双曲线的渐近线和离心率.pdf
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1、. . 第 34 练双曲线的渐近线和离心率 题型一双曲线的渐近线问题 例 1(2013 课标全国 )已知双曲线C: x2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线 方程为 () Ay 1 4x By 1 3x Cy 1 2x Dy x 破题切入点根据双曲线的离心率求出a 和 b 的比例关系,进而求出渐近线 答案C 解析由 e c a 5 2 知, a2k,c5k(kR), 由 b2 c2 a2k2,知 bk.所以 b a 1 2. 即渐近线方程为y 1 2x.故选 C. 题型二双曲线的离心率问题 例 2已知 O 为坐标原点,双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0
2、, b0)的右焦点为 F,以 OF 为直径作圆与 双曲线的渐近线交于异于原点的两点A, B, 若(AO AF ) OF 0, 则双曲线的离心率e 为() A2 B 3 C.2 D.3 破题切入点数形结合,画出合适图形,找出a,b 间的关系 . . 答案C 解析如图,设OF 的中点为T, 由(AO AF ) OF 0 可知 ATOF, 又 A 在以 OF 为直径的圆上,A c 2, c 2 , 又 A 在直线 y b ax 上, ab, e2. 题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题 例 3已知 A(1,2),B(1,2),动点 P 满足 AP BP .若双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b
3、0)的渐近线与 动点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是_ 破题切入点先由直接法确定点P 的轨迹 (为一个圆 ),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不 等关系,进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解 答案(1,2) 解析设 P(x,y),由题设条件, 得动点 P 的轨迹为 (x1)(x1)(y 2)(y2)0, 即 x2 (y 2)21,它是以 (0,2)为圆心, 1 为半径的圆 又双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y b ax,即 bx ay0, 由题意,可得 2a a2b2 1,即 2a c 1, 所以 e c a1,故 11 的条件,常用到数形结合
4、 (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由y b ax? x a y b 0? x2 a2 y2 b20,所以可 以把标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0)中的 “ 1”用 “0”替换即可得出渐近线方程双曲线的离 心率是描述双曲线“张口 ”大小的一个数据,由于 b a c2a2 a e21,当 e 逐渐增大时, b a 的值就逐渐增大,双曲线的“张口 ”就逐渐增大 1已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0, b0)以及双曲线 y2 a2 x2 b2 1 的渐近线将第一象限三等分,则双 曲线 x2 a2 y2 b21 的离心率为 ( ) A2 或 2 3 3 B.6或 2
5、3 3 C2 或3 D.3或6 答案A 解析由题意,可知双曲线 x2 a2 y2 b21 的渐近线的倾斜角为 30 或 60 , 则 b a 3 3 或3. 则 e c a c2 a2 a2b2 a2 1 b a 22 3 3 或 2,故选 A. 2已知双曲线C: x2 a2 y2 b21 (a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2作双曲线 C 的一 . . 条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为 () A.2 B.3 C2 D3 答案A 解析取双曲线的渐近线yb ax,则过 F2与渐近线垂直的直线方程为y a b(xc),可
6、解得 点 H 的坐标为 a2 c , ab c ,则 F2H 的中点 M 的坐标为 a2c2 2c , ab 2c ,代入双曲线方程 x2 a2 y2 b21 可得 a2c2 2 4a2c2 a 2b2 4c2b21,整理得 c22a2,即可得e c a 2,故应选A. 3(2014 绵阳模拟 )已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2y26x5 0 相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为() A. x2 5 y2 4 1 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 3 y 2 6 1 D.x 2 6 y 2 3 1 答案A 解析 双曲线
7、 x2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax, 圆 C 的标准方程为 (x3)2y24, 圆心为 C(3,0) 又渐近线方程与圆C 相切, 即直线 bxay0 与圆 C 相切, 3b a2b2 2,5b24a2. 又 x2 a2 y2 b21 的右焦点 F2( a2b2,0)为圆心 C(3,0), a2b29. 由 得 a25,b24. 双曲线的标准方程为 x2 5 y2 4 1. 4已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1(c,0),F2(c,0),若双曲线上存在 点 P 使 a sinPF1F2 c sinPF2F1,则该双曲线的离心率的取值
8、范围是 () A(1,2 1) B(1,3) C(3, ) D(21, ) 答案A . . 解析根据正弦定理得 |PF2| sinPF1F2 |PF1| sinPF2F1, 由 a sinPF1F2 c sinPF2F1, 可得 a |PF2| c |PF1|,即 |PF1| |PF2| c ae, 所以 |PF1|e|PF2|. 因为 e1, 所以 |PF1|PF2|,点 P 在双曲线的右支上 又|PF1| |PF2|e|PF2| |PF2|PF2|(e 1) 2a, 解得 |PF2| 2a e1. 因为 |PF2|ca(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为 0,无意义 ), 所以
9、 2a e1ca,即 2 e1e1, 即(e1)21,所以 e(1,21) 5(2014 湖北 )已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F1PF2 3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 () A. 43 3 B. 23 3 C3 D 2 答案A 解析设 |PF1|r1,|PF2|r2(r1r2), |F1F2|2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、 双曲线的离心率分别为e1,e2, 由(2c)2 r2 1 r222r1r2cos 3, 得 4c2r 2 1r 2 2r1r2. 由 r1r2 2a1, r1r2 2a2, 得 r1a1a2,
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- 双曲线 渐近线 离心
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