中考二次函数压轴题专题分类训练.pdf
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1、2017 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例 1】如图 2,抛物线顶点坐标为点C(1,4) ,交x轴于点A(3 ,0) ,交y轴于 点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)求CAB的铅垂高CD及SCAB ; (3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使SPAB 8 9 SCAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1. 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为 ( 2,0) ,连结OA,将线段OA绕原点 O顺时针旋转120,得到线段OB (1)求点B的坐标; 图 2 (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在
2、( 2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC的周长最小?若存在, 求出点C的坐标;若不存在,请说明理由 (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么PAB是否 有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及PAB的最大面积;若没有,请说明 理由 2. 如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4 与x轴的两个交点分别为A( 4,0) 、B(2, 0) ,与y轴交于点C,顶点为DE(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线 与x轴、y轴分别交于F、G (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标; (2)在直线EF上求一点H,使CDH的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K
3、在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时, EFK的面积最大?并求出最大面积 3如图,已知:直线3xy交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A、B、C(1,0)三点 . (1)求抛物线的解析式; (2) 若点 D的坐标为(-1 , 0) , 在直线3xy上有一点 P,使 ABO与 ADP 相似,求出点P的坐标; (3)在( 2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E,使 ADE 的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的 坐标;如果不存在,请说明理由 E 题型二:构造直角三角形 【例 2】如图,已知抛物线yax 2+bx+c(
4、a0)的对称轴为x1,且抛物线经 过A( 1,0) 、C(0, 3)两点,与x轴交于另一点B (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x1 上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离 之和最小,并求此时点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=1 上的一动点, 求使PCB90o 的点P的坐标 【变式练习】 1如图,抛物线y=与 x 轴交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧), 与 y 轴交于点 C (1)求点 A、B的坐标; (2)设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD 的面积等于 ACB的面 积时,求点 D的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4,0)
5、,M为直线 l 上的动点,当以A、B、M为顶点所作 的直角三角形有且只有三个时,求直线l 的解析式 2. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y= 2 (1)(0)a xc a 与 x 轴交于 A、B两 点(点 A 在点 B 的左侧 ) ,与 y 轴交于点 C,其顶点为 M,若直线 MC的函数表达式 为3ykx, 与 x 轴的交点为 N,且 COS BCO 3 10 10 。 (1)求此抛物线的函数表达式; (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点 P,使以 N、P、 C 为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形? 若存在,求出点P 的坐标:若不存在,请说明理由; (3)过点 A作 x 轴
6、的垂线,交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移, 使抛物线与线段NQ总有公共点, 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下 O1 1 x y 最多可平移多少个单位长度? 3. 在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x 2+x1)的图象交于点 A (1,k)和点 B( 1, k) (1)当 k=2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大,求k 应满足的条 件以及 x 的取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为Q,当 ABQ是以 AB为斜边的直角三角形时, 求 k 的值 4. 如图( 1) ,抛物线4 2 yxx与y轴交于点
7、A,E(0,b)为y轴上一动点, 过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C. (1)求点A的坐标; (2) 当b=0时(如图( 2) ) , ABEV 与ACEV的面积大小关系如何?当4b时,上 述关系还成立吗,为什么? (3)是否存在这样的b,使得 BOCV 是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求 出b;若不存在,说明理由. y x C B A O E y x C B A O E 题型三:构造等腰三角形 【例 3】如图,已知抛物线3 2 bxaxy(a0)与x轴交于点A(1 ,0) 和点B( 3,0) ,与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式; (2)在 x 轴上是否存在一点Q使得 ACQ 为
8、等腰三角形?若存在,请直接写出所 有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请 说明理由 【变式练习】 1如图,在平面直角坐标系中,点 A的坐标为 (m ,m ) ,点 B的坐标为 (n,n) , 抛物线经过 A、O 、B三点,连接 OA 、OB 、AB ,线段 AB交 y 轴于点 C已知实数 m 、 n(m n)分别是方程x 22x3=0 的两根 (1)求抛物线的解析式; (2) 若点 P 为线段 OB上的一个动点 (不与点 O、 B重合) ,
9、 直线 PC与抛物线交于D、E两点(点 D在 y 轴右侧),连 接 OD 、BD 当 OPC为等腰三角形时,求点P 的坐标; 求 BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标 2. 如图,抛物线 2 54yaxax经过ABC的三个顶点, 已知BCx轴,点A在x 轴上,点 C在y轴上,且 AC=BC (1)写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式; (2)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在PAB是等 腰三角形若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由 3已知抛物线 2 (0)yaxbxc a顶点为 C(1,1)且过原点 O.过抛物线上一点 P(x,y)向直线
10、 5 4 y作垂线,垂足为M ,连 FM (如图) . (1)求字母 a,b,c 的值; (2)在直线 x1 上有一点 3 (1, ) 4 F,求以 PM为底边的等腰三角形PFM的 P点的坐 标,并证明此时 PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t ) ,使 PM PN恒成立,若 存在请求出t 值,若不存在请说明理由. 题型四:构造相似三角形 【例 4】如图,已知抛物线经过A( 2,0) ,B( 3,3)及原点 O,顶点为 C (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D在抛物线上, 点 E在抛物线的对称轴上, 且 A、 O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点
11、D的坐标; (3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作 PM x 轴,垂足为 M ,是否存在点P,使得以 P、M 、A为顶点的三角形 BOC相似?若存 在,求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由 【变式练习】 1. 如图,已知抛物线经过A(4,0) ,B(1,0) ,C(0,-2)三点 (1)求该抛物线的解析式; (2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得 DCA的面积最大?若 存在,求出点D的坐标及 DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由 (3)P是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点,过P作 PM x 轴,垂足为 M ,是否 存在 P 点,使得以 A、P、M为顶点的三角形与
12、 OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由 2. 如图,二次函数的图象经过点D(0, 3 9 7 ) ,且顶点 C的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截得的线段AB的长为 6. (1)求二次函数的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使 PA+PD 最小,求出点P的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使 QAB与 ABC相似?如果存在,求出点Q的 坐标;如果不存在,请说明理由 【例 5】如图,已知抛物线y=错误!未找到引用源。x 2 - 错误!未找到引用源。 (b+1)x+ 错误!未找到引用源。 (b 是实数且 b2)与 x 轴的正半轴分别交于点A、 B(
13、点 A位于点 B的左侧),与 y 轴的正半轴交于点C (1)点 B的坐标为,点 C的坐标为(用含 b 的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于 2b,且 PBC是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如 果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得 QCO ,QOA和QAB中 的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的 坐标;如果不存在,请说明理由 【变式练习】 1. 如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3) ,线段AB垂直于y轴,垂足为 B,将线段AB绕点
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