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1、. ;. 判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用 “ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判 别 例 1 如图 1,在平行四边形ABCD 中,E、 F 在对角线AC 上, 且 AE=CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形. 分析 :由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“ 两条对角 线互相平分的四边形是平行四边形” 进行判别 .为此 ,需连接 BD. 解:连接BD 交 AC 于点 O. 因为四边形ABCD 是平行四边形 , 所以 AO=CO,BO=DO. 又 AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO. 所以四边形DEB
2、F 是平行四边形 . 二、运用 “ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 判别 例 2 如图 2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请 你指出图中所有的平行四边形,并说明理由. 分析 :设每根木棒的长为1 个单位长度, 则图中各四边形的 边长便可求得, 故应考虑运用“ 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 ” 进行判别 . 解 : 设 每 根 木 棒 的 长 为1个 单 位 长 度 , 则 AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF 是平行四边形. 同样可知四边形FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形. 因为 AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE 也是平行
3、四边 形. 三、运用 “ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判 别 例 3 如图 3,E、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两 点,AE=CF,DF=BE,DF BE,试说明四边形ABCD 是平行四边 形. 分析 : 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平 行四边形,但仔细观察可知,由已知条件可得ADF CBE, 由此就可得到判别平行四边形所需的“ 一组对边平行且相等” 的条件 . 解:因为DF BE,所以 AFD =CEB. 因为 AE=CF,所以 AE+EF=CF+EF,即 AF=CE.又 DF =BE, 所以 ADF CBE,所以 AD=BC, DAF =BCE,
4、 所以 AD BC.所以四边形ABCD 是平行四边形. A B C D O E F 图 1 图 2 A B C D E F A 图 3 C D E F B . ;. 四、运用 “ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判别 例 4 如图 4,在平行四边形ABCD 中, DAB、 BCD 的平分线分别交BC、AD 边于点 E、F,则四边形AECF 是平行 四边形吗?为什么? 分析:由平行四边形的性质易得AFEC,又题目中给出 的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考 虑运用 “ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 进行判别 . 解:四边形AECF 是平行四边形. 理由:因为四
5、边形ABCD 是平行四边形,所以ADBC, DAB=BCD, 所以 AFEC.又因为 1= 2 1 DAB, 2= 2 1 BCD, 所以 1=2.因为 ADBC,所以 2=3, 所以 1=3,所以 AE CF. 所以四边形AECF 是平行四边形. 判定平行四边形的五种方法 平行四边形的判定方法有: (1) 证两组对边分别平行; ( 2) 证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对 角线互相平分; (5)证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、两组对边分别平行 如图 1,已知 ABC 是等边三角形, D、E 分别在边BC、 AC 上,
