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1、导数专题 目录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用(1) 二、交点与根的分布(23) 三、不等式证明(31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围(51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用(70) 六、导数应用题(84) 七、导数结合三角函数(85) 书中常用结论 (zhongdianzhangwo) sin,(0,)xx x ,变形即为 sin 1 x x ,其几何意义为 sin,(0,)yx x 上的的点 与原点连线斜率小于 1. 1 x
2、 ex ln(1)xx ln ,0 x xxex. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1.(切线) 设函数 axxf 2 )( . (1)当 1a 时,求函数 )()(xxfxg 在区间 1 ,0 上的最小值; (2)当 0a时,曲线 )(xfy 在点 )(,( 111 axxfxP 处的切线为 l,l与 x轴交于点 )0,( 2 xA 求证: axx 21. 解:(1) 1a 时, xxxg 3 )( ,由 013)( 2 xxg ,解得 3 3 x. )(xg 的变化情况如下表: 0 1 - 0 + 0 极小 值 0 所以当 3 3 x时, )(xg 有最小值 9 32 ) 3 3 (
3、g. (2) 证明:曲线 )( xfy 在点 )2,( 2 11 axxP 处的切线斜率11 2)(xxfk 曲线 )( xfy 在点P处的切线方程为)(2)2( 11 2 1 xxxaxy. 令 0y ,得 1 2 1 2 2x ax x , 1 2 1 1 1 2 1 12 22x xa x x ax xx ax1,0 2 1 2 1 x xa ,即12 xx . 又 1 1 22x ax , a x ax x ax x ax x 1 1 1 1 1 2 1 2 22 2 222 所以 axx 21. 2.(2009天津理 20,极值比较讨论) 已知函数 22 ( )(23 )(), x
4、f xxaxaa e xR其中aR 当 0a 时,求曲线 ( )(1, (1)yf xf在点处的切线的斜率; 当 2 3 a时,求函数( )f x的单调区间与极值 . 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单 调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 .3) 1( )2()( )(0 22 efexxxfexxfa xx ,故,时,当 .42)2()( 22x eaaxaxxf 以下分两种情况讨论: a若 3 2 ,则a22a. 当 x变化时,)()( xfxf, 的变化情况如下表: + 0 0 + 极大 值 极小 值 a若 3 2 ,则a22a,当
5、x变化时,)()( xfxf, 的变化情况如下表: + 0 0 + 极大 值 极小 值 3.已知函数 221 ( )2,( )3ln. 2 f xxax g xaxb 设两曲线 ( )( )yf xyg x与有公共点,且在公共点处的切线相同,若0a , 试建立b关于 a的函数关系式,并求 b的最大值; 若 0, 2,( )( )( )(2)bh xfxg xab x在(0,4) 上为单调函数, 求a的取值范围。 4.(最值,按区间端点讨论) 已知函数f(x)=lnx a x . (1) 当a0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2) 若f(x) 在1,e 上的最小值为 3 2 ,求a的值.
