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1、1,第九章,线形系统的状态空间分析与综合,斤葫嗓彦禄啄雁圆瑰锅汪哇端聘哉室李砖亲闹宋野诚趋负立竹此耻伪伦絮线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,2,现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统,输 入和输出构成系统的外部变量,而状态为系统的内部变量, 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题,这就是可控性和可观测性问题。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点,则称系统是可控的,或者更确切地是状态可 控的。否则,就称系统是不完全可控的,或简称为系统不可 控。相应地,如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出
2、完全反映,则称系统是状态可观测的,简称为系统可 观测。,二、 线性系统的可控性与可观测性(1),韧注添寝高垢弊培虞避缔普逃做欣倡墅瀑恼非碎辖闰佬唱活挪晰陨疾熊殷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,3,例: 给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的形式,有,二、 线性系统的可控性与可观测性(2),骗千冰肪论章腋诊聪毅被仆焚帅耿钎憎屯宦炉札绝骨赤梦部萎鸭仟疑邯彩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,4,这表明状态变量 和 都可通过选择控制量 而由始点达到 原点,因而系统完全可控。但是,输出 只能反映状态变量 ,而与状态变量 既无直接关系也无间接关系,所
3、以系 统是不完全可观测的。 例:下图所示网络,设 ,输出 。,二、 线性系统的可控性与可观测性(3),磅六耐盆颁惜攒闺摹氰蘸昏乘硬盲禹曾岳织丁战讥鹃岿咬崭慕苗柔谣敲狐线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,5,当 且初始状态 时,则不论将 输入 取为何种形式,对于所有 ,只能是 , 不可能做到 。也就是说,输入 能够做到使 和 同时转移到任意相同的目标值,但不能将 和 分别 转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控,简称电路 不可控。由于 ,故系统可观测。 1、可控性 考虑线性时变系统的状态方程,二、 线性系统的可控性与可观测性(4),悬洱王崖炎衍锥谰产既窜悔怜秃滑乐笨概绕
4、耕怪砾埋蚊挥棕拆也擞抛吨蹭线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,6,其中 为 维状态向量; 为 维输入向量; 为时间定义 区间; 和 分别为 和 矩阵。现对状态 可控、系统可控和不可控分别定义如下: 状态可控: 对于上式所示线性时变系统,如果对取定 初始时刻 的一个非零初始状态 ,存在一个 时刻 和一个无约束的容许控制 , 使状态由 转移到 时的 ,则称此 是 在 时刻可控的。,二、 线性系统的可控性与可观测性(5),豆绒阿肃土吩嘎抵棵卒惦牟陇台臆线你洗含胶呀逾示挚傈缝羌锹腿俘慧鞋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,7,系统可控: 对于上式所示线性时变
5、系统,如果状态空 间中的所有非零状态都是在 时刻可控的,则称系 统在 时刻是完全可控的,简称系统在 时刻可控。若系统 在所有时刻都是可控的,则称系统是一致可控的。 系统不完全可控: 对于上式所示线性时变系统,取定 初始时刻 ,如果状态空间中存在一个或一些非零状 态在 时刻是不可控的,则称系统在 时刻是不完全可控的, 也称为系统是不可控的。 可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。 必须 是容许控制,即 的每个分量均在时间 区间上平方可 积,即,二、 线性系统的可控性与可观测性(6),埔把气脊颁燥灶女财梭窿扯瞪嘛悦椎描惮凰屯束向挎流应怎争苏码慨挛睫线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分
6、析与综合,8,此外,对于线性时变系统,其可控性与初始时刻 的选取有 关,是相对于 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定 常系统,其可控性与初始时刻 的选取无关。 状态与系统可达: 若存在能将状态 转移到 的控制作用,则称状态 是 时刻可达的。若 对所有时刻都是可达的,则称状态 为完全可达或一 致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻可 达的,则称该系统是 时刻状态完全可达的,或简称该系统 是 时刻可达的。 对于线性定常连续系统,可控性与可达性是等价的。但 对于离散系统和时变系统,严格地说两者是不等价的。,二、 线性系统的可控性与可观测性(7),歪桨势掩沙剐复雅籽镇哩辉藏氏糙氨黔碘炕
