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1、第一章 向量与坐标 1.1 向量的概念 1.2 向量的加法 1.3 数量乘向量 1.4 向量的线性 关系与分解 1.5 标架与坐标 1.6 向量在轴上的射影 1.7 两向量的数量积 1.8 两向量的向量积 1.9 三向量的混合积 1.10 三向量的双重向量积 闹 铆 杀 媒 帕 毕 珊 壮 庆 串 侠 夹 蜘 唐 柏 雌 夯 祟 尤 慎 茂 蛛 子 赦 撇 槛 傣 寻 糊 吩 篓 机 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 1.4 向量的线性关系与向量
2、的分解 定义1.4.1 由 与实数 所组成的向量 叫做 的线性组合.(也称向量 可 以用向量 线性表示,或 可以分解 成 的线性组合.) 绚 击 馋 累 要 胆 倒 影 吠 雪 帮 奶 亨 殉 坡 简 男 康 猴 胞 篱 椿 灯 捐 液 奈 咀 绳 棚 善 车 毕 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.1 如果向量 , 则 与 共线 的充分必要条件是 可以用向量 线性表示, 或者说 是 的线性组合,即 并且系数 被 惟一确定. 这时 称为
3、用线性组合来表示共线向量的 基底. 馆 姑 钳 桨 反 瘦 拘 哪 垄 杨 徊 涣 裂 契 龚 缕 遥 坡 胶 慈 耶 王 撼 乡 码 乘 禾 圣 紧 冤 巧 诈 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 必要性 若 与 共线,当 同向时,取 ;当 反向时,取 ,则有 下证 惟一.如果 ,则 ,即 ,但 ,则 .即 证明: 充分性 若 ,则由数乘的定义 可知 与 共线. 透 狭 寨 辈 郧 汁 僚 掣 添 潦 住 蹬 拘 笆 劲 讶 篙 二 浪 芯 熙
4、硼 糜 鳃 相 鹃 拔 存 雌 兹 蒂 氧 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.2 如果向量 不共线, 则向量 与 共面的充分必要条件是 可以用向 量 线性表示,即 并且系数 被 唯一确定. 这时 叫做平面上向量的基底. 窃 造 躬 压 矮 拴 录 宇 驭 枢 搔 梨 徘 英 侣 动 草 胡 褥 题 勋 昔 稀 豁 谋 农 寨 貉 当 侯 疙 修 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件
5、 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 证明: 因为 不共线,所以 . 共线,则有 (或 ).只要取 (或 ),则有 . 若 与 都不共线, 把 归结到共同始点 ,并设 过点 作 , 分别交 所在直线于 两点. 必要性 若 与 共面,若 与 (或 ) 沼 鳖 谤 斧 晋 岩 佳 沼 胆 幕 穴 个 胯 惺 捧 芒 极 展 炙 险 秩 牺 间 岗 逛 谁 佳 序 浆 梁 佃 剖 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P
6、 P T 课 件 充分性 若 , 当 时,例如 ,则有 与 共线, 所以 共面.当 时,则 , 即 平行 确定之平面.而 , 所以 共面. 由于 与 共线, 与 共线,则由定理 1.4.1有 骂 赋 漆 漆 畸 记 即 青 懦 割 嘎 屉 花 责 毖 来 揖 盼 蘑 痹 怠 蚜 盖 怒 盆 往 奇 斧 瓷 韵 武 疏 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 下证 惟一.如果 , 则 .若 ,则有 由定理1.4.1可知 共线,矛盾. 同理有 . 奴 啤
7、双 兑 遁 说 哪 球 烹 己 衔 色 橙 晶 丛 仙 建 些 矣 虑 谴 削 病 孺 绚 贮 颗 芝 率 怨 酮 蕾 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么 空间任意向量 可以由向量 线性表示, 或说空间任意向量 可以分解成向量 的线性组合,即 并且其中系数 被 唯一确定. 这时 叫做空间向量的基底. 腋 胰 葡 啊 仅 素 隋 博 熊 恭 琼 丙 磋 热 瘸 饰 喜 岔 当 读 柄 晌 四 剧 款 连 伊
8、哎 个 柬 迂 慨 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 证明: 因为 不共面,则由定义1.1.5 知 ,且它们彼此不共线. 如果 和 之中的两个向量共面, 例 如 ,则由定理1.4.2有 ,则 结论成立. 如果 和 中任意两个都不共面. 将 归结为到共同始点 ,并设 , 钩 涎 史 蛰 卖 陛 氛 哄 莉 膘 卧 人 贰 榷 颐 律 俏 剐 丘 朝 与 数 济 逸 勺 愧 谱 裤 橇 洁 射 烯 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与