6、 解:(1) 由题得f(x)的定义域为 (0, ) ,且f (x) 1 x 2 a x 2 xa x . a0,f (x)0,故f(x)在(0, )上是单调递增函数 . (2) 由(1) 可知:f (x) 2 xa x , 若a1,则xa0,即f (x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e 上为增函数, f(x)minf(1) a 3 2 ,a 3 2 ( 舍去). 若ae,则xa0,即f (x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e 上为减函数, f(x)minf(e)1 a e 3 2 ,a 2 e ( 舍去). 若e0,f(x)在( a,e) 上为增函数, f(x)minf( a)
7、 ln( a) 1 3 2 ?a e. 综上可知:a e. 5.(最值直接应用) 已知函数)1ln( 2 1 )( 2 xaxxxf,其中aR. ()若2x是)(xf的极值点,求a的值; ()求 )(xf的单调区间; ()若)(xf在0,)上的最大值是0,求a的取值范围 . 解: () (1) ( ),( 1,) 1 xaax fxx x . 依题意,令(2)0f,解得 1 3 a. 经检验, 1 3 a时,符合题意 . ()解:当0a时,( ) 1 x fx x . 故 )(xf的单调增区间是(0,);单调减区间是)0, 1(. 当0a时,令 ( )0fx,得 1 0x,或 2 1 1x a
8、 . 当10a时, ( )f x与( )fx的情况如下: 所以,( )f x的单调增区间是 1 (0,1) a ;单调减区间是)0, 1(和 1 (1,) a . 当1a时,)(xf的单调减区间是), 1(. 当1a时, 2 10x,( )f x与( )fx的情况如下: 所以,( )f x的单调增区间是 1 (1,0) a ;单调减区间是 1 ( 1,1) a 和(0,). 当0a时,)(xf的单调增区间是(0,);单调减区间是)0, 1(. 综上,当0a时, )(xf的增区间是(0,),减区间是)0, 1(; 当10a时,( )f x的增区间是 1 (0,1) a ,减区间是)0, 1(和
9、1 (1,) a ; 当1a时, )(xf的减区间是), 1(; 当1a时,( )f x的增区间是 1 (1,0) a ;减区间是 1 ( 1,1) a 和(0,). ()由()知0a时,)(xf在(0,)上单调递增,由0)0(f,知不合 题意. 当10a时,)(xf在(0,)的最大值是 1 (1)f a , 由 1 (1)(0)0ff a ,知不合题意 . 当1a时,)(xf在(0,)单调递减, 可得)(xf在0,)上的最大值是0)0(f,符合题意 . 所以,)(xf在0,)上的最大值是0时,a的取值范围是1,). 6.(2010北京理数 18) 已知函数 ( )f x =ln(1+ x)-
10、x+ 2 2 x x(k0). () 当k=2时,求曲线 y = ( )f x 在点(1, f (1) 处的切线方程; () 求 ( )f x的单调区间 . 解: (I )当2k时, 2 ( )ln(1)f xxxx, 1 ( )12 1 fxx x 由于 (1)ln 2f, 3 (1) 2 f, 所以曲线 ( )yfx 在点(1, (1) f 处的切线方程为 3 ln 2(1) 2 yx 即3 22ln 230xy (II ) (1) ( ) 1 x kxk fx x , ( 1,)x . 当0k时, ( ) 1 x fx x . 所以,在区间 ( 1,0)上,( )0fx;在区间(0,)上
11、,( )0fx. 故 ( )f x 得单调递增区间是 ( 1,0),单调递减区间是(0,). 当0 1k 时,由 (1) ( )0 1 x kxk fx x ,得1 0x, 2 1 0 k x k 所以,在区间 ( 1,0)和 1 (,) k k 上, ( )0fx ;在区间 1 (0,) k k 上, ( )0fx 故 ( )f x得单调递增区间是( 1,0)和 1 (,) k k ,单调递减区间是 1 (0,) k k . 当 1k 时, 2 ( ) 1 x fx x 故 ( )f x得单调递增区间是( 1,). 当 1k 时, (1) ( )0 1 x kxk fx x ,得 1 1 (
