初中数学翻折问题.pdf
《初中数学翻折问题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学翻折问题.pdf(11页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、矩形构造法之翻折问题 万伟华,南昌市第二十八中学教师,著有个人作品点线式秒杀中考数学压轴题 翻折问题 作为几何知识的重要组成部分,翻折问题历来是全国中考命题的热点,可以预见, 此类 问题仍会在2018 年的考试中大量呈现。但绝大多数学生对此类问题毫无头绪,丢分情况十 分严重, 为此笔者进行了一些有益的尝试,试图为学生打开破解之道。限于篇幅, 本文仅探 究直角三角形的翻折问题。 首先,我们必须引进一个非常重要的数学工具“纵横比” 所谓“纵横比”就是指依附直线上任意两点,构建直角三角形,使得横直角边平行x 轴,纵 直角边平行y 轴。 “纵直角边”与“横直角边”的长度之比。 如图:已知A(x1, y
2、1),B(x2, y2)在直线 AB 上, 则直线 AB 的“纵横比”为: AC BC 12 12 yy xx 在此基础上,我们继续探究,不难得出一个精彩的结论: 1212 12 ( ,) , , ACxBDx OAOB A lll l ACOD ll OCBD C D ACOD ACOODB OC COC BDOD BD 若不为坐标轴 则两直线的纵横比互为倒数。 如图:已知,求证: 轴轴 垂足分别为证明:作 易证: “ 矩形构造法 ” 之对称: 一般在涉及某点关于直线对称点求解的问题,可通过构建某点关于直 线的“纵横比” ,得到横平竖直的直角三角形后进行翻折对称,再构造翻折后直角三角形的 外
3、接矩形,得到相似,从而求解。其解题的核心思想是“斜转直”。(将原题中倾斜的直角 边之比,通过构造直角三角形的外接矩形,得到相似,从而转化成横平竖直的直角边之比, 又称为“纵横比”)此处所列举的例题希望大家认真领会,并通过这些例题得出解决对称点 问题的一般通法。 以下,我们一起来领略“纵横比”的神奇! 例题 1:平面直角坐标系中,直线y3x3,与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,点 O 关于 直线 y 3x3 对称点为O ,求 O坐标 . 解题思路剖析: 粗看此题,似乎感觉无从下手。倘若我们换个思路,引进纵横比的解题 思想呢?OB、OA、AB 可以看成一个天然的纵横比三角形,我们将 AOB
4、沿 AB 进行翻折, 得到 RTAOB,接下来,我们应该如何处理“倾斜”的两条直角边OA,OB 呢?根据此 前的结论, 若不为坐标轴的两直线垂直,则其纵横比互为倒数。由此,我们容易联想构造O A, OB 的纵横比,构造RTAO B 的外接矩形 .以下我们看看具体的解题过程. 解:将 AOB 沿 AB 翻折,得 AOB, 构造 AO B 的外接矩形OBCD. 易证: ADO OCB, 设 ADa,ODb, O C3a,BC3b a13b b3a3 a4 5,b 3 5; O( 9 5, 3 5) 解题反思: 我们在处理一点关于倾斜的直线对称问题过程中,可通过翻折的手段,再根据纵 横比思想, 构造
5、其外接矩形加以处理。那么, 此方法是不是解决此类问题的基本通法呢?我 们不妨再看下一个问题 例题 2:平面直角坐标系中,直线y1 2x2,点 A(4,1) ,点 A 关于直线 y 1 2x2 对称点为 A,求 A 坐标 ,并求出点A 到 BC 的距离 . 解题思路剖析: 有了前面一题作为引导,我们很自然想到构造以点A 为直角点的纵横比 BAC,而后将BAC沿 BC 进行翻折,得到RT BA C,接下来,构造BA C的外接矩 形,从而求解. 2 1 2, 2 . .(4 1)36. ,2 ,2 26 129 , 3255 188 29 2,4( ,) 555 8 (4) 5 ACAB ACxAB
