河南省开封市数学一模试卷(理科)及答案.pdf
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1、河南省开封市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 U=R ,已知集合 A=x| x1 ,B= x| xa,且(?UA)B=R ,则实 数 a 的取值范围是() A (, 1) B (, 1C (1,+)D 1,+) 2 (5 分)若复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=12i,则复 数在复平面内对应的点在() A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3 (5 分)已知向量=(m1,1) , =(m,2) ,则“m=2 ”是“ ” 的() A充分不必要条件
2、 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 (5 分)若,则 sin2 的值为() ABCD 5 (5 分)已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 9S3=S6,a2=1,则 a1=() ABC D2 6 (5 分)已知曲线=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线 的距离为,则该双曲线的方程为() ABx2y2=1 C Dx2y2=2 7 (5 分)我国古代名著庄子 ?天下篇中有一句名言 “ 一尺之棰,日取其半, 万世不竭 ” ,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完现将该木 棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长 度(
3、单位:尺),则处可分别填入的是() AB CD 8 (5 分)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2,这两个球相 外切,且球 O1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三 个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是() ABC D 9 (5 分)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223 的长方体框 架,一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处,则其最近的行走路线中不连 续向上攀登的概率为() ABC D 10 (5 分)函数 y=的图象大致是() AB C D 11 (5 分)抛物线 M:y2=4x的准线与 x 轴交于点 A,点 F为焦点,
4、若抛物线M 上一点 P满足 PAPF , 则以 F为圆心且过点 P的圆被 y 轴所截得的弦长约为 (参 考数据:2.24) () ABCD 12 (5 分)已知函数,若函数 F (x)=f(x) 3 的所有零点依次记为x1,x2, x3,xn,且x1x2 x3 xn,则 x1+2x2+2x3+ +2xn1+xn=() AB445C455D 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13 (5 分) (xy) 10 的展开式中, x 7y3 的系数与 x3y7的系数之和等于 14 (5 分)设 x,y 满足约束条件,且 x,yZ,则 z=3x+5y 的最大 值为 15 (5 分
5、)设 f(x)=,且 f(f(a) )=2,则满足条件的 a 的值有个 16 (5 分)一个棱长为5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小 正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值 为 三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(12分) 在ABC中, 角 A, B, C所对应的边分别为 a, b, c, 且 2cosB (acosC +ccosA ) +b=0 ()求角 B的大小; ()若 a=3,点 D 在 AC边上且 BDAC,BD=,求 c 18 (12 分)如图 1,在矩形 ABCD中,AD=2AB=4 ,E是 AD的中点
6、将 ABE沿 BE折起使 A 到点 P的位置,平面 PEB 平面 BCDE ,如图 2 ()求证:平面 PBC 平面 PEC ; ()求二面角 BPE D 的余弦值 19 (12 分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017 年双 11 期 间,某购物平台的销售业绩高达1271 亿人民币与此同时,相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200 次成功交易,并 对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商 品和服务都做出好评的交易为80 次 ()完成下面的22 列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服 务好评有关
7、? 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评 对商品不满意 合计200 ()若将频率视为概率, 某人在该购物平台上进行的3 次购物中, 设对商品和 服务全好评的次数为随机变量X: (1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列; (2)求 X的数学期望和方差 附: P(K 2k) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (,其中 n=a+b+c+d) 20 (12 分) 给定椭圆 C :+=1 (ab0) , 称圆心在原点 O, 半径为 的圆是椭圆 C的“ 准圆” 已知椭圆 C的离心率,其“ 准圆”
8、 的方程为 x2+y2=4 (I)求椭圆 C的方程; (II)点 P是椭圆 C的“ 准圆” 上的动点,过点 P作椭圆的切线 l1,l2交“ 准圆” 于点 M,N (1)当点 P为“ 准圆” 与 y 轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明 l1 l2; (2)求证:线段 MN 的长为定值 21 (12 分)已知函数 f(x)=(t1)xe x,g(x)=tx+1ex ()当 t1 时,讨论 f(x)的单调性; ()f(x)g(x)在 0,+)上恒成立,求t 的取值范围 选修 4-4:极坐标与参数方程 22 (10 分)已知直线l:3xy6=0,在以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴 为