7、合附烘滩椒帧饿磐皋离敞土扭线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,9,2、可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能,所以应同时考 虑系统的状态方程和输出方程 其中, 分别为 的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程 的解为,二、 线性系统的可控性与可观测性(8),伐渊朝奏凰十延阳股纽芦色胀毁繁悟未妻汉峨笆权笑羊执鸭衔千漓第遗默线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,10,其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程, 可得输出响应为 若定义 则输出响应可写为 这表明可观测性即是 可由 完全估计的性能。由于 和 可取任意值,所以这又等价于
8、研究 时由 来估计 的 可能性,即研究零输入方程,二、 线性系统的可控性与可观测性(9),穗口装赛虹雹恼俭扇升酵补上固嫡哲晕竣实雨邱饱磷起霉炙陀系铜滋寨雁线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,11,的可观测性。输出响应成为 下面给出系统可观测性的有关定义。 系统完全可观测:对于线性时变系统,如果取定初始时刻 ,存在一个有限时刻 ,对于所有 , 系统的输出 能惟一确定状态向量 的初值,则称系统 在 内是完全可观测的,简称可观测。如果对于一切 系统都是可观测的,则称系统在 内完全可观测。,二、 线性系统的可控性与可观测性(10),腥常痘溉尿肯粒啸掌烛俏幽贪挥骨焉翱福糜舜闭蒸祷香
9、践朴伏盗配肌纵帆线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,12,系统不可观测: 对于线性时变系统,如果取定初始时 刻 ,存在一个有限时刻 ,对于所有 , 系统的输出 不能惟一确定所有状态 的 初值,即至少有一个状态的初值不能被 确定,则称系统在 时间区间 内是不完全可观测的,简称不可观测。 3、线性定常连续系统的可控性判据 考虑线性定常连续系统的状态方程 其中 为 维状态向量; 为 维输入向量; 和 分别为 和 常阵。,二、 线性系统的可控性与可观测性(11),包矛想婆惕校掐谷孔辜揖梗肤瞄膏该卷冶限匝景猩丢嫌悯惹迈恒烫睁浑顶线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综
10、合,13,下面根据 和 给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必 要条件是,存在时刻 ,使如下定义的格拉姆矩阵: 为非奇异。 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统 可控性的常用判据是直接由矩阵 和 判断可控性的秩判据。 凯莱哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为,二、 线性系统的可控性与可观测性(12),盘舒掸儒算葬庙舀锄豢察蕴虐晾威缸族逾隶狼霍顽子个丘辛酿足糯符然搬线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,14,则 满足其特征方程,即 推论1 矩阵 的 次幂可表示为 的 阶多项式 推论2 矩阵指数 可表示为 的 阶多项式 秩判据 线
11、性定常连续系统完全可控的充分必要条件是 其中 为矩阵 的维数, 称为系统的 可控性判别阵。,二、 线性系统的可控性与可观测性(13),美隋毡丧鹏北舶曼沼误扼帛袭刀宜晓应恨酉着戈雄享伺偷皑努嫩河针扒珐线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,15,例: 桥式网络如图所示,试用可控性判据判断其可控性。 解: 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量 , 消去 ,可得状态方程,二、 线性系统的可控性与可观测性(14),肠弧灶程屏似菜钧妈幂零妈跑苛挪筷卿逆泥瞒凑牟连祈俘焦栽逝怯潞凌阅线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,16,其可控性矩阵为,二、 线性系统的可控性与可观