6、且 CD=CE,连结 DE 并延长至点F,使 EF=AE, 连结 AF、BE 和 CF A F B D C E 图 1 A B C D E F 图 4 1 3 2 . ;. (1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明; (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形,并说明理由。 解: (1)选证 BDE FEC 证明: ABC 是等边三角形, BC=AC, ACD=60 CD=CE, BD=AE, EDC 是等边三角形 DE=EC, CDE=DEC =60 BDE =FEC =120 又 EF=AE, BD=FE, BDE FEC (2)四边形ABDF 是平行四边形 理由:由( 1)知, ABC
7、、 EDC、 AEF 都是等 边三角形 CDE =ABC=EFA=60 ABDF,BDAF 四边形ABDF 是平行四边形。 点评:当四边形两组对边分别被第三边所截,易证 截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时, 可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平 行四边形。 二、一组对边平行且相等 例2已知:如图2,在正方形ABCD 中, G 是 CD 上一 点,延长 BC 到 E,使 CE=CG,连结 BG 并延长交 DE 于 F (1)求证: BCG DCE; (2)将 DCE 绕点 D 顺时针旋转90 得到 DAE,判 断四边形EBGD 是什么特殊四边形?并说明理由。 分析: (2)由于
8、 ABCD 是正方形,所以有AB DC, 又通过旋转CE=AE已知 CE=CG,所以 E A=CG,这 样就有 BE= GD,可证 E BGD 是平行四边形。 解: (1) ABCD 是正方形, BCD =DCE=90 又 CG=CE, BCG DCE (2) DCE 绕 D 顺时针 旋转 90 得到 DAE , CE=AE, CE=CG, CG=AE , 四边形ABCD 是正方形 BEDG,AB=CD AB-AE= CD-CG,即 BE= DG 四边形DE BG 是平行四边形 . ;. 点评:当四边形一组对边平行时,再证这组对边相 等,即可得这个四边形是平行四边形 三、两组对边分别相等 例3
9、如图 3 所示,在 ABC 中,分别以AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边ABD,等边 ACE,等 边 BCF。 求证:四边形DAEF 是平行四边形; 分析:利用证三角形全等可得四边形DAEF 的两组 对边分别相等,从而四边形DAEF 是平行四边形。 解: ABD 和 FBC 都是等边三角形 DBF +FBA=ABC+FBA=60 DBF =ABC 又 BD=BA,BF=BC ABC DBF AC=DF =AE 同理 ABC EFC AB=EF=AD 四边形ADFE 是平行四边形 点评:题设中存在较多线段相等关系时,可证四边 形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四 边形。 四、对
10、角线互相平分 例 4 已知:如图4,平行四边形ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于 O,AEBD 于 E,BFAC 于 F,CGBD 于 G,DH AC 于 H,求证:四边形EFGH 是平行四边形。 图 4 分析:因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这 些条件与四边形EFGH 的对角线有关, 若能证出 OE=OG, OF=OH,则问题可获得解决。 . ;. 证明: AEBD,CGBD, AEO=CGO, AOE=COG, OA=OC AOE COG, OE=OG 同理 BOF DOH OF=OH 四边形EFGH 是平行四边形 点评:当已知条件与四边形两对角线有关时,可证两对 角线互相平
11、分,从而证四边形是平行四边形。 五、两组对角相等 例 5 将两块全等的含30 角的三角尺如图1 摆放在一起 四边形 ABCD 是平行四边形吗?理由。 (1)如图2,将RtBCD 沿射线BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形 吗?说出你的结论和理由:。 分析:因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。 解: (1)四边形ABCD 是平行四边形,理由如下: ABC=ABD+DBC =30 +90 =120 , ADC=ADB+CDB =90 +30 =120 又 A=60 , C=60 , ABC=ADC, A=C (2)四边形ABC1D1是