9、极轴的极坐标系中,曲线C: 4sin =0 ()将直线 l 写成参数方程(t 为参数, 0, ) , )的形式, 并求曲线 C的直角坐标方程; ()过曲线 C上任意一点 P作倾斜角为 30 的直线,交 l 于点 A,求| AP| 的最 值 选修 4-5:不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 | x+1|+| 2x1| 3 的解集为 x| mxn (I)求实数 m、n 的值; (II)设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=nm,求+ 的最小值 2018 年河南省开封市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个
10、 选项中,只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 U=R ,已知集合 A=x| x1 ,B= x| xa,且(?UA)B=R ,则实 数 a 的取值范围是() A (, 1) B (, 1C (1,+)D 1,+) 【解答】 解: U=R ,集合 A= x| x1= 1,+) , B=x| xa =(a,+) , ?UA=(, 1) , 又(?UA)B=R , 实数 a的取值范围是(, 1) 故选: A 2 (5 分)若复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=12i,则复 数在复平面内对应的点在() A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解: z1=12i,
11、且复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称, z2=12i, 则=, 复数在复平面内对应的点的坐标为() ,在第四象限 故选: D 3 (5 分)已知向量=(m1,1) , =(m,2) ,则“m=2 ”是“ ” 的() A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】 解:=(m1,1) , =(m,2) , ? m(m1)2=0 由 m(m1)2=0,解得 m=1 或 m=2 “m=2 ”是“ ” 的充分不必要条件 故选: A 4 (5 分)若,则 sin2 的值为() ABCD 【解答】解:若,即 2(cos 2 sin2 )= cos sin ,
12、则 2 (cos +sin ) =, 即 cos +sin =, 1+2sin cos=, 即 sin2 =2sin cos= , 故选: C 5 (5 分)已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 9S3=S6,a2=1,则 a1=() ABC D2 【解答】 解:设等比数列 an 的公比为 q1,9S3=S6,a2=1, =,a1q=1 则 q=2,a1= 故选: A 6 (5 分)已知曲线=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线 的距离为,则该双曲线的方程为() ABx2y2=1 C Dx2y2=2 【解答】解:根据题意,若曲线=1 (a0, b0) 为等轴双曲线, 则 a2
13、=b2, c=a,即焦点的坐标为(a,0) ; 其渐近线方程为 xy=0, 若焦点到渐近线的距离为,则有=a=, 则双曲线的标准方程为=1,即 x2y2=2; 故选: D 7 (5 分)我国古代名著庄子 ?天下篇中有一句名言 “ 一尺之棰,日取其半, 万世不竭 ” ,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完现将该木 棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长 度(单位:尺),则处可分别填入的是() AB CD 【解答】 解:由题意可得:由图可知第一次剩下,第二次剩下, 由此得出 第 7 次剩下, 可得为 i7? s= i=i+1 故选: D 8 (5 分)
14、如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2,这两个球相 外切,且球 O1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三 个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是() ABC D 【解答】 解:由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影与正方形 相切,排除C、D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部 分,由于两球不等,所以排除A;B正确; 故选 B 9 (5 分)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223 的长方体框 架,一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处,则其最近的行走路线中不连 续向上攀登的概率为() ABC D
15、 【解答】 解:根据题意,最近路线,那就是不能走回头路,不能走重复的路, 一共要走 3 次向上, 2 次向右, 2 次向前,一共 7 次, 最近的行走路线共有:n=A=5040, 不能连续向上, 先把不向上的次数排列起来, 也就是 2 次向右和 2 次向前全 排列, 接下来,就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中, 5 个位置排三个元素, 也就是 A53, 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=1440种, 其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p= 故选: C 10 (5 分)函数 y=的图象大致是() AB C D 【解答】 解:当 x0 时,y=xlnx,y=1+lnx,
16、即 0x时,函数 y 单调递减,当 x,函数 y 单调递增, 因为函数 y 为偶函数, 故选: D 11 (5 分)抛物线 M:y2=4x的准线与 x 轴交于点 A,点 F为焦点,若抛物线M 上一点 P满足 PAPF , 则以 F为圆心且过点 P的圆被 y 轴所截得的弦长约为 (参 考数据:2.24) () ABCD 【解答】 解:由题意, A(1,0) ,F(1,0) , 点 P在以 AF为直径的圆 x2+y2=1 上 设点 P的横坐标为 m,联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0, m0,m=2+, 点 P的横坐标为 2+, | PF | =m+1=1+, 圆 F的方程为( x1) 2+y
17、2=( 1) 2, 令 x=0,可得 y=, | EF | =2=2=, 故选: D 12 (5 分)已知函数,若函数 F (x)=f(x) 3 的所有零点依次记为x1,x2, x3,xn,且x1x2 x3 xn,则 x1+2x2+2x3+ +2xn1+xn=() AB445C455D 【解答】 解:函数, 令 2x=+k得 x=+,kZ,即 f(x)的对称轴方程为 x=+, kZ f(x)的最小正周期为T= ,0x, 当 k=30时,可得 x=, f(x)在 0, 上有 30 条对称轴, 根据正弦函数的性质可知:函数与 y=3的交点 x1,x2关于 对称, x2,x3关于对称, , 即 x1
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