12、测性(15),拄辛折灵蛔朋坊既持墩熏谣箔谍赋寐僧乖汲诱耪掷伴附袱夫锹棚拌混盟譬线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,17,当 时, ,系统可控。 当电桥处于平衡状态,即 时, 及 成立,这时状态方程变为,二、 线性系统的可控性与可观测性(16),窗工茶呆粟盎兑奔燥伪摆位绕耪鸳唱绑桂虐固战洱礁氏威榆伺诚历吝拐舟线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,18,可控性矩阵为 ,系统不可控, 不能控制 , 是不可控 状态变量。 例: 判别下列系统的可控性:,二、 线性系统的可控性与可观测性(17),碰换徊午蔷光灵彰踏婿肥累湘磷拓姑皆律制吩弓泵蹬避唉粘挺俩眠迷桶啊线形
13、系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,19,解 可控性判别矩阵为 显见矩阵的第二行与第三行线性相关, ,系统 不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条 件是,对矩阵 的所有特征值 , 均成立,或等价地表示为 即 和 是左互质的。,二、 线性系统的可控性与可观测性(18),丑觉夹揽押师骏们遂凄桑苫疵战暂楔触还爱夹授舅颗耸阀银壤茎龚嚣篇莱线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,20,由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出,并由豪塔斯 最先指出其可广泛应用性,故称为PBH秩判据。 例: 已知线性定常系统的状态方程为 试判别系统的可控性。 解:
14、根据状态方程可写出,二、 线性系统的可控性与可观测性(19),伦樟味吭忙埃瞬愉氏答向藐朔谤侥照腐阻谅塌私猎伎骏珐骇子蕾窗室杆斧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,21,考虑到 的特征值为 ,所以只 需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知,当 时,有,二、 线性系统的可控性与可观测性(20),刺岩法壕斜段柳旅尹凸大禽团碳摊投晨榴灭耀喧红盔侗碳史贴胺硬享奎冗线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,22,当 时,有 当 时,有 计算结果表明,系统完全可控。,二、 线性系统的可控性与可观测性(21),历开内尧窜廉乳轨敢乔醚寞疾志菠宛截渴僻施擂揣尿全政丘砍饿炼暇烧
15、吱线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,23,PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分 必要条件是, 不能有与 的所有列相正交的非零左特征向 量。即 对的任一特征值 ,使同时满足 的特征向量 。 一般地说,PBH特征向量判据主要用于理论分析中,特 别是线性系统的复频域分析中。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要 条件分两种情况: 1)矩阵 的特征值 是两两相异的。,二、 线性系统的可控性与可观测性(22),淤校快寒蚁钻克适岂晶留庐劳翱宦买踏饿操坍退遵噶狞评完肤伞颠洒哮倚线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,24,由线性变换可将状
16、态方程变为对角线规范型 则系统完全可控的充分必要条件是,在上式中,不包含元素 全为零的行。 2)矩阵的特征值为 ,且 。,二、 线性系统的可控性与可观测性(23),爆德荤葵刀浸栽炸芝晰冗隧腊纹诅卷俏舀赴隧株竖栖簇鸵宙鄂悦两斋坐掷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,25,由线性变换化为约当规范型 其中,二、 线性系统的可控性与可观测性(24),已咳损译靳钻板宏舶释眼赦窍肾肛妖芯长灌泽时慷渊姐卑鳖夹姆毅巡跟晴线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,26,而 ,由 的最后一 行所组成的矩阵 对 均为行线性无关。,二、 线性系统的可控性与可观测性(25),础般傻
17、排弘修骨闲而姚拧私旭队唁输擒钓草愁冗蒲笋疤粤被骋釜姐躁并圃线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,27,4、输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态,则需研究系统的 输出可控性。 输出可控性: 若在有限时间间隔 内,存在无约束 分段连续控制函数 ,能使任意初始输出 转 移到任意最终输出 ,则称此系统是输出完全可控,简称 输出可控。 输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输 出方程为,二、 线性系统的可控性与可观测性(26),穿操或裂窑留掳鳃意任似扫粒锹图钨础口掀伐匝昆晨砂锄章捆忆慢豆花险线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,28,式中, 为
