答案】 A 【解析】 由圆 C: 22 650xyx得: 22 (3)4xy, 因为双曲线的右焦点为圆C的圆 心(3,0),所以 c=3, 又双曲线的两条渐近线0bxay均和圆 C相切 , 所以 22 3 2 b ab
2、, 即 3 2 b c , 又因为 c=3, 所以 b=2, 即 2 5a, 所以该双曲线的方程为 22 1 54 xy , 故选 A. 2. (2018年高考辽宁卷理科3) 已知F是抛物线y 2=x 的焦点,A,B是该抛物线上的两点, =3AFBF,则线段AB的中点到y轴的距离为 A 3 4 B1 C 5 4 D 7 4 答案: C 解析:设A,B的横坐标分别是,m n,由抛物线定义,得 111 =+3 442 AFBFmnmn,故 5 2 mn, 5 24 mn , 故线段AB的中点 到轴的距离为 5 4 3. (2018 年高考全国新课标卷理科7)设直线 l 过双曲线C的一个焦点,且与C
3、的一条对称 轴垂直, l 与 C交于 A,B 两点,AB为 C的实轴长的2 倍,则 C的离心率为 (A)2(B)3(C)2 (D)3 答案: B 解析:由题意知,AB为双曲线的通径,所以,ABa a b 4 2 2 ,2 2 2 a b 又31 2 2 a b e,故选 B. 点评:本题考查双曲线标准方程和简单几何性质,通过通经与长轴的4 倍的关系可以计算出 离心率的关键 2 2 a b 的值,从而的离心率。 4. (2018 年高考浙江卷理科8) 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 与双曲线 2 2 2 :1 4 y Cx有公共的焦点, 2 C的一条渐近线与以 1 C的
4、长轴为直径的圆相交于,A B两 点,若 1 C恰好将线段AB三等分,则 (A) 2 13 2 a(B) 2 13a(C) 2 1 2 b(D) 2 2b 【答案】 C 【解析】由 1 C恰好将线段AB三等分得 1 3 3 A A x xx x ,由 22 2 5 5 A yx xa xy 5 , 15 xa 2 5 15 ya 52 5 (,) 1515 a a 在椭圆上 , 22 22 52 5 ()() 1515 1 a a ab 22 11ab又 22 5,ab 2 1 2 b,故选 C 5. (2018 年高考安徽卷理科2) 双曲线xy 的实轴长是 (A)2 (B) (C) 4 (D)
5、 4 【答案】 A 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质. 属容易题 . 【解析】xy 可变形为 22 1 48 xy ,则 2 4a,2a,24a. 故选 C. 6. (2018年高考湖南卷理科5) 设双曲线01 9 2 2 2 a y a x 的渐近线方程为023yx, 则a的值为 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 答案: C 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a ,故可知2a。 7. (2018 年高考湖北卷理科4) 将两个顶点在抛物线02 2 ppxy上,另一个顶点是此抛 物线焦点的正三角形的个数记为n,则 A. 0n B. 1n C. 2n D. 3
6、n 答案: C 解析: 根据抛物线的对称性,正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为 0 30和 0 150,这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形 的个数记为n, 2n ,所以选C. 8. (2018 年高考陕西卷理科2) 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 2x ,则抛物线的方 程是 ( A) 2 8yx(B) 2 8yx(C) 2 4yx(D) 2 4yx 【答案】 B 【解析】:设抛物线方程为 2 yax,则准线方程为 4 a x于是2 4 a 8a 9. (2018年高考四川卷理科10) 在抛物线 2 5(0)yxaxa上取横坐标为
7、 1 4x, 2 2x的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 5536xy相切,则抛物线顶点的坐标为( ) (A)( 2, 9)(B)(0, 5)(C )(2, 9)(D)(1, 6) 答案: A 解析:由已知的割线的坐标 x y O F A B C D ( 4,114 ),(2,21),2aaKa,设直线方程为(2)yaxb, 则 2 2 36 51(2) b a 又 2 5 64( 2, 9) (2) yxax ba yaxb 10. (2018年高考全国卷理科10) 已知抛物线C: 2 4yx的焦点为F,直线24yx与 C 交于 A, B两点则cosA
8、FB= (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【答案】 D 【解析】: 2 4(1,0)yxF得,准线方程为1x,由 2 4 (1, 2), (4,4) 24 yx AB yx 得 则 22 1212 ()()3 5ABxxyy,由抛物线的定义得2,5AFBF 由余弦定理得 222 52(3 5)4 cos 25 55 AFB 故选 D 11(2018 年高考福建卷理科7) 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1,F2,若曲线 r 上存在点 P满足 1122 :PFF FPF=4:3:2 ,则曲线r 的离心率等于 A 13 22 或B 2 3 或 2 C 1 2或 2 D
