最新-八年级数学上册14章勾股定理专题复习与训练华师大版精品.pdf
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1、勾股定理专题 我国古代把直角三角形较短的直角边称为_ ,较长的直角边称为_, 斜边称为 _。 一知识归纳 勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 222 abc 2. 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角 形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 3. 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面
2、积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4 EFGHSSS正方形正方形 ABCD, 221 4() 2 abbac,化简可证 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 222 ()2Sabaabb所以 222 abc . 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC中,90C,则 22 cab, 22 bca,
3、22 acb 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 . 勾股定理的逆定理(直角三角形的判定) 如果三角形三边长 a,b,c满足 222 abc,那么这个三角形是直角三角形,其中 c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法, 它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状, 在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22 ab与较长边的平方 2 c作比较, 若它们相等时, 以a, b,c为三边的三角形是直角三角形;若 222 abc,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若 222 abc,时,以a,b,c为三边的三角形是锐
4、角三角形; 定理中a,b,c及 222 abc只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足 222 acb,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成: 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直 角三角形 . 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数 称为勾股数,即 222 abc中,a,b,c为正整数时, 称a,b,c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数: 22 1,2 ,1nn n(2,nn为
5、正整数); 22 21,22 ,221nnnnn(n为正整数) 222 , 2,mnm nmn(,mn m,n为正整数) 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股 定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行 计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 . 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过 程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不
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