12、平行四边形,理由如下: 将 RtBCD 沿射线方向平移到Rt B1C1D1的位置 时,有 RtC1BB1RtADD1 C1BB1=AD1D, BC1B1=DAD1 有 C1BA=ABD+ C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD 1C1, BC1D1= BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB . ;. 所以四边形ABC1D1是平行四边形 点评: (2)也可这样证明:由(1)知 ABCD 是平行 四边形, ABCD,将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到RtB1C1D1的位置 时,始终有ABC1D1,故 ABC1D1是平行四边形。 判断平行四边形的策略 在学习了 “ 平行四边形
13、” 这部分内容后,对于平行四边形的 判定问题,可从以下几个方面去考虑: 一、考虑 “ 对边 ” 关系 思路 1:证明两组对边分别相等 例 1 如图 1 所示,在 ABC 中, ACB90 , BC 的垂 直平分线DE 交 BC 于 D,交 AB 于 E,F 在 DE 上,并且 AFCE.求证:四边形ACEF 是平行四边形 . 证明: DE 是 BC 的垂直平分线, DF BC,DB = DC. FDB = ACB = 90. DF AC .CE = AE = 2 1 AB. 1 = 2 . 又 EFAC,AF = CE = AE , 2 =1 = 3 =F. ACE EFA. AC = EF
14、. 四边形ACEF 是平行四边形 . 思路 2:证明两组对边分别平行 = = A B C D E F (图 1) 1 2 3 . ;. 例 2 已知:如图2,在 ABC 中, ABAC,E 是 AB 的 中点, D 在 BC 上,延长 ED 到 F,使 ED = DF = EB. 连结 FC. 求证:四边形AEFC 是平行四边形. 证明: ABAC, B =ACB. ED = EB, B =EDB . ACB =EDB . EFAC. E 是 AB 的中点, BD = CD. EDB = FDC ,ED = DF, EDB FDC. DEB =F. AB CF. 四边形AEFC 是平行四边形
15、. 思路 3:证明一组对边平行且相等 例 3 如图 3,已知平行四边形ABCD 中, E、F分别是 AB、CD 上的点, AE = CF ,M、N 分别是 DE、BF 的中点 . 求证:四边形ENFM 是平行四边形 . 证明:四边形ABCD 是平行四边形, AD = BC, A =C . 又 AE = CF, ADE CBF. 1 =2, DE = BF . M、N 分别是 DE、BF 的中点, EM = FN . DCAB, 3 =2. 1 =3. EM FN . 四边形ENFM 是平行四边形. 二、考虑 “ 对角 ” 关系 思路:证明两组对角分别相等 例 4 如图 4,在正方形ABCD 中
16、,点 E、 F 分别是 AD、BC 的中点 . 求证:(1) ABE CDF ; (2)四边形BFDE 是平行四边形. 证明: (1) 在正方形 ABCD 中, AB = CD, AD = BC, A =C = 90 , AE = 2 1 AD,CF = 2 1 BC, AE = CF. ABE CDF . (2)由( 1) ABE CDF 知, 1 =2, 3 = 4. BED = DFB . A B C D E F E A B C D 1 2 3 4 (图 4) F A B C D E F M N 3 2 1 . ;. 在正方形ABCD 中, ABC =ADC, EBF =EDF . 四边
17、形BFDE 是平行四边形 . 三、考虑 “ 对角线 ” 的关系 思路:证明两条对角线相互平分 例 5 如图 5,在平行四边形ABCD 中,P1、P2是对角线 BD 的三等分点 . 求证:四边形AP1CP2是平行四边形. 证明:连结AC 交 BD 于 O. 四边形ABCD 是平行四边形, OA = OC, OB = OD. BP1 = DP2, OP1 = OP2 . 四边形AP1CP2是平行四边形. 平行四边形的识别浅析 平行四边形是初中数学中的基本图形,正确识别平行四边 形,是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点,而且只需要两个条件,为了 更加清楚哪