12、 1,0) k x k ,2 0x. 所以没在区间 1 ( 1,) k k 和(0, )上,( )0fx ;在区间 1 (,0) k k 上, ( )0fx 故 ( )f x得单调递增区间是 1 ( 1,) k k 和(0, ),单调递减区间是 1 (,0) k k 7.(2010山东文 21,单调性) 已知函数 1 ( )ln1() a f xxaxaR x 当1a时,求曲线 ( )yfx 在点(2, (2)f 处的切线方程; 当 1 2 a时,讨论( )f x的单调性 . 解: ln 20xy 因为 1 1 ln)( x a axxxf, 所以 2 11 )( x a a x xf 2 2
13、 1 x axax , ),0(x , 令 ,1)( 2 axaxxg ),0(x 8.(是一道设计巧妙的好题,同时用到e 底指、对数,需要构造函数,证存 在且唯一时结合零点存在性定理不好想,联系紧密) 已知函数( )ln,( ). x f xx g xe 若函数(x) = f (x) 1 1 x x + - ,求函数(x) 的单调区间; 设直线l为函数f (x) 的图象上一点A(x0,f (x0) 处的切线,证明:在区 间(1,+ ) 上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切 解: () 1 ( ) 1 x xfx x 1 1 ln x x x, 2 2 2 1 1 1 21 xx
14、 x xx x 0x且1x,0x函数( )x的单调递增区间为,和 11 ,0 () 1 ( )fx x , 0 0 1 ()fx x , 切线l的方程为 00 0 1 ln()yxxx x , 即 0 0 1 ln1yxx x , 设直线l与曲线( )yg x相切于点 1 1 (,) x x e, ( ) x gxe, 1 0 1x e x , 10 lnxx, 0 ln 1 0 1 () x g xe x . 直线l也为 0 00 11 lnyxx xx , 即 0 000 ln11x yx xxx , 由得 0 0 00 ln1 ln1 x x xx , 0 0 0 1 ln 1 x x
15、x 下证:在区间( 1,+)上 0 x存在且唯一 . 由()可知,( )x 1 1 ln x x x在区间1,+()上递增 又 12 ( )ln0 11 e ee ee , 22 22 22 13 ()ln0 11 ee ee ee , 结合零点存在性定理,说明方程( )0x必在区间 2 ( ,)e e上有唯一的根,这个 根就是所求的唯一 0 x ,故结论成立 9.(最值应用,转换变量) 设函数 2 21 ( )(2)ln(0) ax fxaxa x (1) 讨论函数 ( )f x在定义域内的单调性; (2) 当 ( 3, 2)a时,任意 12 ,1,3x x, 12 (ln 3)2ln 3
16、|()() |maf xf x恒成立,求 实数 m的取值范围 解: 2 21 ( )2 a fxa xx 2 2 2(2)1axa x x 2 (1)(21)axx x 当2a时, 11 2a ,增区间为 1 1 (,) 2a ,减区间为 1 (0,) a , 1 (,) 2 当2a时, 11 2a ,减区间为 (0,) 当20a时, 11 2a ,增区间为 11 (,) 2a ,减区间为 1 (0,) 2 , 1 (,) a 由知,当 ( 3, 2)a 时, ( )f x 在1,3上单调递减, 12 ,1,3x x ,12 |()() |f xf x (1)(3)ff 1 (1 2 )(2)
17、ln 36 3 aaa, 即12 |()() |f xf x 2 4(2)ln 3 3 aa 12 (ln3)2ln 3 |()() |maf xf x恒成立, ( ln 3)2ln 3ma 2 4(2)ln 3 3 aa,即 2 4 3 maa, 又0a, 2 4 3 m a ( 3, 2)a , 13238 4 339a ,m 13 3 10. (最值应用) 已知二次函数 ( )g x 对xR都满足 2 (1)(1)21g xgxxx且 (1)1g ,设函数 19 ( )()ln 28 f xg xmx(mR,0x ) ()求 ( )g x 的表达式; ()若 xR ,使 ( )0f x