9、 23 32 或 【答案】 A 二、填空题 : 1. (2018 年高考辽宁卷理科13) 已知点( 2,3 )在双曲线C:1 b y - a x 2 2 2 2 (a0,b0)上, C的焦距为4,则它的离心率为_. 2. (2018 年高考浙江卷理科17) 设 12 ,FF分别为椭圆 2 2 1 3 x y的焦点,点,A B在椭圆上, 若 12 5F AF B; 则点A的坐标是 . 【答案 】1 ,0 【解析 】设直线AF1的反向延长线与椭圆交于点B,又BFAF 21 5,由椭圆的对称性 可得 11 5FBAF,设 11, y xA, 22,y xB, 又 2 23 3 6 | 11 xAF,
10、| 1B F 2 23 3 6 2 x, 21 21 252 ) 2 23 ( 3 6 5) 2 23 ( 3 6 xx xx 解之得0 1 x,点 A的坐标为1 ,0. 3. (2018年高考江西卷理科14) 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在 x轴上,过点( 1, 1 2 )作圆 22 +=1xy的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程 是 【答案】 22 1 54 xy 【解析】因为一条切线为x=1, 且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,所以椭圆的右 焦点为 (1,0),即1c, 设点 P(1, 1 2 ), 连结 OP,则 OP AB,因
11、为 1 2 OP k, 所以2 AB k, 又因为直线AB过点 (1,0),所以直线AB的方程为220xy, 因为点(0, )b在直线 AB上, 所以2b, 又因为1c, 所以 2 5a, 故椭圆方程是 22 1 54 xy . 解析:由椭圆的的定义知,4,164 aaC,又因为离心率22, 2 2 c a c , 8 222 cab因此,所求椭圆方程为:1 816 22 yx ; 点评:本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握. 5. (2018 年高考重庆卷理科15) 设圆C位于抛物线 2 2yx与直线3x所组成的封闭区域 (包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为 解
12、析:61。为使圆C的半径取到最大值,显然圆心应该在x 轴上且与直线3x相切, 设圆C的半径为r,则圆C的方程为 2 22 3xryr,将其与 2 2yx联立得: 2 22960xrxr,令 2 224 960rr ,并由0r,得: 61r 6. (2018年高考四川卷理科14) 双曲线 22 xy =1P4 6436 上一点到双曲线右焦点的距离是,那么点P到左准线的距离 是 . 答案: 16 解析:由双曲线第一定义,|PF1|-|PF2|= 16,因 |PF2|=4 ,故 |PF1|=20 , (|PF1|=-12 舍去), 设 P到左准线的距离是d,由第二定义,得 2010 8d ,解得16
13、d. 7. (2018 年高考全国卷理科15) 已知F1、F2分别为双曲线C: 2 9 x - 2 27 y =1 的左、右焦点,点 AC,点 M的坐标为 (2 ,0) ,AM为F1AF2的平分线则|AF2| = . 【答案】 6 【解析】: 12 ( 6,0),(6,0)FF,由角平分线的性质得 11 22 8 2 4 AFF M AFMF 又 12 2 36AFAF 2 6AF 8(2018 年高考北京卷理科14) 曲线 C是平面内与两个定点F1(-1,0)和 F?2( 1,0)的 距离的积等于常数) 1( 2 aa的点的轨迹 .给出下列三个结论: 曲线 C过坐标原点; 曲线 C关于坐标原
14、点对称; 若点 P在曲线 C上,则F 1PF2 的面积大于 2 1 a 2 。 其中,所有正确结论的序号是。 【答案】 9 (2018 年高考上海卷理科3) 设m为常数,若点(0,5)F是双曲线 22 1 9 yx m 的一个焦点, 则m。 【答案】 16 三、解答题 : 1. (2018年高考山东卷理科22)(本小题满分14 分) 已知动直线 l与椭圆 C: 22 1 32 xy 交于 P 11 ,x y、Q 22 ,xy两不同点,且OPQ 的面 积 OPQ S= 6 2 , 其中 O为坐标原点 . ()证明 22 12 xx和 22 12 yy均为定值 ; ()设线段PQ的中点为M ,求|
15、 |OMPQ的最大值; ()椭圆C上是否存在点D,E,G,使得 6 2 ODEODGOEG SSS?若存在,判断 DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 【解析】(I )解:(1)当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x 轴对称, 所以 2121 ,.xxyy因为 11 (,)P xy在椭圆上,因此 22 11 1 32 xy 又因为 6 , 2 OPQ S所以 11 6 | |. 2 xy;由、得 11 6 |,| 1. 2 xy 此时 2222 1212 3,2,xxyy (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,ykxm 由题意知m0,将其代入 22 1 32 xy ,得 222 (
16、23)63(2)0kxkmxm, 其中 2222 3612(23)(2)0,k mkm即 22 32km( *) 又 2 121222 63(2) , 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 1212 2 2 632 |1()41, 23 km PQkxxx xk k 因为点 O到直线l的距离为 2 | 1, m d k 所以 1 | 2 OPQ SPQd 22 2 2 2 12 6 32| 1 223 1 kmm k k k 22 2 6 |32 23 mkm k ,又 6 , 2 OPQ S 整理得 22 322,km且符合( *)式, 此时 2 2222 12121222
