三阶系统综合分析与设计.pdf
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1、. 目录 摘要 . 1 1 设计内容 . 2 1.1 设计题目 2 1.2 设计任务 2 绘制三阶系统的根轨迹. 3 2.1 常规方法绘制根轨迹 3 2.2 用 MATLAB绘制根轨迹 . 4 3 不同条件下K 的取值 5 3.1 当-8 为闭环系统的一个极点时,K 的取值 5 3.2 主导极点阻尼比为0.7 时的 k 值 . 6 4 求系统的稳态误差 6 4.1 位置误差系数 . 7 4.2 速度误差系数 . 7 4.3 加速度误差系数 8 4.4 输入信号为 2 5 .2)(1)(ttttr 时的稳态误差 8 5 绘制单位阶跃响应曲线. 9 6 频域特性分析 10 6.1 绘制 Bode
2、图和 Nyquist曲线 10 6.2 相角裕度和幅值裕度. 12 7 加入非线性环节判断稳定性 . 13 7.1 求死区特性环节的描述函数. 13 7.2 根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性. 14 8 设计体会 . 15 参考文献 . 17 . 摘要 三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中,三阶系 统非常普遍,其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常采用闭环主导极点 的概念对三阶系统进行近似分析,或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。在课 程设计中,要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线,用系统的闭环 主导极点来估算三系统的动态性能,
3、以及在比较点与开环传递函数之间加一个非 线性环节判断其稳定性。 . 1 设计内容 1.1 设计题目 三阶系统的综合分析和设计 初始条件 :某单位反馈系统结构图如图1-1 所示: )6)(3(sss K)(sR )(sC - )8( 25 ss )(sR )(sC -)6)(3(sss K 图 1-1 图 1-2 1.2 设计任务 要求完成的主要任务:(包括课程设计工作量及其技术要求,以及说明书撰 写等具体要求) 1、试绘制随根轨迹 2、当 -8 为闭环系统的一个极点时,K=? 3、求取主导极点阻尼比为0.7 时的 K 值(以下K 取这个值) 4、 分别 求 取 位 置 误 差 系数 、 速 度
4、 误 差 系 数、 加速 度 误 差 系 数 及 输入 信 号 为 2 5.2)(1)(ttttr单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差 5、用 Matlab绘制单位阶跃相应曲线 6、绘制Bode 图和 Nyquist曲线,求取幅值裕度和相角裕度 7、如在比较点与开环传递函数之间加1 个死区非线性环节,如图1-2 所示, . 其中2, 1 0 ke,试求取非线性环节的描述函数,并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性 8、认真撰写课程设计报告。 绘制三阶系统的根轨迹 )6)(3(sss K)(sR )(sC - 图 2 系统结构图 由图 1 可得,三阶系统的开环传递函
5、数为: G( s)= )6)(3(sss K 2.1 常规方法绘制根轨迹 根据绘制根轨迹的规则,可知该系统的根轨迹绘制步骤如下: ( 1)根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点,终于开环零点。 开环极点分别为0、-3 、-6 ,无开环零点。 ( 2)根轨迹的分支数。n=3,m=0 ,所以分支数为3 。且它们是连续的并且对称于 实轴。 ( 3)根轨迹的渐进线。本系统根轨迹的渐近线有三条,据其与实轴的夹角公式: 把 n=3,m=0 代入求得: )2, 1 , 0(300,180,60 03 )12( 180 )12( q q mn q a )1(,2, 1 ,0,180 )12( mnq mn q
6、 a . 渐近线与实轴的交点为: 3 03 63011 mn zp n j m i ij a (4) 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域,若其右边开环零、极点的个数 之和为奇数,则该区域必是根轨迹。因此实轴上-,-6 -3,0必为根轨迹。 (5)确定根轨迹的分离点。该系统中没有有限零点,由法则五得: 于是分离点方程为:0 6 1 3 11 ddd 因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7 (不合题意,舍去) (6) 根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程式为 0189 23 ksss 对上式应用劳斯判据,有: 3 s 1 18 2 s 9 k 1 s 8 18*9k 0 s k 令劳斯表