18、成立,求实数 m的取值范围; ()设1me, ( )( )(1)H xf xmx,求证:对于 12 1, xxm,恒有 12 |()() | 1H xH x 解: ()设 2 g xaxbxc,于是 22 11212212g xgxa xcx,所以 1 2 1. a c , 又 11g ,则 1 2 b 所以 211 1 22 g xxx 3分 () 2 191 ( )lnln(0). 282 f xg xmxxmx mxR, 当m0时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R; 4分 当m=0时, 2 ( )0 2 x f x对0x , ( )0f x 恒成立; 5分 当m0时, ( )f x
19、在区间( 0,1)上的单调递减, 在区间( 1,4)上单调递增, 函数 ( )f x 在区间 0,4上的最小值为(1)(2)fae 又 (0)f (23) x bea0, 4 (4)(213)0fae, 函数 ( )f x 在区间 0 ,4 上的值域是 (1),(4)ff ,即 4 (2) ,(213)aeae 又 24 ( )(14) x g xae在区间0 ,4 上是增函数, 且它在区间 0 ,4 上的值域是 2428 (14),(14)aeae. 24 (14)ae 4 (213)ae 24 (21)aae 24 (1)0ae, 存在4 ,0,21使得1|)()(|21ff成立只须 24
20、 (14)ae 4 (213)ae0,g(x)=0的两根都小于 0,在 (0,)上,( )0fx ,故 ( )(0,)f x 在上单调递增 当2aV时 , 0,g(x)=0的两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx, 当1 0xx 时, ( )0fx ;当12 xxx 时, ( )0fx ;当2 xx 时, ( )0fx , 故 ( )f x 分别在12 (0,),(,)xx 上单调递增,在12 (,)x x 上单调递减 由知,若 ( )f x 有两个极值点12 ,x x,则只能是情况,故2a 因为 12 121212 12 ()()()(lnln) xx f xf xxxaxx x
21、 x , 所以 1212 121212 ()()lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx g 又由知,12 1x x,于是 12 12 lnln 2 xx ka xx g 若存在 a,使得2.ka 则 12 12 lnln 1 xx xx 即1212 lnlnxxxx 亦即 222 2 1 2ln0(1)(*)xxx x 再由知,函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0, )上单调递增,而 2 1x,所以 22 2 11 2ln12ln10. 1 xx x 这与(*)式矛盾故不存在 a,使得2.ka 18.(构造函数,好,较难) 已知函数 2 1 ( )ln(1) (0) 2
22、 f xxaxax aRa,. 求函数( )f x的单调增区间; 记函数 ( )F x的图象为曲线C,设点 1122 (,)(,)A xyB xy、是曲线C上两个不同点, 如果曲线C上存在点 00 (,)M xy,使得: 12 0 2 xx x;曲线C在点M处的切线 平行于直线AB,则称函数( )F x存在“中值相依切线” .试问:函数( )f x是否存 在中值相依切线,请说明理由. 解: ()函数( )f x的定义域是(0,). 由已知得, 1 (1)() 1 ( )1 a xx a fxaxa xx . 当0a时, 令( )0fx, 解得01x;函数( )f x在(0,1)上单调递增 当0
23、a时, 当 1 1 a 时,即1a时, 令( )0fx, 解得 1 0x a 或1x; 函数( )f x在 1 (0,) a 和(1,)上单调递增 当 1 1 a 时,即1a时, 显然,函数( )f x在(0,)上单调递增; 当 1 1 a 时,即10a时, 令( )0fx, 解得01x或 1 x a 函数( )f x在(0,1)和 1 (,) a 上单调递增 . 综上所述 : 当0a时, 函数( )f x在(0,1)上单调递增 当1a时, 函数( )f x在 1 (0,) a 和(1,)上单调递增 当1a时, 函数 ( )f x在(0,)上单调递增; 当10a时, 函数 ( )f x在(0,
