全国初中数学竞赛试题及答案.pdf
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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5 小题,每小题 6 分,共 30 分.) 1(甲) 如果实数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式 22 |()|aabcabc可以化简 为() ( A)2ca(B)22ab(C)a(D)a 1(乙)如果22a,那么 1 1 1 2 3a 的值为() ( A)2(B)2( C)2 (D)2 2 2(甲)如果正比例函数y = ax(a 0 )与反比例函数y = x b (b 0 )的图象有两个交点,其中一个交点的 坐标为( 3, 2),那么另一个交点的坐标为() ( A)( 2,3)( B)( 3, 2)(C)(
2、2,3) (D)( 3, 2) 2(乙)在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x 2y22 x2y 的整数点坐标( x, y)的个数为() ( A)10 ( B)9 ( C)7 (D)5 3(甲) 如果ab,为给定的实数,且1ab,那么1121aabab,这四个数据的平均数与中 位数之差的绝对值是() ( A)1 (B) 21 4 a (C) 1 2 (D) 1 4 3(乙)如图,四边形ABCD 中, AC,BD 是对角线, ABC 是等边三角形30ADC,AD = 3, BD = 5, 则 CD 的长为() ( A)23(B)4 ( C)52(D)4.5 4(甲)小倩和小玲每人都有若干面值为整
3、数元的人民币小倩对小玲说:“ 你若给我2 元,我的钱数将是 你的 n 倍” ;小玲对小倩说:“ 你若给我n 元,我的钱数将是你的2 倍” ,其中 n 为正整数,则n 的可能值 的个数是() ( A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 4(乙)如果关于x 的方程 2 0xpxqpq( ,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 O A B C E D () ( A) 5 ( B) 6 (C) 7 (D) 8 5(甲)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2,3,4,5, 6掷两次骰子,设其朝上 的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是0, 1,2, 3 的概率为 0123
4、pppp,则 0123 pppp, 中最大的是() ( A) 0 p(B) 1 p(C) 2 p(D) 3 p 5 (乙)黑板上写有 111 1 23100 , , , , 共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取2 个数ab, 然后删去ab,并在黑板上写上数abab,则经过99 次操作后,黑板上剩下的数是() ( A)2012 (B)101 (C)100 (D)99 二、填空题(共5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 6(甲)按如图的程序进行操作,规定:程序运行从 “输 入一个值x” 到 “ 结果是否 487?” 为一次操作 . 如果 操 作 进 行 四 次 才 停 止 , 那 么
5、x的 取 值 范 围 是. 6 ( 乙 ) . 如 果a , b , c是 正 数 , 且 满 足9abc, 11110 9abbcca , 那 么 abc bccaab 的 值 为 7(甲)如图,正方形ABCD 的边长为2 15 , E,F 分别是 AB,BC 的中点, AF 与 DE,DB 分别交于点M,N,则 DMN 的面积是. 7(乙) .如图所示,点A 在半径为20 的圆 O 上,以 OA 为一条对角线作矩形 OBAC ,设直线BC 交圆 O 于 D、E 两点,若12OC,则线段 CE、BD 的长度差是。 8(甲) . 如果关于x 的方程 x 2+kx+ 4 3 k 23k+ 9 2
6、 = 0 的两个实数根分别为 1 x, 2 x,那么 2012 2 2011 1 x x 的值为 8 (乙) 设n为整数,且1 n 2012. 若 22 (3)(3)nnnn能被 5 整除,则所有n的个数为. 9(甲) . 2 位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛 一场记分规则是:每场比赛胜者得3 分,负者得0 分;平局各得1 分 . 比赛结束后,所有同学的得分总 和为 130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为. x y O E C A B D 9(乙)如果正数x,y,z 可以是一个三角形的三边长,那么称xyz( , , )是三
7、角形数若abc( , , )和 1 1 1 a b c (,)均为三角形数,且a b c,则 a c 的取值范围是. 10(甲)如图,四边形ABCD 内接于 O, AB 是直径, AD = DC. 分别延长BA,CD, 交点为 E. 作 BFEC,并与 EC 的延长线 交于点 F. 若 AE = AO,BC = 6,则 CF 的 长为. 10(乙)已知n是偶数,且1n 100 若有唯一的正整数对ab( , )使得 22 abn成立,则这样的 n的 个数为 三、解答题(共4 题,每题 15 分,共 60 分) 11 (甲)已知二次函数 2 32yxmxm(),当13x时,恒有0y;关于x 的方程