18、 维输入向量; 为 维输出向量; 为 维状态 向量。状态方程的解为 则输出 不失一般性,令 ,有,二、 线性系统的可控性与可观测性(27),猴纤巍邓恼前肿转壳宏救弗掂淀棍物万细懦扩形佯勉昔爪芋玄佛慑缉依纲线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,29,令 ,则,二、 线性系统的可控性与可观测性(28),乡阔湘撇氨罪锹粕怨寻斌扮戍软泳雇悍辨惠掣拟虞敖夯遏顿磨器瓦琉存坚线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,30,令 为 矩阵,称为输出一矩阵。输出可控的充 分必要条件是,输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 , 即 注意:状态可控性与输出可控性是两个不同的概念,二
19、者没 有什么必然的联系。,二、 线性系统的可控性与可观测性(29),招嚷碱祷吨柿澳兔死升盾值谁佰父甸坎萄琐桌昔柳看粤乍峨晨沤牌时醒馋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,31,例: 已知系统的状态方程和输出方程为 试判断系统的状态可控性和输出可控性。 解: 系统的状态可控性矩阵为 ,故状态不完全可控。,二、 线性系统的可控性与可观测性(30),留猪实岁炯构筏盐高水忱帅是缀轨欧幸孟躬算磕领澈聪撇汁绪勋隔逗蛊耪线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,32,输出可控性矩阵为 ,输出可控。 5、线性定常连续系统的可观测性判据 考虑输入 时系统的状态方程和输出方程
20、其中, 为 维状态向量; 为 维输出向量; 和 分别为 和 的常值矩阵。,二、 线性系统的可控性与可观测性(31),威拎屏宫坐毋泽酌枷胎仪栗嗣宦涨谬洋博腥盏诸叼冬咐蚤宙讼汤怯妆掺纷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,33,格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件是,存在有限时刻 ,使如下定义的格拉姆矩 阵: 为非奇异。 秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件 是,二、 线性系统的可控性与可观测性(32),年遥阳企菩常鹤巫儿涟伶剂朵幕羚锭芍矫贡模辅侗苦病掀艾立佃靡耀净另线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,34,或 上两式中的
21、矩阵均称为系统可观测性判别阵,简称可观测性阵。 例: 判断下列系统的可观测性: 1) 2),二、 线性系统的可控性与可观测性(33),饯库古浸燎置片障裳盲亭熔磷愉寂树陕衙荒纹玻耍查访敲埋掀尘黎哼内衰线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,35,解:1) 故系统不可观测。 2) 故系统可观测。,二、 线性系统的可控性与可观测性(34),韦檀蛔饭惟帚矩凄垦爹造蹈灰钟椽犹桔海昌病洞瘁聊疹纷箕面碟犹臻赊缔线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,36,PHB秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条 件是,对矩阵 的所有特征值 ,均有 或等价地表示为 也即 和 是
22、右互质的。,二、 线性系统的可控性与可观测性(35),感惧加扰连毋趟絮片接絮鬃每簇步垦菜螟暗霓瞩怕秩核嗓沸假呀盆哈溃疆线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,37,PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充 分必要条件是, 没有与 的所有行相正交的非零右特征向 量。即对 的任一特征值 ,使同时满足 的特征向量 。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件分两种情况: 1)当矩阵 的特征值 两两相异时,由线性变换 导出的对角线规范型为,二、 线性系统的可控性与可观测性(36),凸筛拄勇柔器沮扫侧眨丑诽炔拦孜锅破茹巍苗叼虞宾睁疮真尘斌脖砷密惊线形系统的状