24、1)和 1 (,) a 上单调递增 . ( )假设函数( )f x存在“中值相依切线” . 设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy是曲线( )yfx上的不同两点,且 12 0xx, 则 2 1111 1 ln(1) 2 yxaxax, 2 2222 1 ln(1) 2 yxaxax. 21 12 21 lnln1 ()(1) 2 xx a xxa xx . 曲线在点 00 (,)M xy处的切线斜率 0 ()kfx 12 () 2 xx f 12 12 2 (1) 2 xx aa xx , 依题意得: 21 12 21 lnln1 ()(1) 2 xx a xxa xx 12 12
25、2 (1) 2 xx aa xx . 化简可得 21 21 lnlnxx xx 12 2 xx , 即 2 1 ln x x = 21 21 2()xx xx 2 1 2 1 2(1) 1 x x x x . 设 2 1 x t x (1t) ,上式化为: 2(1)4 ln2 11 t t tt , 4 ln2 1 t t ,令 4 ( )ln 1 g tt t , 2 14 ( ) (1) g t tt 2 2 (1) (1) t t t . 因为1t, 显然 ( )0g t,所以( )g t在(1,)上递增 ,显然有( )2g t恒成立 . 所以在 (1,)内不存在t, 使得 4 ln2
26、1 t t 成立. 综上所述,假设不成立 . 所以,函数 ( )f x 不存在“中值相依切线” 19.(2011 天津理 19,综合应用 ) 已知0a,函数 2 lnfxxax ,0x( fx 的图象连续 ) 求 fx 的单调区间; 若存在属于区间 1,3 的 , ,且 1 ,使 ff ,证明: ln 3ln 2ln 2 53 a 解: 2 112 2 ax fxax xx , 0x令 0fx ,则 2 2 a x a 当 x变化时,fx , fx 的变化情况如下表: 单调递增极大值单调递减 所以 fx 的单调增区间是 2 0, 2 a a ,单调减区间是 2 , 2 a a 由 ff 及 f
27、x 的单调性知 2 2 a a 从而 fx在区间,上的最 小值为 f 又由 1,,1,3 ,则1 23 所以 21 , 23 , fff fff 即 ln 24, ln 24ln 39 . aa aa 所以 ln 3ln 2ln 2 53 a 20. (恒成立,直接利用最值) 已知函数 2 ( )ln(1),0f xaxxax a, 若 2 1 x是函数)(xf的一个极值点,求a; 讨论函数 )(xf 的单调区间; 若对于任意的 1,2a ,不等式 fxm 在 1 ,1 2 上恒成立,求 m的取值范围 . 解: 22 2(2) ( ) 1 axax fx ax , 因为 2 1 x是函数)(x
28、f的一个极值点,所以0) 2 1 (f,得02 2 aa. 又 0a,所以2a. 因为 )(xf的定义域是 1 (,) a , 2 22 2 2() 2(2) 2 ( ) 11 a ax x axax a fx axax . 当2a时,列表 增减增 )(xf 在 1 (, 0) a , 2 2 (,) 2 a a 是增函数; )(xf 在 2 2 (0,) 2 a a 是减函数 . 当2a时, 2 22 ( )0 21 x fx x ,)(xf在 2 (,) 2 是增函数 . 当20a时,列表 增减增 )(xf 在 2 12 (,) 2 a aa , (0,)是增函数;)(xf 在 2 2 (
29、, 0) 2 a a 是减函数 . 21. (最值与图象特征应用) 设Ra,函数eaax e xf x )(1( 2 )( 2 为自然对数的底数) . 判断 )(xf 的单调性; 若 2, 1 1 )( 2 x e xf在上恒成立,求a的取值范围 . 解: )2( 2 1 )1( 2 1 )( 2 axeaaxexf xx ),12( 2 1 2 aaxaxe x 令 .12)( 2 aaxaxxg 当)(, 0)(, 01)(,0xfxfxga时在R 上为减函数 . 当 , 04)(440)(,0 22 aaaaxga的判别时 )(0)(, 0)(xfxfxg即在R上为减函数 . 当0a时,