8、 2 320xmxm()的两个实数根的倒数和小于 9 10 求m的取值范围 11(乙). 如图所示,在直角坐标系xOy中, 点 A 在 y 轴负半轴上,点B、C 分别在x 轴正、负半轴上, 4 8,sin 5 AOABACC。点 D 在线段 AB 上,连结CD 交 y 轴于点 E,且 COEADE SS。 试求图像经过B、 C、E 三点的二次函数的解析式。 12 (甲) . 如图, O 的直径为AB, 1 O过点O,且与 O 内切于点BC为 O 上的点,OC与 1 O交 于点D,且ODCD点E在OD上,且DCDE, BE的 延长线与 1 O交于点F,求证: BOC 1 DO F 12(乙) 如
9、图, O 的内接四边形ABCD 中, AC,BD 是它的对角 线, AC 的中点 I 是 ABD 的内心 . 求证: (1)OI 是 IBD 的外接圆的切线; (2)AB+AD = 2BD. 13(甲) . 已知整数a,b 满足: ab 是素数,且ab 是完全平方数. 当a2012 时,求 a 的最小值 . 于13(乙)给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等 150?并说明理由 14 ( 甲 ) . 求 所 有 正 整 数n , 使 得 存 在 正 整 数 122012 xxx, ,满足 1220 xxx,且 122012 122 0 1 2 n xxx . 14 (乙)将2,3,n(
10、n2 ) 任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数abc, , (可以相同) , 使得 b ac,求n的最小值 参考解答 一、选择题 1(甲) .C 解: 由实数 a,b,c 在数轴上的位置可知 0bac,且bc, 所以 22 |()|()()()aabcabcaabcabca 1(乙) B 解: 111 111 11 221 22 312a 1 11212 21 2(甲) D 解 :利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的 坐标为( 3,2). 2(乙) B 解: 由题设 x2y22 x2y, 得 0 22 (1)(1)xy 2. 因为 xy,
11、 均为整数,所以有 解得 以上共计 9 对 xy( , ). 3(甲) D 解: 由题设知,1112aabab,所以这四个数据的平均数为 1(1)(1)(2)342 44 aababab , 中位数为 (1)(1)442 24 aabab , 于是 4423421 444 abab . 3(乙) B 解: 如图,以 CD 为边作等边CDE,连接 AE. 由于 AC = BC,CD = CE, BCD=BCA +ACD=DCE+ACD =ACE, 所以 BCD ACE, BD = AE. 又因为30ADC,所以90ADE. 在 RtADE中,53AEAD, 于是 DE= 22 4AEAD ,所以
12、 CD = DE = 4. 4(甲) D 解: 设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,xy,均为非负整数. 由题设可得 消去 x 得(2y7)n = y+4, 2n = 72 15 1 72 15)72( yy y . 因为 15 27y 为正整数,所以2y7 的值分别为1,3, 5,15,所以 y 的值只能为4,5,6,11从而 n 的值分别为8,3,2,1; x 的值分别为14,7,6, 7 4(乙) C 解: 由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q,故方程的根为一正一负由二次函数 2 yxpxq的图象知,当3x时,0y,所以 2 330pq,即39pq. 由于pq,都
13、是 正整数,所以1p,1 q5 ;或2p,1 q2 ,此时都有 2 40pq. 于是共有7 组pq( , )符合 题意 5(甲) D 解: 掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个,其和除以4 的余数分别是0, 1,2, 3 的有序数对有9 个, 8 个, 9 个, 10 个,所以 0123 98910 36363636 pppp,因此 3 p最大 5(乙) C 解: 因为1(1)(1)ababab,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1 后的乘积不 变 设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为x,则 111 1(1 1)(1)(1)(1) 23100 x, 解得1101
14、x,100x 二、填空题 6(甲) 7x 19 解: 前四次操作的结果分别为 3x2, 3(3x2)2 = 9x8,3(9x8)2 = 27x 26,3(27x26)2 = 81x80. 由已知得27x26487 , 81x80487. 解得7x19. 容易验证,当7x19时,32x487 98x487 ,故 x 的取值范围是 7x 19 6(乙) .7 解: 在 9 10111 accbba 两边乘以9cba得 103 ac b cb a ba c 即7 ac b cb a ba c 7(甲) 8 解: 连接 DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知BFNDAN,所以 2 1 ADA
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