千题百炼高考数学100个热点问题一第21炼多元不等式的证明版含解析.pdf
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1、- 1 - / 20 第 21 炼 多元不等式的证明 多元不等式的证明是导数综合题的一个难点,其困难之处如何构造合适的一元函数,本 章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作: (1)利用条件粗略确定变量的取值范围 (2)处理好相关函数的分析(单调性,奇偶性等),以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式(轮换对称式:一个n元代数式,如果交换任意两个字母 的位置后,代数式不变,则称这个代数式为轮换对称式),则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 (1)消元:利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 (2)变
2、量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自 变量大小来证明不等式 (3)利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系,再寻找方法。 二、典型例题: 例 1:已知 2 ln , ( )fxx g xfxaxbx,其中g x图像在1,g 1处的切线平行于 x轴 (1)确定a与b的关系 ( 2) 设 斜 率 为k的 直 线 与fx的 图 像 交 于 112212 ,A xyB xyxx, 求 证 : 21 11 k xx 解: ( 1) 2 lng xxaxbx 1 2gxaxb x ,依题意可得: 112021gabba (2) 思路: 2121 212
3、1 lnlnyyxx k xxxx ,所证不等式为 21 2211 1lnln1xx xxxx 即 21221 211 ln xxxxx xxx ,进而可将 2 1 x x 视为一个整体进行换元,从而转变为证明一元不等 式 - 2 - / 20 解:依题意得 2121 2121 lnlnyyxx k xxxx ,故所证不等式等价于: 2121221122 2211211211 1lnln1 ln1ln1 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx 令 2 1 ,(1) x tt x ,则只需证: 1 1ln1tt t 先证右边不等式:ln1ln10tttt 令ln1h xtt 11 1 t h
4、 t tt h t在1,单调递减10h th 即ln10tt 对于左边不等式: 11 1lnln10tt tt 令 1 ( )ln1p tt t ,则 22 111t p t ttt p t在1+,单调递增10p tp 小炼有话说: (1)在证明不等式 21 2211 1lnln1xx xxxx 时,由于 12 ,x x独立取值,无法利用等量关系消去 一个变量, 所以考虑构造表达式 12 ,fx x:使得不等式以 12 ,fx x为研究对象, 再利用换元 将多元不等式转变为一元不等式 (2)所证不等式为轮换对称式时,若 12 ,x x独立取值,可对 12 ,x x定序,从而增加一个可操作 的条
5、件 例 2:已知函数lnfxxx (1)求)(xf的单调区间和极值; (2)设 1122 ,A xfxB xfx,且 12 xx,证明: 2112 21 2 fxfxxx f xx 解: (1)定义域为0, - 3 - / 20 ln1fxx 令 0fx解得: 1 x e fx的单调增区间是 1 , e ,单调减区间是 1 0, e fx的极小值为 1111 lnf eeee ,无极大值 (2)思路: 所证不等式等价于证 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx ,轮换对称式可设 12 xx, 进而对不等式进行变形,在考虑能否换元减少变量 证明:不妨设 12 xx 12 (
6、) 2 AB xx kf 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx 1212 22112121 lnlnlnln 22 xxxx xxxxxxxx(由于定序 12 xx,去分母避免了分 类讨论) 21 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx (观察两边同时除以 1 x,即可构造出关于 2 1 x x 的不等式) 两边同除以 1 x得, 2 212 22 11 1 11 2 2 lnln1 11 x xxx xx xx xx 令 2 1 x x t,则1t, 即证: 22 lnln1 11 t tt tt 令 22 ( )lnln1 11 t g ttt
