二次函数中动点问题——平行四边形(练习).pdf
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1、. . 2018 年 04 月 28 日 187*6232的初中数学组卷 一解答题(共5 小题) 1如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c经过点 A(1,0) ,点 B(3,0)和点 C(0, 3) (1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标; (2)点 C是否在以 BE为直径的圆上?请说明理由; (3)点 Q 是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、 R,使以 Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q、R 的坐标,若不存在,请说明理由 2如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A(3,0) ,B(2,3) ,C(0,3) ,其 顶点为 D (1)求抛
2、物线的解析式; (2)设点 M(1,m) ,当 MB+MD 的值最小时,求 m 的值; (3)若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求 APC的面积的最大值; (4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 N,E为直线 AC上任意一点, 过点 E 作 EF ND交抛物线于点 F,以 N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形? 若能,求点 E的坐标;若不能,请说明理由 . . 3如图,抛物线y=x 22x3 与 x 轴交于 A、B两点(点 A 在点 B的左侧) ,直 线 l 与抛物线交于 A,C两点,其中点 C的横坐标为 2 (1)求 A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线
3、段 AC上的一个动点( P与 A,C不重合) ,过 P点作 y 轴的平行线交 抛物线于点 E,求 ACE面积的最大值; (3)若直线 PE为抛物线的对称轴,抛物线与y 轴交于点 D,直线 AC与 y 轴交 于点 Q, 点 M 为直线 PE上一动点,则在 x 轴上是否存在一点N, 使四边形 DMNQ 的周长最小?若存在,求出这个最小值及点M,N 的坐标;若不存在,请说明理 由 (4)点 H 是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使 A、C、F、H四个点为 顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标; 如果不存在,请说明理由 4如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x3
4、与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于 点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A,C两点,且与 x轴交于另一点 B (点 B在点 A 右 侧) . . (1)求抛物线的解析式及点B坐标; (2)若点 M 是线段 BC上一动点,过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F,交 抛物线于点 E求 ME 长的最大值; (3)试探究当 ME 取最大值时, 在 x 轴下方抛物线上是否存在点P,使以 M,F, B,P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在, 试说明理由 5如图,矩形 OABC在平面直角坐标系中,点A 在 x 轴正半轴,点 C在 y 轴正 半轴, OA=4,
5、OC=3 ,抛物线经过 O,A 两点且顶点在 BC边上,与直线 AC交于 点 D (1)求抛物线的解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)若点 M 在抛物线上,点N 在 x 轴上,是否存在以A,D,M,N 为顶点的 四边形是平行四边形?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由 . . 2018 年 04 月 28 日 187*6232的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题(共5 小题) 1如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点 A(1,0) ,点 B(3,0)和点 C(0, 3) (1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标; (2)点 C是否在以 BE为直径的圆上?请说明理由; (
6、3)点 Q 是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、 R,使以 Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q、R 的坐标,若不存在,请说明理由 【分析】 (1)将 A (1,0) 、B (3,0) 、C (0,3)三点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c 中,列方程组求 a、b、c 的值即可; (2)根据勾股定理的逆定理可得:BCE=90 ,可得结论; (3)分两种情况: 以 BC为边时, 如图 1,R在对称轴的右侧时, BC RQ ,四边形 CQRB 是平行四边形,根据平移 规律先得 R的横坐标为 4, 代入抛物线的解析式可得R(4,5) ,由平移规律可
7、得Q(1,2) ; 如图 2,R在对称轴的左侧, RC BQ,四边形 CRQB 是平行四边形,同理可得点 Q、R的坐标 以 BC为对角线时,如图3,同理根据平移规律可得结论 . . 【解答】 解: (1)由题意,得:, 解得:, 故这个抛物线的解析式为y=x2+2x+3, y=x 2+2x+3=(x1)2+4, 顶点 E(1,4) ; (2)点 C在以 BE为直径的圆上,理由是: C (0,3) ,B(3,0) ,E (1,4) , BC 2=32+32=18,CE2=12+12=2,BE2=(31)2+42=20, BC 2+CE2=BE2, BCE=90 , 点 C在以 BE为直径的圆上;
8、 (3)存在,分两种情况: 以 BC为边时, 如图 1,R在对称轴的右侧时, BC RQ ,四边形 CQRB 是平行四边形, 由 C到 B的平移规律可知: Q 的横坐标为 1,则 R的横坐标为 4, 当 x=4时,y=x2+2x+3=42+24+3=16+8+3=5, R (4,5) , Q(1,2) ; 如图 2,R在对称轴的左侧, RC BQ,四边形 CRQB 是平行四边形, 由 C到 B的平移规律可知: Q 的横坐标为 1,则 R的横坐标为 2, 当 x=2 时,y=x 2+2x+3=4+2( 2)+3=5, R (2,5) , Q(1,8) ; 以 BC为对角线时,如图3, 由 C和
9、Q的平移规律可得: R的横坐标为 2, 当 x=2时,y=4+4+3=3, R (2,3) , . . 根据 R到 B的平移规律可得: Q(1,0) ; 综上所述, R(4,5) ,Q(1,2)或 R(2,5) ,Q(1,8)或 R(2, 3) ,Q(1,0) . . 【点评】 本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求解析式,圆周角定理, 勾股定理的应用,平行四边形的判定等,分类讨论的思想是(3)的关键 2如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A(3,0) ,B(2,3) ,C(0,3) ,其 顶点为 D (1)求抛物线的解析式; (2)设点 M(1,m) ,当 MB+MD 的值最小
10、时,求 m 的值; (3)若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求 APC的面积的最大值; (4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 N,E为直线 AC上任意一点, 过点 E 作 EF ND交抛物线于点 F,以 N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形? 若能,求点 E的坐标;若不能,请说明理由 【分析】 (1)根据待定系数法,可得答案; . . (2)利用轴对称求最短路径的知识,找到B点关于直线 x=1的对称点 B ,连接 BD,BD 与直线 x=1的交点即是点 M 的位置,继而求出m 的值 (3) 根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标, 可得 PE
11、的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得 答案; (4)设出点 E的,分情况讨论,当点E在线段 AC上时,点 F在点 E上方, 当点 E在线段 AC (或 CA )延长线上时,点F在点 E下方,根据平行四边形的性 质,可得关于 x 的方程,继而求出点E的坐标 【解答】 解: (1)将 A,B,C点的坐标代入解析式,得 , 解得, 抛物线的解析式为y=x22x+3 (2)配方,得 y=(x+1)2+4,顶点 D 的坐标为( 1,4) 作 B点关于直线 x=1的对称点 B ,如图 1, 则 B (4,3) ,由(1)得 D(1,4) , 可求出直线 DB 的函数关系式为 y=
12、x+, 当 M(1,m)在直线 DB 上时, MN+MD 的值最小, 则 m=1+= . . (3)作 PE x 轴交 AC于 E点,如图 2, AC的解析式为 y=x+3,设 P(m,m22m+3) ,E(m,m+3) , PE= m22m+3(m+3)=m23m SAPC=PE? | xA| =(m23m)3=(m+) 2+ , 当 m=时, APC的面积的最大值是; (4)由( 1) 、 (2)得 D(1,4) ,N(1,2) 点 E在直线 AC上,设 E(x,x+3) , 当点 E在线段 AC上时,点 F在点 E上方,则 F(x,x22x+3) , EF=DN x 22x+3(x+3)
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