中考压轴题汇编因动点产生的等腰三角形问题.pdf
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1、因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2017年重庆市中考第25 题 如图 1,在ABC中,ACB90,BAC60,点E是 BAC的平 分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D, 连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF (1)如图 1,若点H是AC的中点,AC2 3,求AB、BD的长; (2)如图 1,求证:HFEF (3)如图 2,连接CF、CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是, 请证明;若不是,请说明理由 图 1 图 2 例 2 2017年长沙市中考第26 题 如图 1,抛物线yax 2bx c(a、b、c是常数,a0)的对称轴为 y轴,
2、且经过 (0,0) 和 1 (,) 16 a两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心 的P总经过定点A(0, 2) (1)求a、b、c的值; (2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交; (3)设P与x轴相交于M(x1, 0) 、N(x2, 0) 两点,当AMN为等腰 三角形时,求圆心P的纵坐标 图 1 例 3 2018年上海市虹口区中考模拟第25 题 如图 1,在 RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的 中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC 上的一动点,且PDQ90 (1)求ED、EC的长; (2)若BP2,求CQ的长; (3)记线段PQ与
3、线段DE的交点为F,若PDF为等腰三角形,求BP 的长 图 1 备用图 例 4 2017年扬州市中考第27 题 如图 1,抛物线yax 2 bxc经过A( 1,0) 、B(3, 0)、C(0 ,3)三 点,直线l是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P 的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形,若存在,直 接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 例 5 2017年临沂市中考第26 题 如图 1,点A在x轴上,OA4,将线段OA绕点O顺时针旋转120 至OB的位置 (1)求点B的坐标;
4、 (2)求经过A、O、B的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶 点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理 由 图 1 例 6 2017年盐城市中考第28 题 如图 1,已知一次函数yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A,且与x轴交于点B (1)求点A和点B的坐标; (2) 过点A作ACy轴于点C, 过点B作直线l/y轴 动 点P从点O出发,以每秒1 个单位长的速度,沿OCA 的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度 向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段 BA或线段AO于点Q当点P到达点A
5、时,点P和直线l都停止运动在 运动过程中,设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8? 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由 图 1 因动点产生的等腰三角形问题答案 例 1 2017年重庆市中考第25 题 如图 1,在ABC中,ACB90,BAC60,点E是 BAC的平 分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D, 连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF (1)如图 1,若点H是AC的中点,AC2 3,求AB、BD的长; (2)如图 1,求证:HFEF (3)如
6、图 2,连接CF、CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是, 请证明;若不是,请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“15 重庆 25” ,拖动点E运动,可以体验到, FAE与FDH保持全等,CMF与CAE保持全等,CEF保持等边三角 形的形状 思路点拨 1把图形中所有30的角都标注出来,便于寻找等角和等边 2中点F有哪些用处呢?联想到斜边上的中线和中位线就有思路构 造辅助线了 满分解答 (1)如图 3,在 RtABC中,BAC60,AC2 3,所以AB4 3 在 RtADH中,DAH30,AH3,所以DH1,AD2 在 RtADB中,AD2,AB43,由勾股定理,得BD2
7、 13 (2)如图 4,由DAB90,BAC60,AE平分BAC,得DAE 60, DAH30 在 RtADE中,AE 1 2 AD在 RtADH中,DH 1 2 AD所以AEDH 因为点F是 RtABD的斜边上的中线,所以FAFD,FADFDA 所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF 图 3 图 4 图 5 (3)如图 5,作FMAB于M,联结CM 由FM/DA,F是DB的中点,得M是AB的中点 因此FM 1 2 AD,ACM是等边三角形 又因为AE 1 2 AD,所以FMEA 又因为CMCA,CMFCAE30,所以CMFCAE 所以MCFACE,CFCE 所以ECFACM60所以CE
8、F是等边三角形 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉 如图 6,如图 7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合 图 6 图 7 如图 8,图 9,点E落在BC边上如图 10,图 11,等腰梯形ABEC 图 8 图 9 图 10 图 11 例 2 2017年长沙市中考第26 题 如图 1,抛物线yax 2bx c(a、b、c是常数,a0)的对称轴为 y轴,且经过 (0,0) 和 1 (,) 16 a两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心 的P总经过定点A(0, 2) (1)求a、b、c的值; (2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交; (3)设P与x轴相交于M
9、(x1, 0) 、N(x2, 0) 两点,当AMN为等腰 三角形时,求圆心P的纵坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ,拖动圆心P在抛物线上运动, 可以体验到,圆与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在三种情况 思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙,原来P在x轴上截得的弦长MN4 是 定值 2等腰三角形AMN存在三种情况,其中MAMN和NANM两种情况 时,点P的纵坐标是相等的 满分解答 (1)已知抛物线的顶点为(0,0) ,所以yax 2所以 b0,c0 将 1 (,) 16 a代入yax 2,得 21 16 a解得 1 4 a(舍去了负值) (2)抛物线的解析式为
10、21 4 yx,设点P的坐标为 21 ( ,) 4 xx 已知A(0, 2),所以 222411 (2)4 416 PAxxx 21 4 x 而圆心P到x轴的距离为 21 4 x,所以半径PA圆心P到x轴的距离 所以在点P运动的过程中,P始终与x轴相交 (3)如图 2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN 在 RtPMH中, 2241 4 16 PMPAx, 22411 () 416 PHxx,所以MH 24 所以MH2因此MN4,为定值 等腰AMN存在三种情况: 如图 3,当AMAN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4,当MAMN时,在 RtAOM中,OA
11、2,AM4,所以OM 23 此 时xOH 232 所 以点P的 纵坐 标 为 22211 (232)( 31)42 3 44 x 如图 5,当NANM时,点P的纵坐标为也为42 3 图 4 图 5 考点伸展 如果点P在抛物线 21 4 yx上运动,以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1) ,那么在点P运动的过程中,P始终与直线y 1 相切这是因为: 设点P的坐标为 21 ( ,) 4 xx 已知B(0, 1),所以 222222111 (1)(1)1 444 PBxxxx 而圆心P到直线y 1 的距离也为 21 1 4 x, 所以半径PB圆心P到直 线y 1 的距离所以在点P运动的过程中,P始
12、终与直线y 1 相 切 例 3 2018年上海市虹口区中考模拟第25 题 如图 1,在 RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的 中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC 上的一动点,且PDQ90 (1)求ED、EC的长; (2)若BP2,求CQ的长; (3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若PDF为等腰三角形,求BP 的长 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“13 虹口 25” ,拖动点P在射线AB上运动, 可以体验到,PDM与QDN保持相似观察PDF,可以看到,P、F可以 落在对边的垂直平分线上,不存在DFDP的情况 请打开超级画板文件名
13、“13 虹口 25” ,拖动点P在射线AB上运动, 可以体验到,PDM与QDN保持相似观察PDF,可以看到,P、F可以 落在对边的垂直平分线上,不存在DFDP的情况 思路点拨 1第( 2)题BP2 分两种情况 2解第( 2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间 的和差关系 3第( 3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转 化为探求等腰三角形CDQ 满分解答 (1)在 RtABC中, AB6,AC8,所以BC10 在 RtCDE中,CD5,所以 315 tan5 44 EDCDC, 25 4 EC (2)如图 2,过点D作DMAB,DNAC,垂足分别为M、N,那么DM
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