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1、圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关 于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准,分成若干种情况,逐一 加以讨论。这样可以避免漏解,培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考 题举例说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题,在没有指明其位置时,应考虑点在圆内、圆上、圆外 三种可能情形。 例 1.过不在 O 上的一点A,作 O 的割线,交O 于 B、C,且 ABAC64,OA 10,则 O 的半径 R 为_。 解:依题意,点A 与 O 的位置关系有两种: (1)点 A 在 O 内,如图 1,延长
2、 AO 交 O 于 F,则 由相交弦定理得: 所以(负值已舍去) (2)点 A 在 O 外,如图2, 此时 由割线定理得: 所以(负值已舍去) 故 O 的半径 R 为或 6。 二、点与弦的相对位置 例 2.O 是 ABC 的外接圆,ODBC 于 D, 且 BOD 48, 则 BAC _。 解:( 1)点 A 和圆心 O 在弦 BC 同侧,如图3,可求得 BAC BOD48 (2)点 A 和圆心 O 在弦 BC 异侧,如图4,可求得 BAC 132 三、弦所对的圆周角 例 3.半径为 1 的圆中有一条弦,如果它的长为,那么这条弦所对的圆周角的度数 等于 _。 解:弦所对的圆周角有两种情况: (1
3、)当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时,其圆周角为60; (2)当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时,其圆周角为120。 故应填 60或 120。 四、平行弦与圆心的位置 例 4.在半径为5cm 的 O 中,弦 AB 6cm,弦 CD8cm,且 ABCD,求 AB 与 CD 之间的距离。 分析:两平行弦与圆心的位置关系一般有两种:两弦在圆心的同侧;两弦在圆心的异 侧。 解:过 O 作 AB 、CD 的垂线,分别交AB、 CD 于点 E、F,连接 OA、OC. 在 RtOAE 中, 在 RtOCF 中, (1)当 AB、 CD 在圆心 O 的同侧时,如图5,AB 和 CD 之间的距离为 (2)当 AB、
4、 CD 在圆心 O 的异侧时,如图6,AB 和 CD 之间的距离为 所以 AB 和 CD 之间的距离为1cm 或 7cm。 五、圆心与角的位置 例 5.在半径为1 的 O 中,弦AB、AC 的长分别为和,则 BAC 的度数是 _。 解:如图7,当圆心在BAC 内部时,连接AO 并延长交 O 于 E 在 RtABE 中,由勾股定理得: 所以 BAE30 同理,在 RtCAE 中, ECAC ,所以 EAC 45, 当圆心 O 在 BAC 的外部时( BAC ),由轴对称性可知: 所以 BAC 为 75或 15 六、点在弧上的位置 例 6.如图 8,在平面直角坐标系中,P 是经过 O( 0,0),
5、 A(0,2), B( 2,0)的 圆上的一个动点(P 与 O、B 不重合),则 OAB _度, OPB_度。 解:依题意可知AOB 是等腰直角三角形,所 以 OAB 45 当动点 P在上时, OPB OAB 45 当动点 P 在上时, OPB180 45 135 故 OPB 为 45或 135。 七、相交两圆的圆心与公共弦的位置 例 7.已知半径为4 和的两圆相交,公共弦长为4,则两圆的圆心距为_。 分析:相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。 解:如图9、图 10, 在中, 在中, (1)当圆心在公共弦AB 的同侧时,如图9 图 8 (2)当圆心在公共弦AB 的异侧时,如图10 八、直线与圆的位置 例 8.两圆的半径分别为4 和 2,如果它们的 两条公切线互相垂直,求两圆的圆心距。 分析: 两圆的公切线有内公切线和外公切线 两种,公切线互相垂直,有三种情况。 解:( 1)当内公切线与外公切线垂直时, 如图 11,AB 切于 A,切于 B,EF 切于 E,切于 F,AB EF 于 D。 由切线定理,得: 所以
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