17、 63(2) ()2()23, 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 (3)(3)4()2. 333 yyxxxx 综上所述, 2222 12123;2,xxyy 结论成立。 ( II )解法一: (1)当直线 l的斜率存在时,由( I )知 11 6 | |,| 2 | 2, 2 OMxPQy 因此 6 | |26. 2 OMPQ (2)当直线l的斜率存在时,由(I )知 12 3 , 22 xxk m 222 1212 22 2221212 2222 222 22 2222 332 (), 2222 916211 |()()(3), 22442 24(
18、32)2(21)1 |(1)2(2), (23) yyxxkkm kmm mmm xxyykm OM mmmm kmm PQk kmm 所以 22 22 111 |(3)2(2) 2 OMPQ mm 22 11 (3)(2) mm 22 2 11 32 25 () 24 mm 所以 5 | | 2 OMPQ,当且仅当 22 11 32,2m mm 即时,等号成立. 综合( 1) (2)得 |OM| |PQ| 的最大值为 5 . 2 解法二: 因为 222222 121221214 |()()()()OMPQxxyyxxyy 2222 1212 2()() 10. xxyy 所以 22 4 |1
19、0 2 | |5. 25 OMPQ OMPQ 即 5 | |, 2 OMPQ当且仅当2 | |5OMPQ时等号成立。 因此 |OM| |PQ| 的最大值为 5 . 2 (III)椭圆 C上不存在三点D,E,G ,使得 6 . 2 ODEODGOEG SSS 证明:假设存在 1122 6 ( , ),(,),(,) 2 ODEODGOEG D u vE xyG xySSS满足, 由( I )得 222222222222 12121212 222222 1212 1212 3,3,3;2,2,2, 3 ;1. 2 5 , ,1, 2 uxuxxxvyvyyy uxxvyy u x xv yy 解得
20、 因此只能从中选取只能从中选取 因此 D,E,G只能在 6 (,1) 2 这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点,与 6 2 ODEODGOEG SSS矛盾, 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G. 2. (2018 年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12 分) 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M ,N在 x 轴上,椭圆C2的短轴 为 MN ,且 C1,C2的离心率都为e,直线 l MN ,l 与 C1交于两点,与C2交于两点,这四点 按纵坐标从大到小依次为A,B, C,D. (I )设 1 2 e,求BC与AD的比值; (II )当 e 变化时,
21、是否存在直线l ,使得 BO AN ,并说明理由 解: (I )因为 C1, C2的离心率相同,故依题意可设 22222 12 2242 :1,:1,(0) xyb yx CCab abaa 设直线:(|)lxtta,分别与C1,C2的方程联立,求得 2222 ( ,),( ,). ab A tatB tat ba 4分 当 13 , 22 AB ebayy时分别用表示 A,B的纵坐标,可知 2 2 2 |3 |:|. 2 |4 B A yb BCAD ya 6分 (II ) t=0 时的l不符合题意 .0t时,BO/AN 当且仅当BO的斜率kBO与 AN的斜率kAN相 等,即 2222 ,
22、ba atat ab tta 解得 22 222 1 . abe ta abe 因为 2 2 12 | |,01,1,1. 2 e taee e 又所以解得 所以当 2 0 2 e时,不存在直线l,使得 BO/AN; 当 2 1 2 e时,存在直线l使得 BO/AN. 2. (2018 年高考安徽卷理科21) (本小题满分13 分) 设,点A的坐标为( 1,1 ) ,点B在抛物线yx 上运动,点Q满足BQQA uuu ruu r ,经 过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QMMP uuu ruuu r , 求点P的轨迹方程。 【命题意图】 :本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念
23、,性质与运算,动点轨迹方 程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养。 【解析】:由QMMP uuu ruuu r 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上, 故可设( , )P x y, ( ,)Q x y ,( ,)M x x,则()xyyx ,即 ()()yxyxxy 再设(,)B xy, 由BQ QA uu u ruu r ,即(,)(,)xxyyxy ,解得 () () xx yy 将代入式,消去y得 () ()() xx yxy 又点 B在抛物线yx 上,所以yx,再将式代入得 ()()()xyx,即 ()()()()xyxx,即 ()()
24、()xy, 因为, 等式两边同时约去() 得xy 这就是所求的点P的轨迹方程。 【解题指导】 :向量与解析几何相结合时,关键是找到表示向量的各点坐标,然后利用相关 点代入法或根与系数关系解决问题,此外解析几何中的代数式计算量都是很大的,计算时应 细致加耐心。 3. (2018 年高考全国新课标卷理科20) (本小题满分12 分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上, M点满足 MB/OA, MA ?AB = MB?BA ,M点的轨迹为曲线C。 ()求C的方程; () P为 C上的动点, l 为 C在 P点处得切线,求O点到 l 距离的最小值。 解析 ;
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