2018版高中数学北师大版选修2-1学案:第二章§1从平面向量到空间向量含答案精品.pdf
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1、学习目标1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法,了解自由向量的概念.3.理解空 间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念. 知识点一空间向量的概念 思考 1类比平面向量的概念,给出空间向量的概念. 思考 2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也一定相同吗? 梳理空间向量的有关概念 (1)定义:在空间中,把既有_又有 _的量,叫作空间向量. (2)长度:空间向量的大小叫作向量的_或_. (3)表示法 几何表示法:空间向量用表示 . 字母表示法:用字母表示,若向量a的 起点是 A,终点是 B,则向量 a也可以 记作 AB ,其模记为或. (4)自由向量:与向
2、量的起点无关的向量. 知识点二空间向量的夹角 思考在平面内,若非零向量a 与 b共线,则它们的夹角是多少? 梳理空间向量的夹角 (1)文字叙述: a,b 是空间中两个非零向量,过空间任意一点O, 作OA a, OB b,则_ 叫作向量a 与向量 b 的夹角,记作_. (2)图形表示: 角度表示 a, b _ a, b是 _ a, b是 _ a, b是 _ a, b _ (3)范围: _ a,b _. (4)空间向量的垂直:如果a,b _,那么称a 与 b 互相垂直,记作_. 知识点三向量与直线、平面 1.向量与直线 与平面向量一样,也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示 . l 是空间一直
3、线,A,B 是直线l 上任意两点,则称AB 为直线 l 的_向量,显然,与AB 平 行的任意非零向量a 也是直线l 的方向向量,直线的方向向量_于该直线 . 2.向量与平面 如图,如果直线l 垂直于平面 ,那么把直线l 的方向向量a 叫作平面的_. 类型一有关空间向量的概念的理解 例 1给出以下结论: 两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;若空间向量a,b 满足 |a|b|,则 a b;在正方体ABCDA1B1C1D1中,必有 AC A1C1 ;若空间向量m,n,p 满足 m n, n p,则 mp.其中不正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 反思与感悟在空间中,向量、向量
4、的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全 一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等.两向量互为相反向量的充要条 件是大小相等,方向相反. 跟踪训练1(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中, 下列四对向量: AB 与C1D1 ; AC1 与BD1 ; AD1 与C1B ; A1D 与B1C .其中互为相反向量的有n 对,则 n 等于 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图,在长方体ABCDABCD中, AB3,AD2,AA 1,则分别以长方体的 顶点为起点和终点的向量中: 单位向量共有多少个? 试写出模为5的所有向量; 试写出与向量AB 相等的所有向量; 试
5、写出向量AA 的所有相反向量. 类型二求空间向量的夹角 例 2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求下列各对向量的夹角: (1)AB ,A1C1 ; (2)AB ,C1A1 ; (3)AB ,A1D1 . 引申探究 在本例中,求AB1 ,DA1 . 反思与感悟求解空间向量的夹角,要充分利用原几何图形的性质,把空间向量的夹角转化 为平面向量的夹角,要注意向量方向. 跟踪训练2在正四面体ABCD 中, AB ,CD 的大小为 () A. 4 B. 3 C. 2 D. 6 类型三直线的方向向量与平面法向量的理解 例 3已知正四面体ABCD. (1)过点 A 作出方向向量为BC 的空间直线; (
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