信号与系统第四版习题解答.pdf
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1、信号与系统(第四版) 习题解析 高等教育出版社 2007 年 8 月 . . 目录 第 1 章习题解析 . 2 第 2 章习题解析 . 6 第 3 章习题解析 . 16 第 4 章习题解析 . 24 第 5 章习题解析 . 32 第 6 章习题解析 . 42 第 7 章习题解析 . 50 第 8 章习题解析 . 56 . . 第 1 章习题解析 1-1题 1-1 图示信号中, 哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是 非周期信号?哪些是有始信号? (c) (d) 题 1-1 图 解(a)、(c)、(d)为连续信号; (b)为离散信号; (d)为周期信号;其余为非周期信号;(a)、
2、 (b)、(c)为有始(因果)信号。 1-2给定题 1-2 图示信号 f( t ),试画出下列信号的波形。提示: f( 2t )表示将 f( t )波形 压缩, f( 2 t )表示将 f( t )波形展宽。 (a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t ) (c) f( 2 t ) (d) f( t +1 ) 题 1-2 图 解以上各函数的波形如图p1-2 所示。 . . 图 p1-2 1-3如图 1-3 图示,R、L、C 元件可以看成以电流为输入,电压为响应的简单线性系统 SR、SL、SC,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。 题 1-3 图 解各系统响应与输入的关系可分别
3、表示为 )()(tiRtu RR t ti Ltu L L d )(d )( t CC i C tud)( 1 )( 1-4如题 1-4 图示系统由加法器、 积分器和放大量为a 的放大器三个子系统组成, 系统 属于何种联接形式?试写出该系统的微分方程。 SR SL SC . . 题 1-4 图 解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x( t ),由于 )()()()(tyatftx 且 )()(,d)()(tytxttxty 故有 )()()(taytfty 即 )()()(tftayty 1-5已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|,
4、试判定该系统是否为线 性时不变系统? 解设 T 为系统的运算子,则可以表示为 )()()(tftfTty 不失一般性,设 f( t ) = f1( t ) + f2( t ),则 )()()( 111 tytftfT )()()( 222 tytftfT 故有 )()()()( 21 tytftftfT 显然 )()()()( 2121 tftftftf 即不满足可加性,故为非线性时不变系统。 1-6判断下列方程所表示的系统的性质。 (1) t f t tf ty 0 d)( d )(d )( (2) )()(3)()(tftytyty . . (3) )(3)()(2tftytyt (4)
5、)()()( 2 tftyty 解(1)线性; (2)线性时不变; (3)线性时变; (4)非线性时不变。 1-7试证明方程 )()()(tftayty 所描述的系统为线性系统。式中a 为常量。 证明不失一般性,设输入有两个分量,且 )()()()( 2211 tytftytf, 则有 )()()( 111 tftayty )()()( 222 tftayty 相加得 )()()()()()( 212211 tftftaytytayty 即 )()()()()()( d d 212121 tftftytyatyty t 可见 )()()()(2121tytytftf 即满足可加性,齐次性是显然
6、的。故系统为线性的。 1-8若有线性时不变系统的方程为 )()()(tftayty 若在非零 f( t )作用下其响应 t tye1)(,试求方程 )()(2)()(tftftayty 的响应。 解因为 f( t ) t tye1)(,由线性关系,则 )e1(2)(2)(2 t tytf 由线性系统的微分特性,有 t tytfe)()( 故响应 ttt tytftfe2e)e1(2)()()(2 . . 第 2 章习题解析 2-1如图 2-1 所示系统,试以uC( t )为输出列出其微分方程。 题 2-1 图 解由图示,有 t u C R u i d d CC L 又 t tuu L i 0
7、CSL d)( 1 故 C C CS )( 1 uC R u uu L 从而得 )( 1 )( 1 )( 1 )( SCCC tu LC tu LC tu RC tu 2-2设有二阶系统方程 0)(4)(4)(tytyty 在某起始状态下的0+起始值为 2)0(,1)0(yy 试求零输入响应。 解由特征方程 2 + 4 + 4 =0 得1 = 2 = 2 则零输入响应形式为 t etAAty 2 21zi )()( . . 由于 yzi( 0+ ) = A1 = 1 2A1 + A2 = 2 所以 A2 = 4 故有 0,)41 ()( 2 zi tetty t 2-3设有如下函数 f( t
8、),试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2 ( t1 ) 2 ( t2 ) (b) f( t ) = sin t ( t ) ( t6 ) 解(a)和(b)的波形如图 p2-3 所示。 图 p2-3 2-4试用阶跃函数的组合表示题2-4 图所示信号。 题 2-4 图 . . 解(a) f( t ) = ( t ) 2 ( t1 ) + ( t2 ) (b) f( t ) = ( t ) + ( tT ) + ( t2T ) 2-5试计算下列结果。 (1) t ( t 1 ) (2) tttd)1( (3) 0 d)() 3 cos(ttt (4) 0 0 3 d)(ett t 解