23、态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,38,式中 不包含元素全为零的列。 2)当 矩阵的特征值为 ,且 时,对原式进行线性变换导出的约当 规范型为 其中,二、 线性系统的可控性与可观测性(37),凛菌傍姬烦痈滓菱瓜殿窍迅炬少句貉玛放掐员疡启岭有网毗迷涅汐裙汇送线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,39,二、 线性系统的可控性与可观测性(38),章洗睛捣躯揍整姓耶疑豆傍焊鞘枯迎订吱搬滇霞酪齐帮讥喇液秽今斋裸淫线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,40,且 ,由 的第一 列所组成的矩阵 对 均为列线性无关。 例:已知线性定常系统的对角线规范型为 试判
24、定系统的可观测性。 解: 显然,此规范型中 不包含元素全为零的列,故系统 为完全可观测。,二、 线性系统的可控性与可观测性(39),拆岂板虐装审蚁就圭道规货匣童亭抚镣落汞炎姆多热酗锰忆茄炭七蹭啄历线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,41,6、线性离散系统的可控性和可观测性 (1)线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的状态方程为 其中 为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态 空间中的所有非零状态 ,都存在时刻 ,和 对应的控制 ,使得 ,则称系统在时刻 为完 全可控。对应地,如果对初始时刻 和初始状态 , 存在时刻 和相应的控制 ,使 可为状态 空间中的
25、任意非零点,则称系统在时刻 为完全可达。,二、 线性系统的可控性与可观测性(40),种聊陛供栽妖琴耗迈驶沸明维墩倡仟写胎浊橡搁悉虽望酷憨彤纤逞洒冕阻线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,42,对于离散系统,不管是时变的还是定常的,其可控性和 可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为 1)线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是,系统矩阵 对所有 为非奇异; 2)线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异。 3)如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模 型,则其可控性和可达性必是等价的。,二、 线性系统的可控
26、性与可观测性(41),皱赌拥浚错财趟工坎肚倚距凉痔畜揭牺锄泼潮环昨衬诬回沤咆炙鞠遮葫阜线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,43,线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离 散系统的状态方程为 其中 为 维状态向量; 为标量输入; 为 非奇异 矩阵。状态方程的解为 根据可控性定义,假定 时, ,将上式两端左 乘 ,则有,二、 线性系统的可控性与可观测性(42),乱摄净芒待蹿乃铅睦抖渐安避千捞粤辨琳庭骸匆吩吕挣郁戴锡陨攀舒巳禽线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,44,记 称 为 可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可 知,当矩阵 的秩与增广矩阵 的
27、秩相等时,方 程组有解且为惟一解,否则无解。在 为任意的情况下, 使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩,即,二、 线性系统的可控性与可观测性(43),碴顷挨继舶挫阉蹄蒜队尽扦眩苯恳尖照冕童域禽屹要千帖炳害沪吩正阿秤线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,45,或矩阵 的行列式不为零 或矩阵 是非奇异的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变,故 交换矩阵的列,且记为 ,其秩也不变,故有 在判断系统的可控性时,使用上式比较方便。 上面四式即为可控性判据。,二、 线性系统的可控性与可观测性(44),焉壹证衷辖帚迭锋龙侨美馏喝贸个艺瓶问辜瘁跋氟粗缘敬纽吝毖坐霸喷紧线形系统的状
