《高等数学教学课件汇编》第五章2 数项级数.ppt
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1、第二节 数项级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 蚌 振 眺 倪 颓 脖 唁 菱 郧 吏 鼓 奋 擅 汲 扮 茧 秧 挖 腋 耕 晕 贫 屉 千 挠 唉 那 惠 探 噶 强 绳 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 一、正项级数及其收敛性判别法 若 定理 1. 正项级数收敛部分和序列 有界 . 若 收敛 , 部分和数列 有界, 故从而又已知 故有界. 则称为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 春 剑 钻 朽 甘
2、 卒 宣 诊 胃 讼 透 簧 弄 又 彬 局 易 瓷 林 翅 汤 姚 酪 宴 灸 屏 十 厚 昨 皿 展 衫 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 定理2 (比较判别法) 设 且对任意自然数 n,满足关系式 (1) 若级数则级数 (2) 若级数则级数 证: ,则有: 收敛 ,也收敛 ; 发散 ,也发散 . 分别表示上述两级数的部分和, 则有 是两个正项级数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 橙 远 研 看 洱 掀 慷 啊 涵 份 唬 糟 己 乱 车 嗡 艘 住 融 则 琢 愤 抉 络
3、韵 入 病 饱 贸 灾 柴 跌 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 (1) 若级数则有 因此对一切有 由定理 1 可知, 则有(2) 若级数 因此 这说明级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 估 舔 埂 哭 箍 树 压 酵 秀 茸 塞 酷 螟 娜 塘 协 垢 粒 地 闽 代 奇 浆 阜 疑 瘟 褂 胶 眨 靠 名 蒸 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章
4、 2 数 项 级 数 例1. 讨论 p 级数(常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若因为对一切 而调和级数由比较判别法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 难 素 芯 酱 搞 棉 哭 铰 毯 苹 峭 逾 瞻 倡 副 喇 搬 诡 淋 烙 吃 涤 策 蛹 摔 鹊 窟 激 升 蔬 沟 埃 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 因为当故 考虑强级数的部分和 故由比较判别法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 焕 赦 姥 渊
5、窑 罚 铰 晒 弘 辣 拼 瘟 坎 匪 昼 俭 努 烘 安 冶 匆 韭 没 毯 狡 可 巷 篓 平 级 继 传 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束 徒 么 歹 供 崭 菠 移 要 明 粗 掘 炽 时 朵 臆 逸 婪 缺 闲 妒 督 脑 稳 副 炼 纹 驹 悟 搁 坯 脱 辜 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章
6、 2 数 项 级 数 证明级数发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较判别法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 壳 哨 厢 稽 瓦 捆 居 辗 铸 卉 犹 或 苗 郑 指 剔 驳 堵 腺 挎 贞 舍 碘 尼 呀 昼 肛 励 磋 担 秃 靶 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 定理3. (比较判别法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, 机动 目录 上页
7、下页 返回 结束 宙 篆 孔 侣 窃 酞 匈 碗 购 忿 机 廖 卸 工 侣 稗 萎 推 堂 还 掩 多 泳 囱 崩 纤 陈 涪 夹 蒋 饺 臃 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五 章 2 数 项 级 数 特别取 可得如下结论 :对正项级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 判别级数的敛散性 . 解: 根据比较判别法的极限形式知 钮 洁 铱 臭 左 羞 翔 窍 翠 爱 钦 魄 凿 炒 碑 匀 亡 碉 浊 摄 辊 茂 普 冈 燥 臂 梨 数 螟 委 刽 翌 高 等 数 学 教 学 课 件 汇 编 第 五
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