9、(1) t ( t 1 ) = ( t 1 ) (2) 1d) 1(d)1(ttttt (3) 2 1 d)() 3 cos(d)() 3 cos( 00 ttttt (4) 1d)(d)(ed)(e 0 0 0 0 3 0 0 3 tttttt tt 2-6设有题 2-6 图示信号 f( t ),对(a)写出 f ( t )的表达式,对 (b)写出 f( t )的表达式, 并分别画出它们的波形。 题 2-6 图 解(a) 20, 2 1 t f ( t ) = ( t 2 ),t = 2 2 ( t 4 ),t = 4 (b) f ( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) 2 (
10、t 3 ) + 2 ( t 4 ) . . 图 p2-6 2-7如题 2-7 图一阶系统,对 (a)求冲激响应 i 和 uL,对 (b)求冲激响应 uC和 iC,并画出 它们的波形。 题 2-7 图 解由图(a)有 Ritu t i L)( d d S 即 )( 1 d d S tu L i L R t i 当 uS( t ) = ( t ),则冲激响应 )(e 1 )()(t L tith t L R 则电压冲激响应 )(e)( d d )()( L t L R t t i Ltuth t L R 对于图 (b)RC 电路,有方程 R u i t u C C S C d d . . 即 SC
11、C 11 i C u RC u 当 iS = ( t )时,则 )(e 1 )()( C t C tuth RC t 同时,电流 )(e 1 )( d d C C t RC t t u Ci RC t 2-8设有一阶系统方程 )()()(3)(tftftyty 试求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。 解因方程的特征根 = 3,故有 )(e)( 3 1 ttx t 当 h( t ) = ( t )时,则冲激响应 )(e2)()()()()( 3 1 tttttxth t 阶跃响应 )()e21( 3 1 d)()( 3 0 thts t t 2-9试求下列卷积。 (a) ( t
12、) * 2 (b) ( t + 3 ) * ( t 5 ) (c) te t ( t ) * ( t ) 解(a) 由 ( t )的特点,故 ( t ) * 2 = 2 (b) 按定义 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = d)5()3(t 考虑到 t 5 时, ( t 5 ) = 0,故 ( t + 3 ) * ( t 5 ) =2,2d 5 3 tt t 也可以利用迟延性质计算该卷积。因为 . . ( t ) * ( t ) = t ( t ) f1( tt1 ) * f2( tt2 ) = f( tt1t2 ) 故对本题,有 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t +
13、3 5 ) ( t + 3 5 ) = ( t 2 ) ( t 2 ) 两种方法结果一致。 (c) te t ( t ) * ( t ) = te t ( t ) = ( e t te t ) ( t ) 2-10对图示信号,求f1( t ) * f2( t )。 题 2-10 图 解(a)先借用阶跃信号表示f1( t )和 f2( t ),即 f1( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) f2( t ) = ( t ) ( t 2 ) 故 f1( t ) * f2( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) * ( t ) ( t 2 ) 因为 ( t ) * ( t ) =
14、 t 0 d1= t ( t ) 故有 f1( t ) * f2( t ) = 2t ( t ) 2( t 1 ) ( t 1 ) 2( t 2 ) ( t 2 ) + 2( t 3 ) ( t 3 ) 读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。 . . (b)根据( t )的特点,则 f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 ) = f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图 p2-10(b)所示。 图 p2-10 2-11试求下列卷积。 (a) )()()()e1 ( 2
15、 ttt t (b) )(e d d )(e 3 t t t tt 解(a)因为)()()()(tttt,故 )()e1()()()e1()()()()e1( 222 tttttt ttt (b)因为)()(ett t ,故 t ttt t ttt t t 3 33 e3)( )()(e)(e d d )(e 2-12设有二阶系统方程 )(4)(2)(3)(ttytyty 试求零状态响应 解因系统的特征方程为 2 + 3 + 2 =0 解得特征根 1= 1,2= 2 故特征函数 )()ee(ee)( 2 2 21 ttx tttt . . 零状态响应 )()ee()(4)()(4)( 2 2
16、tttxtty tt = )()4ee8( 2 t tt 2-13如图系统,已知 )()(),1()( 21 tthtth 试求系统的冲激响应h( t )。 题 2-13 图 解由图关系,有 )1()()1()()()()()()( 1 tttttthtftftx 所以冲激响应 ) 1()()()1()()()()()( 2 tttttthtxtyth 即该系统输出一个方波。 2-14如图系统,已知R1= R2=1,L = 1H,C = 1F。试求冲激响应 uC( t )。 题 2-14 图 解由 KCL 和 KVL ,可得电路方程为 )()( 1 ) 1 () 1 ( 1 2 1 C 1 2