30、由, 012 2 aaxax得 , 1 1 1 1 a x a x或 由 ,012 2 aaxax得 , 1 1 1 1 a x a ),(),()( a aa a aa xf在上为增函数; ),()( a aa a aa xf 在上为减函数 . 由知 当 2, 1)(,0在时xfa上为减函数 . 当 22 2 1 2 15 )2(,0 ee a fa时 2 1 )( e xf在1 ,2 上不恒成立,a的取值范围是)., 5 1 ( 22.( 单调性 ) 已知 ( )f x =ln(x+2)x 2+bx+c 若函数 ( )f x 在点(1 ,y) 处的切线与直线 3x+7y+2=0垂直,且f(
31、1)=0,求函 数 ( )f x在区间0,3 上的最小值; 若 ( )f x在区间 0, m 上单调,求b的取值范围 . 解: bx x xf2 2 1 )(,依题意令(1)f= 7 3 , ( 1)f0,解得b=4,c=5. x 0 (0, 2 2 3 ) ( 2 2 3 ,3 )3 y+ 0 y ln2+5 极大8+ln5 因为8+ln55+ln2 x=0时 ( )f x 在0 ,3 上最小值 (0)f =5+ln2. 若 ( )f x在区间 0 ,m 上单调,有两种可能 令 bx x xf2 2 1 )(0得b2x 2 1 x ,在0 ,m上恒成立 而y=2x 2 1 x 在0 , m上
32、单调递增,最大值为 2m 2 1 m , b2m 2 1 m . 令 bx x xf2 2 1 )(0 得b2x 2 1 x , 而 y=2x 2 1 x 在0 ,m单增,最小为 y= 2 1 ,b 2 1 . 故b2m 2 1 m 或b 2 1 时 ( )f x 在0 ,m上单调. 23. (单调性,用到二阶导数的技巧) 已知函数 xxfln)( 若 )( )( )(Ra x axf xF,求)(xF的极大值; 若 kxxfxG 2 )()(在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值 范围. 解: x ax x axf xF ln)( )(定义域为),0(x 令 a exxF 1 0)(
33、得由 a exxF 1 00)(得 由 a exxF 1 0)(得 即 ), 0()( 1 a exF在上单调递增,在),( 1 a e上单调递减 a ex 1 时,F(x)取得极大值 11 ) 1 ( a a a e e aa eF kxxxG 2 )(ln)( 的定义域为 (0,+), k x x xG ln2 )( 由G (x)在定义域内单调递减知: 0 ln2 )(k x x xG在(0,+)内恒成立 令 kx x xHln 2 )(,则 2 )ln1(2 )( x x xH由exxH得0)( 当 ),0(ex 时 )(,0)(xHxH 为增函数 当 ),(ex 时 0)(xH , )
34、(xH 为减函数 当x = e时,H(x)取最大值 k e eH 2 )( 故只需 0 2 k e 恒成立, e k 2 又当 e k 2 时,只有一点x = e使得 0)()(xHxG 不影响其单调性 . 2 e k 二、交点与根的分布 24. (2008四川22,交点个数与根的分布) 已知3x是函数 2 ( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点 求 a; 求函数 ( )f x 的单调区间; 若直线 yb与函数( )yf x 的图像有3个交点,求b的取值范围 解: 2 ( )ln(1)10f xaxxx,( )210 1 a fxx x 3x 是函数 2 ( )ln(1)10f xax
35、xx的一个极值点 (3)40 4 a f , 16a 由 2 ( )16ln(1)10f xxxx, ( 1,)x 2 162862(1)(3) ( )210 111 xxxx fxx xxx 令 ( )0fx ,得 1x , 3x , ( )fx 和 ( )f x 随x的变化情况如下: 1 3 0 0 增 极大 值 减 极小 值 增 ( )f x 的增区间是 ( 1,1),(3,);减区间是 (1,3) 由知, ( )f x 在 ( 1,1)上单调递增,在(3,)上单调递增, 在(1,3)上单调递减 ( )(1)16ln 29f xf 极大, ( )(3)32ln 221f xf 极小 又