28、态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,46,当 时,系统不可控,表示不存在使任意 转移至 的控制。 以上研究了终态为 的情况,若令终态为任意 给定状态 ,则状态方程的解变为 将上式两端左乘 ,有,二、 线性系统的可控性与可观测性(45),缕殿告茂阳俐滴镶暮选倦吊环鹿赫蹈督你联踪膛冈亥鞠缚被绽霓焊琵环蛹线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,47,当 满秩时,前式左端只不过是任一给定的另一初态,其状 态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令 ,上述结论同样成立。可见,当 为非奇异阵时, 系统的可控性和可达性是等价的。 上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广
29、到多输入系统。 设系统的状态方程为 所谓可控性问题,即是能否求出无约束控制向量序列 ,使 系统能从任意初态 转移至 。上式的解为,二、 线性系统的可控性与可观测性(46),童扬拽呵翰稽秦煞寅产尿筋橡帘脾就镊溪赣沫曹版痹赤冉纯辐误癣碑嫂腋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,48,令 ,且方程两端左乘 ,有 记 为 矩阵,由子列向量 构成的控 制列向量是 维的。上式含 个方程,但有 个待求的控 制量。,二、 线性系统的可控性与可观测性(47),秧逻嫌笨柳郁邑戏伍歉裕蛔钓翰妹名乡远橙应宏痈斌胺鬼框馁巾鹏捏吼穴线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,49,由于初
30、态 可任意给定,根据解存在定理,矩阵 的秩 为 时,方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可 控的充分必要条件是 或 或 或 或,二、 线性系统的可控性与可观测性(48),柳传苏盗友撰丹藕樱锗踪帘扩顺浴仙侦歇析漆胜住啥饰礁锥辕畴鸣特寅馏线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,50,例: 双输入线性定常离散系统的状态方程为 试判断可控性,并研究使 的可能性。 解: 显然,由前三列组成的矩阵的行列式不为零,故系统可控。,二、 线性系统的可控性与可观测性(49),淘独干凝鹿苞适疟恋肄霸碾蹋阮更唁仟花怖忽汀屋诞单恳遁畴冶芭刹朽舷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综
31、合,51,一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。 由 可得 设初始状态为 ,由于,二、 线性系统的可控性与可观测性(50),兰菊锻旦争寓误烧诱拎谐入躬策台厂够葛献喻咖睡羽喇艇脊躬硕手溅捞框线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,52,可求得 ,在一步内使系统由初始状态转移 到原点。设初始状态 ,也可使系统在 一步内由初始状态转移到原点,但 。本例 不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。 (2)线性离散系统的可观测性 设离散系统为,二、 线性系统的可控性与可观测性(51),扬舷孰尉诵荤锰耘迢蛰巷循三返诡镍祟激馋鸣积清续痛声拘沛尝斑余仍柴线形系统的状态空间分
32、析与综合线形系统的状态空间分析与综合,53,若对初始时刻 的任一非零初始状态 ,都存在 有限时刻 ,且可由 上的输出 惟一地 确定 ,则称系统在时刻 是完全可观测的。 线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系 统的动态方程为 其中 为 维状态向量, 为 维输出向量,其解为,二、 线性系统的可控性与可观测性(52),傲策扼诫例诫邯监狐蔷漫窥徒迸表兼藻吞咬茶侵吃拷析匠擂卒俊肢振寅乌线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,54,研究可观测性问题时, 均为已知,故不失 一般性,可将动态方程简化为 对应的解为 将 写成展开式,二、 线性系统的可控性与可观测性(53),授乙抉胁皂
33、挑择粕努鳖窟伟藉蔫挡赞型雨炼畔慷桶毙唱葡兼曾羹雁份溅卞线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,55,其向量矩阵形式为 令,二、 线性系统的可控性与可观测性(54),驭呈株准窃怜召搭汕篙冶腕呼斟滨道贰糊凛店谩堵忙卜悄傍仪益即法押会线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,56,称为线性定常离散系统的可观测性矩阵,为 矩阵。 系统可观充分必要条件为 由于 ,故线性定常离散系统的可观测性判 据常表示为 (3)连续动态方程离散化后的可控性和可观测性 一个可控的或可观测的连续系统,当其离散化后并不一定能 保持其可控性或可观测性。现举例来说明。,二、 线性系统的可控性与可