18、些条件能或不能识别平行四边形,我们把这些条件 总结如下。 1 利用定义或定理直接识别平行四边形 1.1 两组对边分别平行,如图1,ABCD,ADBC。 1.2 两组对边分别相等,如图1,AB=CD,AC=BC。 1.3 两组对角分别相等, 如图 1, ABC= ADC,BAD=BCD。 1.4 一组对边平行且相等,如图1,ABCD,AB=CD。 1.5 两条对角线互相平分,如图1,OA=OC,OB=OD。 2 利用定义和定理间接识别平行四边形 2.1一 组 对 边 平 行 且 一 组 对 角 相 等 , 如 图 1,ABCD,ABC=ADC。 证明:ABCD ABC+BCD=180 又 ABC
19、=ADC ADC BCD 180 ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行) 2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线,如图 1, ABCD,OA=OC。 证明:ABCD BAC=DCA在 AOB 和 COD A B C D O P1 P2 (图 5) 图1 O D C B A . ;. 中, BAC=DCA,OA=OC,AOB=COD AOB COD (ASA) AB=CD四边形ABCD 是平行 四边形(一组对边平行且相等) 2.3 两组邻角互补,而且两组邻角要有一个公共角, 如图 1, DAB+ABC=180 ,ABC+BCD=180 。 证明: DAB+AB
20、C=180 ADBC又 ABC+BCD=180 AB CD四边形ABCD 是平行四边形(两组对边平 行) 3 不能识别为平行四边形 3.1 两组不同的邻角互补, 如图 2, A+B=180 , C+D=180 ,可以画出梯形。 3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边 对角,涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。 两组邻边相等,如图3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。 两对邻角相等,如图4, A=D,B=C,可以画出等腰梯形。 3.3 一组对边平行且另一组对边相等, 如图 4,ADBC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。 3.4 一组对边相等,一组对角相
21、等,不一定是平行四边 形。反例作图方法,如图5:作 ABC,在边BA 上确定点 A,在边 BC 上确定点C,过点 A、B、C 作 O1,以点 C 为 圆心, 以线段 AB 长为半径作C,以 AC 为弦作 O1 的等 圆 O2,交 C 于 D、E 两点,则四边形ABCD 为平行四边 形,而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形,即 AB=CE, ABC= AEC。 3.5 一组对边相等,对角线交点平分一条对角 线,不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 6: 作线段 AB,过线段AB 的中点 O 作直线 CD, 过点 B 作 BECD,垂足为 E,以点 E 为圆心,小 于线段 OE 的长为半径
22、作E,交 CD 于 F、 G 两点, 以点 A 为圆心, BF 长为半径作 A,交直线 CD 于 H、I 两点,则四边形AGBH 和四边形AFBI 为 平行四边形,而四边形AGBI 和四边形AHBF 即为符合条件的 非平行四边形,如在四边形AGBI 中, AI=BG,OA=OB。 图4 D CB A 图2 D CB A 图3 D C B A 图5 O2 O1 E D C B A 图6 I H G FE D C O B A . ;. 说明一个四边形是平行四边形的思 路 山东于秀坤 平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢?要说明一个四边形是平行四 边形,一般可
23、以根据题目中所给的条件,分别通过下列的思路 进行说明 一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时,考虑采用 “ 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形” 或“ 一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形” 例 1 如图 1,在 ABC 中, AD 是角的平分线,DE/AC 交 AB 于点 E,EF/BC 交 AC 于点 F,试说明 AE=CF 图 1 分析:由AD 是角的平分线,可知1=2,由 DE/AC, 可知 2=3,所以 1=3,即可得 AE=ED,要说明 AE=CF, 可转化为说明ED=EC,因此, 只需说明四边形EDCF 是平行四 边形就可以了 . ;. 解:因为 1=2, 2=3,