36、1x 时, ( )f x ;x时, ( )f x ; 可据此画出函数 ( )yf x的草图(图略),由图可知, 当直线 yb与函数( )yf x的图像有 3个交点时,b的取值范围为 (32ln 221,16ln29) 25. 已知函数 32 fxxaxbxc在,0上是减函数,在0,1上是增函数, 函数 fx 在R上有三个零点 (1)求b的值; (2)若1是其中一个零点,求 2f 的取值范围; (3)若 2 13lnag xfxxx, ,试问过点( 2,5)可作多少条直线与 曲线y=g(x) 相切?请说明理由 . ( )g x =2x+lnx,设过点( 2,5)与曲线 g (x)的切线的切点坐标
37、为00 (,)xy / 000 5()(2)ygxx ,即 000 0 1 2ln5(2)(2)xxx x 0 0 2 ln20x x ,令h(x)= 2 ln2x x , / h (x)= 2 12 xx =0, 2x h(x)在(0,2)上单调递减,在( 2,)上单调递增 Q又 1 ( )2ln 20 2 h,h(2)=ln2-10,h(x)单调,当(0,)x时,( )0, ( )h xh x单减。 当x=0时,( )h x取最大值,其最大值为 2。 (III ) ()(2 )ln()ln 2lnln(1). 22 abba f abfaaba aa 证明,当 ( 1,0)x 时,ln(1
38、 ),ln(1). 22 baba xx aa 53. 已知函数xxxfln、 ()求函数fx的单调区间; ()若k为正常数,设g xfxfkx,求函数g x的最小值; ()若 0a,0b,证明:2f aab lnfabfb、 解: () 1fxlnx,解0fx,得 1 x e ;解 0fx,得 1 0x e . fx的单调递增区间是 1 , e ,单调递减区间是 1 0, e . 3 ()g xfxfkxxlnxkx ln kx,定义域是0,k. 11 x gxlnxln kxln kx 5 由0gx,得 2 k xk,由0gx,得0 2 k x 函数g x在0, 2 k 上单调递减;在,
39、2 k k上单调递增 7 故函数 g x的最小值是: 22 kk gk ln. 8 ()0a,0b, 在()中取 2a x ab ,2k 可得 22 22 1 aa ffln abab ,即 22 0 ab ff abab . 10 2222 0 aabb lnln abababab ,20alnablnbab lnab ln ab. 即2faab lnf abfb . 12 54. (替换构造不等式) 已知函数 1 )( 2 x bax xf在点)1(, 1(f的切线方程为03yx. 求函数 ( )f x的解析式; 设 xxgln)(,求证:)(xg)(xf在), 1x上恒成立;(反比例,变
40、形构造) 已知 ba0 ,求证: 22 2lnln ba a ab ab . (替换构造) 解:将 1x 代入切线方程得 2y. 2 11 )1( ab f,化简得4ab. 22 2 )1( 2)()1( )( x xbaxxa xf,1 24 2 4 )(22 )1( bbaba f 解得 2,2 ba. 1 22 )( 2 x x xf . 由已知得 1 22 ln 2 x x x在), 1上恒成立 化简 22ln) 1( 2 xxx,即022lnln 2 xxxx在 ), 1 上恒成立 设 22lnln)( 2 xxxxxh,2 1 ln2)( x xxxxh. 1x 2 1 ,0ln2
41、 x xxx,即0)(xh )(xh在),1 上单调递增,0) 1()(hxh )()(xfxg在), 1x上恒成立 . ba0, 1 b a ,由知有 2 22 ln ( )1 b b a b a a , 整理得 22 2lnln ba a ab ab 当 ba0 时, 22 2lnln ba a ab ab . 55. (替换证明) 已知函数 ln ( )1 x f x x (1)试判断函数( )f x的单调性; (2)设0m,求( )f x在,2mm上的最大值; (3)试证明:对任意 * nN,不等式 11 ln() e nn nn 都成立(其中e是自然对数的 底数) 解: (1)函数(
42、 )f x的定义域是(0,)由已知 2 1 ln ( ) x fx x 令( )0fx,得xe 因为当0xe时,( )0fx;当xe时,( )0fx 所以函数( )f x在(0, e上单调递增,在 ,)e上单调递减 ( 2)由( 1)可知当2me,即 2 e m时, ( )f x在,2mm上单调递增,所以 max ln 2 ( )(2 )1 2 m f xfm m 当me时,( )f x在,2mm上单调递减,所以 max ln ( )1 m f x m 当2mem,即 2 e me 时, max 1 ( )( )1f xf e e 综上所述, max ln 2 1, 0 22 1 ( )1,