6、yyxC B BACBCBA CBA CACDE A DCBEAAABAC A Ea EBbCDa A Db ab ab ba xxbyyA AA 解:作 轴, 轴, 分别交直线于 将沿翻折,得,构造的外接矩形 易证:, 设 2 22 2912 516 5 (1) 5525 1 2, 2 (4 1)36.23618 2186 5 (42)(41)3 5 53 5 ABC ABC dAA ACxAByyxC B AABACSABAC S BCd BC 方法二:作 轴, 轴, 分别交直线于 , , 由此我们得到一点关于倾斜的直线对称问题的基本通法: 其基本解题步骤:第一步,构造已知点的“纵横比”,
7、即依附这点构造横平竖直的直角 三角形;第二步, 将该直角三角形进行翻折,并构造出翻折直角三角形的外接矩形;第三步, 利用一线三直角, 得出相似,并根据相似比由小到大巧设各条边,列出二元一次方程组求解。 初中阶段,处理点到直线距离的求解方法主要有两种: 第一,通过构造该点的纵横比,得出这个直角三角形的面积,再求出斜边,从而求解。 第二,通过构造该点的纵横比,而后将该三角形进行翻折,再进行矩形构造法,得出其对 称点坐标,最后根据两点间距离公式求解。 通过以上探究, 我们不难发现, 求解任意一点关于直线对称点问题,可通过矩形构造法,同 时可以得出一个“副产品”,即点到直线距离,当然用矩形构造法求解点
8、到直线距离稍显麻 烦;如果题目仅需要求出点到直线距离,可通过面积方法求解. 接下来, 我们一起探究圆切点的求解问题,众所周知, 经过圆外一点,可以作该圆的两条切 线,两切点关于圆心与该点的连线对称,因此求解圆的切点问题与翻折问题实质等同。 例 1:如图,点C(0,2)点 M(4,0) ,以点 M 为圆心, 2 为半径的圆与x 轴交于点A、 B.CE 是 M 的切线,点E 为切点,求E 点坐标 . 解题思路剖析:顺次连接C、E、M,得到 RTCEM,构造 RTCEM 的外接矩形,利用相 似求解 , 90 4,2 2 2,2 (, ),(4,0),(0,2) 2 22(4) 126126 ,(,)
9、 5555 ME MCCEMCGHF ECEM CGEMHE CECFEM EGCGCE MHEHEM EGMH CGEH E m n MC mn nm mnE M 解:连接作的“外接矩形 ” 为 易证: 设 的切点 例 2:如图,在平面直角坐标系中,以点O 为圆心,半径为2 的圆与 y 轴交于点 A, P( 4, 2)是 O 外一点,连接AP,直线 PB 与 O 相切于点B,交 x 轴于点 C求 B 点坐标 解题思路剖析:与上题相同,我们只要构造RT OPB 的外接矩形,问题将迎刃而解。 , 90 4,2 2 2,2 (, ),(0,0),(4,2) 22 42 8686 ,(,) 5555
10、 OP OBOBPADEP BOBP EBPBOD PAPBOB PEBEPB BDODOB PEBD BEOD B m n OP nm m O n mnB 解:连接作的“外接矩形 ” 为 易证: 的 设 切点 解题反思: 这两道题都是求解圆切点问题,我们仅需要构造倾斜直角三角形的外接矩形,问 题很快解决,可见这两个问题实质等同。 例 3:如图,在平面直角坐标系中,D(4,1) ,C(2,2) ,以 C 为圆心,半径为1 作圆, 过点 D 作 C 的两条切线,切点分别为A,B求切点的坐标 解题思路剖析: 粗看此题, 感觉难以思考,我们参考前面两道例题的解答,不难发现它们之 间的内在联系,仅需构
11、造RTCBD 的外接矩形,问题将迎刃而解。 , , 1(41)(2 2)(2 1) 2 ( , ),(2,2),(4,1) 28 41 2 2322 141314 13 ,(,) 5555 (2 1) CA CB CDCBDADEF DA DBCADA rCACBDCA BDBEED CFBBED BCFCBF B a bCD ab ab abb C C a abB A 解:连接作的“外接矩形 ” 为切线 , 易证: 设 , 综上 的 所述:,切点, 的 14 13 ,(,) 55 B 解题反思: 以上三道题目都是求解圆切点问题,圆的位置各不相同,神奇的是, 我们居然可 以采用同样一种方法处理
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 数学 问题
链接地址:https://www.31doc.com/p-5635356.html