24、所以 1=3,所以 AE=ED, 又因为 DE/AC,EF/BC,所以四边形EDCF 是平行四边形 (两 组对边分别平行的四边形是平行四边形) 所以 ED=CF,所以 AE=CF 二、当已知条件出现在四边形是对角上时,考虑 “ 采用两组 对角分别相等的四边形是平行四边形” 例 2 如图 2,AE、CF 分别是ABCD 的内角 DAB、 BCD 的平分线,试说明四边形AECF 是平行四边形 图 2 解:在ABCD 中,因为 DAB =BCD,又因为 1= 2 1 DAB , 2= 2 1 BCD, 所以, 1= 2, 因为 AB/CD,所以 3=1, 4=2, 所以 3=4,所以 5=6, 所以
25、四边形AECF 是平行四边形 三、当已知条件出现在四边形的对角线上时,考虑采用 “ 两 条对角线互相平分的四边形是平行四边形” 例 3 如图 3,在 ABCD 中, AC、BD 相交于 O,EF 过 O 分别交 AD、BC 于 E、F,GH 过 O 分别 AB、CD 交于 G、H试 说明四边形EGFH 是平行四边形 图 3 解:在 ABCD 中,因为AB/CD,所以 1=2, 因为 OA=OC, 3=4,所以 AOG COH,所以 OG=OH, 同理 OE=OF, . ;. 所以四边形EGFH 是平行四边形 构造平行四边形解题 山东邹殿敏 平行四边形是一种特殊的四边形,它的对边平行且相等, 对
26、角相等,对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助 线,构造平行四边形加以解决 一、求线段的长 例如图1,在正 ABC 中, P 为边 AB 上一点, Q 为边 AC 上一点,且AP=CQ今量得 A 点与线段PQ 的中点 M 之间 的距离是19cm,则 P 点到 C 点的距离等于cm 分析:作 QD/AB,交 BC 于点 D,连接 PD,MD由 ABC 为正三角形,易知BP=BD,AP=DQ,所以四边形APDQ 为平 行四边形所以AMD 是平行四边形APDQ 的对角线所以 AD=2AM=2 19=38(cm) 由 ABD CBP 可得 PC=AD所 以 PC=38cm 二、证明线段相等问题 例
27、 2 如图 2,在梯形ABCD 中, AD/BC, AB=CD,延长 CB 到 E,使 EB=AD ,连接 AE求证: AE=AC 分析: 连接 BD 由 AD 与 BE 平行且相等,易知四边形AEBD 是平行四边形,所以BD=AE因为 AC=BD,所以 AE=AC BDC P A M Q 图 1 EBC AD 图 2 . ;. 三、证明线段和差问题 例 3 如图 3, ABC 中,D, F 是 AB 边上两点, 且 AD=BF, 作 DE/BC, FG/BC,分别交 AC 于点 E, G 求证:DE+FG=BC 分析:作GH/AB 交 BC 于点 H则四边形BHGF 是平行 四边形所以GH=
28、BF=AD,FG=BH因为 DE/BC,GH/AB, 所以 1=C, A=2 所以 ADE GHC 所以 DE=HC 因 为 BH+CH =BC,所以 DE+FG=BC 四、证明线段倍分问题 例 4 如图 4,已知 E 为平行四边形ABCD 中 DC 边的延长 线上一点,且CE=DC,连接 AE,分别交BC,BD 于点 F,G, 连接 AC 交 BD 于 O,连接 OF试说明: AB=2OF 分析:连接BE易知四边形ABEC 为平行四边形由“ 平 行四边形的对角线互相平分” 这一性质可得BF=CF,AO=OC, 所以 OF 为 CAB 的中位线,从而得出AB=2OF 五、证明两直线平行问题 例
29、 5 如图 5, ABC 中, E,F 分别是 AB,BC 边的中点, M,N 是 AC 的三等分点, EM,FN 的延长线交于点D求证: AB/CD 分析:连接BD 交 AC 于点 O,连接 BM,BN 由 AE=BE,AM=MN 可得 ED/BN;由 BF=CF,MN=NC 可 得 BM/FD 所以四边形BMDN 是平行四边形所以OB=OD, OM=ON所以 OA=OC由此可得出四边形ABCD 是平行四边 形所以 AB/CD BHC FG 2 D1 E A 图 3 E G O AD BFC 图 4 M E BFC AD N O 图 5 N H G F E 2 BDC 1 M A 3 图 6 . ;. 六、证明两直线垂直问题 例 6 如图 6,分别以 ABC 的边 AB,AC 为一边在三角形 外作正方形ABEF 和 ACGH, M 为 FH 的中点求证:MABC 分析: 设 MA 的延长线交BC 于点 D,延长 AM 至点 N,使 MN=AM,连接 FN ,HN则四边形AHNF 为平行四边形 所以 FN=AH=AC, AFN+FAH=180 因为 BAC+FAH=180 , 所以 AFN=BAC因为 AF=AB,所以 AFN BAC所以 1=2 因为 1+3=90 , 所以 2+3=90 ,所以 ADB =90 从 而得出 MABC
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