7、中 1 s行的首项为零,得k= 162,根据 2 s行的系数,得辅助方程 9 2 s+k=0 代 k=162 并令 s=jw, 解得交点坐标 2.2 用 MATLAB绘制根轨迹 MATLAB为绘制根轨迹编程如下: num=1; n j j pd1 0 1 4.20 4.2j04.2j,所以与虚轴的交点为(,),(,)。 . den=1 9 18 0; syms=tf(num,den); rlocus(syms) MATLAB产生的根轨迹如图2 所示: 图 3 闭环系统的根轨迹 3 不同条件下K 的取值 3.1 当-8 为闭环系统的一个极点时,K的取值 由图 1 的系统的闭环传递函数为 () (
8、 ) 1( )( ) G S s G S H SKSSs K 189 23 闭环特征方程式为 0189 23 ksss . 把 s=-8 代入上式中解得 K=80 3.2 主导极点阻尼比为0.7 时的 k 值 在控制工程实践中,通常要求控制系统即具有较快的响应速度,又具有一定的 阻尼程度,此外还要求减少死区间、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的 影响,因此高阶系统的增益常常调整到是系统具有一对闭环共轭主导极点。这时, 可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的性能。 由于主导极点阻尼比=0.71, 属于欠阻尼系统。由公式cos得: =6 .45 设系统的自然频率为 n w,阻尼比7 .0
9、,由上述用闭环主导极点分析高阶系 统的方法可知,距虚轴最近的一对闭环共轭主导极点为: 2, 1 s n w n w 2 1j 代入数据:7 .0 2, 1 s n w n w 2 7.01j 闭环特征方程式为 0189 23 ksss 代入 s 的方程化简得: 0.686 3 n w-12.6 n w+k+ j (0.686 3 n w-8.82 2 n w+12.6 n w)=0 分别令实部和虚部为零得到两个方程: 0.686 3 n w-12.6 n w+k=0 0.686 3 n w-8.82 2 n w+12.6 n w=0 解得1.6 n 17.6k 11 n 808.6k(舍) 所
10、以取17.6k。 所以,开环传递函数为 17.6 ( ) (3)(6) G s s ss 4 求系统的稳态误差 系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差,一般情况下采用 从系统输入端定义的误差e(t)来进行计算分析。控制系统的稳定系统误差信号的 稳态分量称为系统的稳态误差,以 ss e表示 . )( lim tee t ss 4.1 位置误差系数 对于单位阶跃输入,R(s)=1/s, 求得系统的稳态误差为 )()(1 11 )()(1 lim lim 0 0sHsGssHsG s e s s ss 令)()( lim 0 sHsGK s p ,称 p K为稳态位置误差系数。 稳
11、态误差可表示为 p ss K e 1 1 对于 0 型系统,v=0,则 p K=K;当v1 时, p K=。 由图 1 系统得: 17.6 ( ) (3)(6) G s s ss 由上式得v=1,则 p K= p ss K e 1 1 = 1 1 =0 4.2 速度误差系数 对于单位斜坡输入 2 1 )( s sR, 此时系统的稳态误差为 )()( 11 )()(1 lim lim 0 2 0sHssGssHsG s e s s ss )()( lim 0 sHssGK s v 称为稳态速度误差系数。 于是稳态误差可表示为 v ss K e 1 . 由图 1 系统得:)()( lim 0 sH
12、ssGK s v =s s lim 0 17.6 (3)(6)s ss = 17.6 18 =0.978 ss e 1 0.978 =1.022 4.3 加速度误差系数 对于单位抛物线输入 3 1 )( s sR,此时系统的稳态误差为 )()( 11 )()(1 2 0 3 0 lim lim sHsGsssHsG s e s s ss 令)()( 2 0 lim sHsGsK s a 称 aK为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为 a ss K e 1 于是稳态误差可表示为 KK e a ss 11 则对于图1 系统得: a K= 2 0 lim s s 17.6 (3)(6)s ss
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