7、 tt 22 21212 ( )ln1 12(1)2(1) ttt g tt tttt 2111 lnln(1) 1111 tttt tttt 令 1 0 1 t m m t , ln 1h mmm (再次利用整体换元) 1 10 11 m h m mm ,h m在0,上单调递减,所以00h mh 即ln 1mm,即( )g t 11 ln(1)0 11 tt tt 恒成立 ( )g t在(1,)上是减函数,所以( )(1)0g tg - 4 - / 20 22 lnln1 11 t tt tt 得证 所以 12 () 2 AB xx kf成立 小炼有话说: (1)本题考验不等式的变形,对于不
8、等式 21 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx 而言,观察到 每一项具备齐次的特征(不包括对数),所以同除以 1 x,结果为 2 1 x x 或者 1,观察对数的真数, 其分式也具备分子分母齐次的特点,所以分子分母同除以 1 x,结果为 2 1 x x 或者 1,进而就将不 等式化为以 2 1 x x 为核心的不等式 (2)本题进行了两次整体换元,第一次减少变量个数,第二次简化了表达式 例 3:已知函数 2 1 ( ) 2 x f xexax(a R) (1)若函数fx在R上是增函数,求实数a的取值范围; (2)如果函数 2 1 2 g xfxax 恰有两个不同的极值
9、点 12 ,x x, 证明: 12 ln 2 2 xx a 解: (1)fxQ是R上是增函数 ,0 x xR fxexa (注意:单调递增导数值0) min x aex 设 x h xex 1 x hxe 令 0hx解得0x故h x在,0单调递减,在0 +,单调递增 min 01h xh 1a (2)思路: 22 1 2 x g xfxaxeaxax, 2 x gxeaxa。所证不等 - 5 - / 20 式含有 3 个字母,考虑利用条件减少变量个数。由 12 ,xx为极值点可得 1 2 1 2 20 20 x x eaxa eaxa 从而可用 12 ,x x表示a,简化所证不等式。 解:依题
10、意可得: 221 2 x g xfxaxeaxax, 2 x gxeaxa 12 ,xxQ是极值点 1 2 11 22 020 020 x x gxeaxa gxeaxa 两式相减可得: 12 12 2 xx ee a xx 所证不等式等价于: 12 1212 122 1212 ln 2 xxxxxx xxeeee e xxxx ,不妨设 12 xx 两边同除以 2 x e可得: 12 12 2 12 1 xxxx e e xx ,(此为关键步骤:观察指数幂的特点以及分式的分母,化不同 为相同,同除以 2 x e使得多项呈 12 xx的形式) 从而考虑换元减少变量个数。令 12 txx0,t
11、所证不等式只需证明: 22 1 +10 ttt te etee t ,设 2 1 t t p xtee 22 1 2 tt t pxee 由( 2)证明可得: 2 10 2 t t e 0px p t在0 +,单调递减,00p tp证明完毕 原不等式成立即 12 ln 2 2 xx a 小炼有话说:本题第(3)问在处理时首先用好极值点的条件,利用导数值等于0 的等式消去 a,进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对 12 12 12 ln 2 xx xxee xx 的处理,此时 对数部分无法再做变形,两边取指数,而后同除以 2 x e,使得不等式的左右都是以 12 xx为整 体的表达式,
12、再利用整体换元转化为一元不等式。 - 6 - / 20 例 4:已知 2 1 ln1fxaxax (1)讨论fx的单调性 (2)设 2a ,求证: 121212 ,0,4x xfxfxxx 解: ( 1)定义域0x 2 121 2 aaxa fxax xx 令 0fx,即 22 21021axaaxa 0a 则 0fx恒成立,fx为增函数 0a 则 2 1 2 a x a , 0fx恒成立,fx为增函数 0a 时, 2 1 2 a x a 当1a,则 0fx恒成立,fx为减函数 当 10a 时,解得: 1 0 2 a x a x 1 0, 2 a a 1 , 2 a a fx fx (2)思路
13、:所证不等式 1212 4fxfxxx含绝对值,所以考虑能否去掉绝对值,由 (1)问可知fx单调递减,故只需知道 12 ,x x的大小即可,观察所证不等式为轮换对称式, 且 12 ,x x任 取 , 进 而 可 定 序 21 xx, 所 证 不 等 式 2121 44fxfxxx, 即 2211 44fxxfxx,发现不等式两侧为关于 12 ,x x的同构式,故可以将同构式构造一 个函数,从而证明新函数的单调性即可。 解:不妨设 21 xx,2aQ,所以由第(1)问可得fx单调递减, 21 fxfx - 7 - / 20 所 证 不 等 式 等 价 于 : 12211122 4444fxfxx
14、xfxxfxx, 令 2 41 ln14g xfxxaxaxx,只需证明g x单调递减即可 2 1241 24 aaxxa gxax xx 。 设 2 241h xaxxa 方程 0h x1616116210a aaa 00h xgx g x在0,单调递减。 12 g xg x即所证不等式成立 小炼有话说:同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式,从而可将这个表达式视为 一个函数,表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为 函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到,且遇且珍惜。 例 5:已知函数 2 2lnfxxxax. (1)当3a时,讨论函数yf