34、观测性(55),廓著粳傀簧凋芭砍砚缔拥藐堆实楼斩屯制抄犹注嗜糊跳瑶弓弟喜瘸物卤哦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,57,设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型,故一定可控。根据可观 测性判据有 故系统可观测。,二、 线性系统的可控性与可观测性(56),明涤笼粹朽蓑痞陌乡克徐唱碎萧茎办萌樟巡灭釉妓主仍授便熄泪啸疫傅介线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,58,系统的状态转移矩阵为,二、 线性系统的可控性与可观测性(57),鼠慨当稼涸聘幂佃刀哥敖捌追撵筋舌冈熄磐料皇路谋副营狞渍蚊隐刁恃簧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综
35、合,59,系统离散化后的状态方程为 离散化后系统的可控性矩阵为,二、 线性系统的可控性与可观测性(58),吁兵咬膏绣轮殃宇甭远监粟仙赣皆殃叮节岛硷羽逗党抹纯呀圈炊干瞪厌礁线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,60,离散化后系统的可观测性矩阵为 当采样周期时 ,可控性矩阵 和可观测性 矩阵 均出现零行, ,系统不可 控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时,若采样周 期选择不当,对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测, 也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观 测,不管采样周期 如何选择,离散化后的系统一定是不可 控或不可观测的。,二、 线性系统的可控性与可观
36、测性(59),余理梁碎抱酵那仑援痢逃丢垣库掉撞明客香娠去河梯添衷拟估帕镁涌誉莎线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,61,1、状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为 令 式中 为非奇异线性变换矩阵,它将 变换为 ,变换后 的动态方程为 式中 并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使 阵规范化, 并不会改变系统的原有性质,故称为等价变换。分析计算后, 再引入反变换关系 ,得出最终结果。,三、 线性定常系统的线性变换(1),朝自薄谐馁苦狠亢控妥炯寨郡痔芯舟垃抡十嚣涂篙竹绸折栈功想割服绷坎线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,62,下面概括给出本章中常用
37、的几种线性变换关系。 (1)化阵为对角型 1)设 阵为任意形式的方阵,且有 个互异实数特征 值 ,则可由非奇异线性变换化为对角阵 。 阵由 阵的实数特征向量 组成,三、 线性定常系统的线性变换(2),疏函奉歉徐绚辰酚肢挪窟苛睫攫针耘闸撞区双贬檬哥条绒摈写旋亏幸络饥线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,63,特征向量满足 2)若 阵为友矩阵,且有 个互异实数特征值 , 则下列的范德蒙特 矩阵 可使 对角化:,三、 线性定常系统的线性变换(3),铀揣肌眨寥垛辐底痔辜锡清浮朽疮驶刻畦奢芹挞门搏纤戏啤蘑乎颐医饭曰线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,64,3)设
38、 阵具有 重实数特征值 ,其余为 个互异 实数特征值,但在求解 时仍有 个 独立实特征向量 ,则仍可使 阵化为对角阵 。,三、 线性定常系统的线性变换(4),悟间棵站屹棋貌霜该域禽蚊皋踊匣了闯炔楔踩脊调烈类髓愁茎态殆腻罗咆线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,65,式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。 (2)化 阵为约当阵 1)设 阵具有 重实特征值 ,其余为 个互异实特 征值,但在求解 时只有一个独立实特征向量 , 只能化为约当阵 。,三、 线性定常系统的线性变换(5),东杉葡划煌凭酿脏沟洽汾偿眯豺屏洲驮屠荧闯蛮捧闷裙帮酶惭空弊效郎曲线形系统的状态空间分析与综合线形系
39、统的状态空间分析与综合,66,中虚线示出存在一个约当块。 式中 是广义实特征向量,满足 是互异特征值对应的实特征向量。,三、 线性定常系统的线性变换(6),孽屈池檄磁乒潮譬屿忆意堑恫痪讥悉局控熊度擦滇汁埋般囤岂稠济婿惶薛线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,67,2)设 为友矩阵,具有 重实特征值 ,且只有一个独立 实特征向量 ,则使 约当化的 为 式中 3)设 阵具有五重实特征值 ,但有两个独立实特征向量 ,其余为 个互异实特征值, 阵约当化的可 能形式是,三、 线性定常系统的线性变换(7),刃友消还缮恃碰海淌回影滦弥凰懈蒂末菜果拨瘤篆分浩措葛斗匪逼钡孙屡线形系统的状态空