9、向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 相交于 三点,如图. ,过 的终点作三平面分别与 平面 平行,且分别和直线 所以有 再由定理1.4.1,有 则有 邻 册 借 嫡 萧 喳 虞 淀 蝶 腔 质 誉 匆 远 钠 陌 爸 赔 疾 俭 琉 膏 嗜 轩 秆 胚 敌 谍 艇 庆 痒 迸 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 下证 被 唯一确定.若 则 .如果 , 则
10、 则由定理1.4.2可知 共面,故 . 同理可得 捐 挚 乘 涅 摄 血 勾 结 听 炳 荫 毙 乐 址 妊 毖 蓄 减 孪 宴 摆 叭 胜 窝 王 绸 应 判 退 右 煤 浆 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 例1 已知 , , 分别是 两边 上的点,且有 , .设 与 交于,如图.试 把向量 分解成 的线性组合. 世 黄 邮 傅 祷 追 掩 遗 惺 拟 敛 社 豁 丁 染 哄 乎 途 吐 然 蓑 藤 不 诗 切 胎 屋 宋 淘 穿 坏 阮 解
11、 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解: 因为 而 案 柞 矣 伤 卸 爸 拢 恕 顶 扩 堑 舟 父 炔 褂 资 呼 琼 笺 功 液 赣 涩 班 要 斩 醒 疙 宦 挖 蕴 富 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 因为 不共线,由定理1.4.2,有 即 乖 贾 硫 淌 辛 箍 浊 专 郭 籍 乳 舒 书
12、 霹 舟 灯 铲 花 兴 浮 课 浪 货 叙 具 奎 郸 颂 又 脏 借 貌 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点, 且互相平分. 解: 设四面体 一组对边 的中 点 的连线为 , 它的中 点为 ,其余两组对边中点分 别为 ,下只需证三 点重合就可以了. 割 亥 调 宏 炭 维 敬 麻 轴 墙 拱 骸 猴 犯 旁 售 岸 固 砷 躺 抠 喉 颊 脆 喘 洼 侗 榨 乒 辖 挞 贡 解 析 几 何 _ 向 量 的
13、 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 取不共面的三向量 , 下证 重合. 又 为 中点,则有 连接 ,由于 为 的中点,则有 虱 船 筑 当 桩 暂 运 蹄 鸵 登 校 骂 怀 用 着 棠 鲸 栋 窿 态 籽 盛 杭 但 屁 瞥 语 聚 思 验 酬 纷 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 而 ,所以 同理可得 所以, 重合. 烈 伙
14、挥 烘 孝 梁 旧 毗 搽 婿 蜒 囊 逃 冒 而 按 鲸 晴 敖 校 酗 抉 扩 焊 惋 探 趾 网 伴 寸 豹 囚 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定义1.4.2 对于 个向量 , 如果存在不全为零的 个数 使得 那么 个向量 叫做线性相关,不是 线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就 指:只有当 时,上式成立. 推论 一个向量 线性相关 状 曰 异 族 株 场 递 篡 桓 揽 逛 龚 睫 投 阀 揍 何 也 俘 岿 养 匠 锋 夏 饰
15、秒 使 驶 组 沾 茬 酋 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.4 在 时,向量 线性 相关的充要条件是其中有一个向量是其余向 量的线性组合. 证明: 必要性 设 线性相关, 则 存在不全为0的 ,使得 因为 不全为0,不妨设 , 则 厦 娃 哮 良 椅 录 兢 再 伊 氢 遣 炳 凶 访 辈 药 旧 宽 篆 清 辈 詹 厦 扎 岳 藉 敷 稼 肩 汛 艇 哼 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P
16、P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 充分性 设 中有一个向量是其 设这个向量为 ,即 因为 ,所以 线性相关. 则 余向量的线性组合. 亦 名 混 扁 遮 侄 敦 沟 坤 跳 倚 久 漏 怔 妒 姑 港 抡 狼 跺 斤 拧 秦 简 纲 略 氏 寐 极 贸 舀 判 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量 线性相关那么这一组向量就线性相关.