17、 C 2 1 C t LR R t R u LR R L u L CR R uC . . 代入数据得 )()(22 CCC ttuuu 特征根 1,2 = 1 j1 故冲激响应 uC( t )为 )()(*)ee()( 11 C tttu tt )(sine)()sin(cosettttt tt V)(cosett t 2-15一线性时不变系统,在某起始状态下,已知当输入f( t ) = ( t )时,全响应 y1( t ) = 3e 3t ( t );当输入 f( t ) = ( t )时,全响应 y2( t ) = e 3t ( t ),试求该系统的冲激响应h( t )。 解因为零状态响应
18、 ( t ) s( t ),( t ) s( t ) 故有 y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e 3t ( t ) y2( t ) = yzi( t ) s( t ) = e 3t ( t ) 从而有 y1( t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e 3t ( t ) 即 s( t ) = e 3t ( t ) 故冲激响应 h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e 3t ( t ) 2-16若系统的零状态响应 y( t ) = f( t ) * h( t ) 试证明: (1) t h t tf thtfd)( d )(d )()( (2)
19、利用(1)的结果,证明阶跃响应 t htsd)()( 证(1)因为 y( t ) = f( t ) h( t ) . . 由微分性质,有 y ( t ) = f ( t ) h( t ) 再由积分性质,有 t htftyd)()()( (2)因为 s( t ) = ( t ) h( t ) 由(1)的结果,得 t httsd)()()( t htd)()( t hd)( . . 第 3 章习题解析 3-1求题 3-1 图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。 题 3-1 图 解对于周期锯齿波信号,在周期( 0,T )内可表示为 t T A tf)( 系数 2 d 1 d)( 1 00 0
20、A t T At T ttf T a TT TT ttnt T A ttntf T a 0 12 0 1n dcos 2 dcos)( 2 0 sin2 0 1 1 2 T n tnt T A TT ttnt T A ttntf T A b 0 12 0 1n dsin 2 dsin)( 2 cos2 0 1 1 2 n A n tnt T A T 所以三角级数为 1 1 sin 2 )( n tn n AA tf 3-2如图所示周期矩形波信号,试求其复指数形式的傅里叶级数。图中2T。 解:该信号周期2T,故 T 2 1 ,在一个周期内可得: 1 0 0 1 )( 22 1 2 1jnjntj
21、ntjn n ee nj A jn A dtAedtAeF . . ,4,20 , 3, 1 2 )cos1(cos n n jn A n jn A n jn A jn A 因为)(tf为奇函数,故0 0 F,从而有指数形式: 题 3-2 图 3-3设有周期方波信号 f( t ),其脉冲宽度= 1ms,问该信号的频带宽度(带宽)为多 少?若 压缩为 0.2ms,其带宽又为多少? 解对方波信号,其带宽为 1 fHz, 当1 = 1ms时,则 Hz1000 001.0 11 1 1f 当2 = 0.2ms时,则 Hz5000 0002.0 11 2 2 f 3-4求题 3-4 图示信号的傅里叶变换
22、。 , 3,1, 2 )(ne jn A tf tjn n . . 题 3-4 图 解(a)因为 t t , t, 0 为奇函数,故 tt t Fdsin2j)( 0 cossin 2 j 2 )(Sacos 2 j 或用微分定理求解亦可。 (b) f( t )为奇函数,故 ttFdsin)1(2j)( 0 ) 2 (sin 4 j 1cos j 22 若用微分 -积分定理求解,可先求出f ( t ),即 f ( t ) = ( t + ) + ( t ) 2 ( t ) 所以 2cos22ee)j ()( jj 1 Ftf 又因为 F1( 0 ) = 0,故 )1(cos j 2 )( j
23、1 )( 1 FF 3-5试求下列信号的频谱函数。 (1) t tf 2 e)( f( t ) = . . (2) )(sine)( 0 tttf at 解(1) 0 j2 0 j2j deedeede)()(ttttfF ttttt 2 4 4 j2 1 j2 1 (2) 0 jjjj d)ee(e 2j 1 ede)()( 00 tttfF tttatt 0 )j( j )j( j deeee 2j 1 00 t ta t ta t 00 j)j( 1 j)j( 1 2j 1 22 0 22 0 00 )j()j( j2 2j 1 3-6对于如题 3-6 图所示的三角波信号,试证明其频谱函
24、数为 ) 2 (Sa)( 2 AF 题 3-6 图 证因为 (t t A),1( 0,| t | 则 0 dcos)1 (2)(tt t AF )cos1( 2 2 A ) 2 (sin 42 2 A f( t ) = . . ) 2 (Sa 2 A 3-7试求信号 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。 解因为 1 2( ) 2cost 2 ( 1) + (+ 1) 3cos3t 3 ( 3) + (+ 3) 故有 F() = 2 ( ) + ( 1) + (+ 1) + 3 ( 3) + (+ 3) 3-8试利用傅里叶变换的性质,求题3-8 图所示信号 f2
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- 信号 系统 第四 习题 解答
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