43、2 ln 1, me m m e f xme e m me m ( 3 ) 由 ( 1 ) 知 当(0,)x时 max 1 ( )( )1f xf e e 所 以 在(0,)x时 恒 有 ln1 ( )11 x f x xe ,即 ln1x xe ,当且仅当 xe时等号成立因此对任意(0,)x恒 有 1 ln x e 因为 1 0 n n , 1n e n ,所以 11 1 ln nn nen ,即 11 ln() enn nn 因此对任 意 * nN,不等式 11 ln() enn nn 56. (2010湖北,利用结论构造) 已知函数 0 b f xaxc a x ( )()的图象在点(1
44、, (1)f处的切线方程为1yx. ( )ln1)f xxa若在 ,上恒成立,求的取值范围;(反比例,作差构造) 111 1ln(1)(1) 232(1) n nn nn 证明: . (替换构造) 解:本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运 用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 2 ( ) b fxa x ,则有 (1)0 (1)1 fabc fab ,解得 1 2 ba cla . 由知, 1 ( )12 a fxaxa x , 令 1 ( )( )ln12ln a g xf xxaxax x , 1,x 则 (1)0g , 2 222 1 (1)() 11
45、(1) ( ) a a xx aaxxa a g xa xxxx 当 1 2 oa, 1 1 a a 若 1 1 a x a ,则 ( )0gx,( )g x是减函数,所以( )( )g xg lo ( )lnf xx,故( )lnf xx在1, 上恒不成立。 1 2 a时, 1 1 a a 若 ( )lnf xx,故当1x 时, ( )lnf xx。 综上所述,所求 a的取值范围为 1 , 2 由知:当 1 2 a时,有 ( )ln(1)f xx x . 令 1 2 a,有 11 ( )()ln(1) 2 f xxx x x 当 1x 时, 11 ()ln . 2 xx x 令 1k x k
46、 ,有 111111 ln(1)(1) 2121 kkk kkkkk 即 1 11 ln(1)ln() 21 kk kk , 1,2,3kn 将上述 n个不等式依次相加得 11111 ln(1)(.) 2232(1) n nn , 整理得 111 1ln(1) 232(1) n n nn . 57.已 知( )22 (0) b f xaxa a x 的 图 像 在 点(1, (1)f处 的 切 线 与 直 线 21yx平行. (1)求a,b满足的关系式; (2)若( )2ln)f xx在1,+上恒成立,求a的取值范围; (3)证明: 1111 1(21)() 3521221 n nn nn L
47、 12 )12ln( 2 1 n n n(nN * ) 解: () 2 )( x b axf,根据题意2)1(baf,即2ab. ()由()知,a x a axxf22 2 )(, 令xxfxgln2)()(xa x a axln222 2 ,1,x 则 0)1 (g, xx a axg 22 )( 2 = 2 ) 2 )(1( x a a xxa 当10a时,1 2 a a , 若 2 1 a x a ,则 ( )0g x,( )g x在1,)减函数,所以( )(1)0g xg,即 ( )2lnf xx在1,)上恒不成立 1a时, 2 1 a a ,当1x时, ( ) 0gx,( )g x在1,)增函数,又(1)0g, 所以( )2lnf xx 综上所述,所求a的取值范围是1,). ()由()知当1a时, xxfln2)(在1,上恒成立取1a得 x x xln2 1 令1 12 12 n n x,*Nn得 12 12 ln2 12 12 12 12 n n n n n n , 即 12 12 ln2) 12 2 1( 12 2 1 n n nn , 所以 ) 12 1 12 1 ( 2 1 12 12 ln 2
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