15、x在 1 , 2 上的单调性; ( 2)如果 1212 ,x xxx是函数fx的两个零点, fx为函数fx的导数,证明: 12 2 0 3 xx f 解: ( 1) 2 2fxxa x 可判断 fx在 1 , 2 单调递减 1 4130 2 fxfaa fx在 1 , 2 单调递减 (2)思路: 2 2fxxa x 可得: 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx ,含有三 个字母,考虑利用条件减少字母的个数。由 12 0fxfx可得: - 8 - / 20 2 111 2 222 2ln0 2ln0 xxax xxax 两式相减便可用 12 ,x x表示a, 即 2 1 2
16、1 21 2ln x x axx xx , 代入可得: 2 2 211221 2121 1221121 2ln 62611 2ln 32323 x xxxxxx fxxxx xxxxxxx 从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明 解: 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx 1212 ,x xxxQ是函数fx的两个零点 2 1111 2 2222 2ln0 2ln0 fxxxax fxxxax 2 1 21 21 2ln x x axx xx 2 121 1221 121221 2ln 26261 2 32323 x xxx fxxaxx xxxxxx 2 21
17、 1 0 3 xxQ 只需证 2 212 1 1221121 2ln 66 02ln0 22 x xxxx xxxxxxx 2 12 2 1 1 31 ln0 12 x x x x x x ,令 2 1 ,1, x tt x 则设 31 ln 12 t h tt t 下面证0h t 10,h 2 141 21 tt h t tt 1,0th tQ恒成立 h t在1,单调递减,10h th即 12 2 0 3 xx f 小炼有话说: (1) 体会在用 12 ,x x表示a时为什么要用两个方程,而不是只用 2 111 2ln0xxax来表示a? - 9 - / 20 如果只用 1 x或 2 x进行
18、表示,则 1 ln x很难处理,用 12 ,x x两个变量表示a,在代入的时候有项 2 1 ln x x ,即可以考虑利用换元法代替 2 1 x x , 这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特 点 (2)在 2 121 21 1221 2ln 261 323 x xxx fxx xxxx 这一步中,对 21 1 3 xx项的处理 可圈可点,第三问的目的落在判断 12 2 3 xx f 的符号,而 21 1 3 xx符号为负,且在解 析式中地位多余(难以化成 2 1 x x ) ,所以单拿出来判断符号,从而使讨论的式子得到简化且能 表示为 2 1 x x 的表达式 例 6: (2010
19、年天津, 21)已知函数 x fxxe (1)求函数fx的单调区间和极值 (2)已知函数yg x的图像与函数yfx的图像关于1x对称,证明当1x时, fxg x (3)如果 12 xx,且 12 fxfx,求证: 12 2xx 解: ( 1) 1 xxx fxxeex e 令 01fxxfx的单调区间为: x ,11, fx fx fx的极大值为 1 1f e ,无极小值 (2)解:与fx关于1x轴对称的函数为2fx - 10 - / 20 2 22 x g xfxx e所证不等式等价于证: 2 20 xx xexe设 2 2 xx h xxexe10h 222 21 xxxxxx hxxee
20、exexee 22 11 xx exe 1xQ 22 10 x e 0hx h x在1,单调递增10h xh即fxg x (3) 思路:所给条件 12 1212 xx fxfxx ex e,但很难与 12 2xx找到联系。首 先考虑 12 ,x x的范围,由(1)可得1x是极值点, 1212 ,fxfxx x应在1x的 两侧,观察已知和求证均为 12 ,x x的轮换对称式,所以可设 12 xx,进而 12 1xx,既然无 法直接从条件找联系,不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值,所证不等式是关于 自变量的, 1212 22xxxx,而 2 21x,根据fx的单调区间可发现 21 2,xx
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- 千题百炼 高考 数学 100 热点问题 21 多元 不等式 证明 解析
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