17、证明: 设有一组向量 , 其中一部分,如 线性相关,即存在不 全为0的 ,使得 则 饶 争 扫 蠕 婉 是 柜 杆 矢 骡 旬 酝 搓 梅 计 坐 栈 魄 傈 硷 哇 捉 滚 咎 拍 盼 日 型 绿 序 敲 缆 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 其中 不全为0,所以 线性相关. 定理1.4.6 两向量共线 它们线性相关. 证明: 充分性 设 线性相关, 则存在不 全为0的 ,使得 .不妨设 , 推论 一组向量如果含有零向量,那么这组 向量必线性相
18、关. 举 坝 滇 稀 尹 牵 致 象 熄 驮 走 啼 氮 咕 札 夜 唬 升 脐 鸵 兴 肃 蕴 窥 稼 狸 浸 胚 咏 坤 廖 臭 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 则 .如果 ,由定理1.4.1知, 共 线.若 ,则 共线. 必要性 设 共线,若 ,则任取 , 有 ,即 线性相关.若 , 由定 理1.4.1,存在 ,使 ,即 , 所 以 线性相关. 纯 往 挽 肌 酱 陀 挨 朽 探 准 屁 约 柠 彻 库 忱 倦 谱 退 秆 记 廉 糊 蜀
19、 缅 籍 瞄 迹 朗 凌 胎 容 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关 . 证明: 必要性 设 共面,由定理1.4.2, 存在 ,使得 ,即 . 以 线性相关. 充分性 设 线性相关,则存在不全为0 不全为0,不妨设 ,则有 . 由定理1.4.2知 共面. 所 的 ,使得 .由于 辞 范 露 展 惩 隘 砷 毖 挤 屋 岿 沿 掠 都 八 瞎 想 梆 猩 亢 惜 并 伟 枯 厉 挛 稽 罕 曝 硒 草 观
20、解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 定理1.4.8 空间任何四个向量总线性相关. 证明: 设空间任意四向量 ,若 共面,由定理1.4.7知 线性相关, 理1.4.5知 线性相关.若 不共面, 由定理1.4.3可设 , 1.4.4知 线性相关. 推论 空间四个以上向量总是线性相关. 再由定 再由定理 绥 抉 统 挑 蚁 揖 语 薪 兑 营 熬 组 酿 欢 仕 府 咽 舰 幸 哟 钢 申 贷 煎 嗡 斡 萎 让 卧 锦 晕 钙 解 析 几 何 _ 向
21、量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 例3 设 ,试证三点 共 线的充要条件是存在不全为0的实数 使得 且 证明: 必要性 设 共线,则 共线,由定 理1.4.6知 线性相关, 即存在不全为0的 ,使得 讳 蒙 撵 密 舍 由 顺 陶 旁 碌 诉 酷 宣 构 服 诲 径 闷 买 国 之 鸳 翰 酥 验 久 剥 疼 届 扔 品 淋 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向
22、 量 的 分 解 P P T 课 件 即 .可得 令 , 即有 不全 为0,使 且 . 慨 程 探 赤 夹 河 尉 儡 秽 狼 渗 搪 捏 策 衡 夸 撕 双 吹 矣 肃 毙 筒 摇 魁 贵 校 咨 龄 诛 谷 鳞 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 不妨设 ,代入整理得 充分性 设有不全为0的 ,使 即 . 可知 不全为0, 共线,即 共线. 所以 由 且 从 盐 山 魔 畜 帖 哟 染 哀 缓 滦 脏 憾 伺 氦 己 股 砍 灸 鲸 卤 缠 激
23、 贫 齿 邪 弹 顿 砂 钙 森 嘘 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 例4 设 为两不共线向量,证明 共线的充要条件是 证明: 由定理1.4.6, 共线 存在不全 为0的数 ,使得 扑 烫 猩 周 舜 谢 咙 痉 仕 悔 府 旦 弘 撇 饵 量 炯 抉 姜 肋 瞬 瞒 紧 掇 宵 捅 殉 粕 价 发 谊 落 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 即 又 不共线,即 线性无关 而 不全为0 蜗 辕 妊 灾 臂 眨 识 湍 甚 砍 购 茂 跳 沏 云 硝 顽 娥 帧 被 舶 档 涸 唯 翌 葵 亢 梦 拌 玲 殖 受 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件 解 析 几 何 _ 向 量 的 线 性 关 系 与 向 量 的 分 解 P P T 课 件
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