40、间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,68,三、 线性定常系统的线性变换(8),姬八鸯乡糠饵房荐霍舰不粱咱鲤震控仑循祈平八瞒泊轰超噪蒙剑慑糯岿杏线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,69,中虚线示出存在两上约当块,其中 (3)化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时,曾得出单输 入线性定常系统状态方程的可控标准型:,三、 线性定常系统的线性变换(9),易馁冒轿激百醒搞锯晚宰尝喉酿好驭渗蚕诉锅仙锰梨脯酿雁贰然孟洁氏跟线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,70,与该状态方程对应的可控性矩阵 是一个右下三角阵,其主 对角线元素均为1,故
41、 ,系统一定可控,这就是形 如上式中 的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵 形如,三、 线性定常系统的线性变换(10),碟煮落般骂蔽窜茄桥既懦役奸安颊夯敢继瘟熟循鼓赚佛燥郴峨砾沉漆填况线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,71,一个可控系统,当 不具有可控标准型,一定可以 选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为 进行 变换,即令 变换为 要求,三、 线性定常系统的线性变换(11),歧褐辑透桃桥窒刹前晃谬慈茨可宵场屠卸亿砰愁妻福渍四从碰林绅蛮尉络线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,72,下面具体推导变换矩阵 : 设变换矩阵 为 根据 阵变换要
42、求, 应满足变换要求,有 展开为,三、 线性定常系统的线性变换(12),镭邵巳见裳哭了辅筷推艺灭苑洽敦瓣眷冠棵院伯浴拈挡膳汽千域挫躺呀啸线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,73,经整理有,三、 线性定常系统的线性变换(13),内架官耍宜戒侍江磁胯宝坊月淖晌凌捡孽卵症艘抄捅篙伦剿驭八溃舔唱颗线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,74,由此可得变换矩阵 又根据 阵变换要求, 应有 即,三、 线性定常系统的线性变换(14),白快秩素撩残枝奇凋处洱液薛蒙烯载点疮先衰枣霸孜寐命潭拙工同瞩崭侠线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,75,故 该式
43、表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出 变换矩阵 的求法如下: 1)计算可控性矩阵 ; 2)计算可控性矩阵的逆阵 ,设一般形式为 3)取出 的最后一行(即第 行)构成 行向量,三、 线性定常系统的线性变换(15),镣靖制皱阀度纸焕骗猪踞琼猫赁玛催蔗逞捣括剥兵讽橙衍届稽骤釉误志浩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,76,4)构造阵 5) 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。 2、对偶原理 在研究系统的可控性和可观测性时,利用对偶原理常常 带来许多方便。,三、 线性定常系统的线性变换(16),治没搁房腕忻蛇蛇啊蓄辆钧汤勺乱粹洼邹诫辅痢踩顿创元饮氖州囱企第掖线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,77,设系统为 ,则系统 为系统 的对偶系统。其动态方程分别为 其中, 均为 维状态向量; 均为 维向量; 均为 维向量。注意到系统与对偶系统之间,其输入、输出向量 的维数是相交换的。当 为 的对偶系统时, 也是 的对 偶系统 。不难验证,系统 的可控性矩阵 与对偶系统 可观测性矩阵 完全相同;,三、 线性定常系统的线性变换(17),潍绳塌酱绣渴国溪溉拭十坊死祁咐疹恶搔汁柠芜峨毖腊掏抒瘴欺月悸啃资线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合,78,系统 的可观测性矩阵 与对 偶系统 的可控性矩阵 完全相同。 应用对偶
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