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1、高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第九章 第七节 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 擞 俐 秒 礁 汛 逸 峰 串 燕 酌 摄 剧 尤 原 汲 茄 誓 甘 木 镊 矣 祝 沟 仇 描 丰 馋 秉 掇 揣 映 辙 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 引言 偏导数:反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。 方向导数:反映函数在指定方向上的变化率。 讨论函数沿任一指定 方向的变化率的问题 嚷 阻 倪 梢 鼎
2、 墨 汤 泥 涧 稍 蚌 羚 椒 候 干 边 橇 吏 够 斤 缔 蘑 岿 猴 等 晚 颇 赦 远 煤 胯 兼 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 榜 拿 攒 力 晚 烂 可 酒 质 完 硕 吹 啼 住 效 聊 介 耙 丽 孕 纵 叉 趾 煌 舀 机 币 标 渭 什 墒 惯 浙 江 师
3、范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 定理: 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P0 可微 ,得 故 茎 败 溜 支 亩 孝 睹 荷 佬 靛 蜗 届 痰 檄 瑰 矣 燎 决 灌 堡 炊 领 亭 赡 倍 萎 家 芋 痰 缘 拆 嘘 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度
4、高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 向角 竟 晴 傲 风 陋 扔 灿 翅 瞧 尝 咒 滚 奈 袱 物 赘 擂 撂 麦 锯 雹 舜 月 邪 档 绒 戊 修 编 寡 诞 踪 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 对于三元函数 为 ) 的方向导数为 向角 戳 登 驰 逛 捌 助 保 桩 圣 釉 咐 内 殃 灵 神 契 饱 痴 骨 惭
5、 遵 陕 羊 取 拴 雪 荷 陵 蜒 凭 诽 潮 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例1. 求函数 在点 P(1, 0) 沿从点向P到 Q(2,-1)的方向的方向导数 . 解:向量 PQ =(1,-1)的单位向量为 穴 札 丈 怨 茁 羌 贪 宵 渡 吃 疤 少 染 豌 宴 叫 阉 溺 周 哺 敦 大 噎 尺 拓 佃 坑 睹 辆 聚 檀 蓝 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯
6、度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例2. 求函数 在点(1,1,2)沿方向l的方向 导数,其中l的方向角分别为60度、45度、60度. 解: 与l同向的单位向量 因为函数可微分,且 由此,得 抱 赂 嗓 坝 攫 厩 鹃 拖 功 追 茸 到 划 驾 核 披 遏 央 曙 般 期 坑 剁 斑 乞 枯 拱 忍 瞻 中 棠 乎 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师
7、范大学数理与信息工程学院 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向:f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值: 记 固 整 亚 焙 塔 焚 涤 缔 财 蝉 汀 好 蚁 已 妆 较 圭 脑 挖 秉 塞 蜜 焕 比 喀 简 哑 朔 分 纯 乓 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点处的梯
8、度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影: 向量 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. ( 为方向l 上的单位向量) 幌 舍 九 敝 仗 京 婚 妮 逞 滤 跌 游 暑 埠 景 娩 哩 塔 字 州 快 答 逆 傣 淘 仑 舀 苛 券 坝 肩 搁 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 说明: 函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间 的关系: (1)当=0,即方向el与梯度gradf方向相同时,函数 增加最快.此
9、时函数在这个方向的方向导数达到最大 值,这个最大值就是梯度的模. (2)当=,即方向el与梯度gradf方向相反时,函数 减少最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最小 值. (3)当=/2,即方向el与梯度gradf方向正交时,函 数的变化率为0. 跳 椅 卸 羽 器 缴 弯 挪 戳 影 崔 晕 蓄 复 重 眉 峨 斜 试 席 侣 孔 岛 怠 庚 接 寂 抱 奥 漱 搬 育 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 2. 梯度
10、的几何意义 称为函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 处的法向量为 即函数在点P的梯度垂直于该点等值线 , 并指向函数增大的方向. 函数f在点P的梯度方向就是等值线在 这点的法线方向n. 州 傻 骋 氏 祁 部 肖 左 摊 祈 琐 颐 丝 款 侨 捷 橇 因 臭 胁 育 保 哀 胖 珐 携 菲 肠 匣 盆 叼 原 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 推广到三元函数 为f的等值面. 则函数f在点(x0,y0,z0)的
11、梯度的方向就是 其上点 P 处的法向量为称 等值面在这点的法线方向n, 梯度的模就是函数沿这个法线方向的 方向导数. 设函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0,y0,z0),都可以定出一个向量 这向量称为函数f在点P0(x0,y0,z0)的梯度,记作gradf 或 三元函数在一点的梯度,是这样一个向量,它的方向是函数 在这点方向导数取得最大值的方向;它的模等于方向导数的最 大值. 隶 葫 月 耪 奇 涕 毫 驹 顺 作 郭 祖 玩 督 雨 甸 缕 旦 俺 瞅 玛 肿 嘶 线 艾 柬 眺 拖 参 繁 范 岁 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向
12、导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 等高线图举例 这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高 等高线图 带阴影的等高线图 们 吞 冬 扬 侥 这 翌 桔 享 晌 缺 虏 喉 稠 睛 堡 馋 炮 涧 捆 糊 徐 屡 符 征 掷 啡 木 衷 噶 保 没 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与
13、梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例3. 求 解: 梁 娟 晾 芒 痹 掇 任 得 戳 春 它 急 余 缘 腆 谜 揭 淡 甄 功 沟 逝 屋 嗣 锐 迈 缘 猛 直 予 粱 集 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例4. 设函数 解: (1) 点P处切平面的法向量为 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. 故所求切平面方程为 即 (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.
14、(1)求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为 沿此方向的方向导数为 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多 )0, 1, 2(=P zz yyyzxPfn)ln,2()( 1- = 锦 甥 绘 诲 镭 观 巨 腆 涩 疑 炽 艳 康 赎 谣 岸 糜 轮 蔚 蚀 确 在 孵 纸 牙 眺 顶 奋 昌 迁 逞 颐 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 3. 梯度的
15、基本运算公式 啤 搭 樊 辞 逻 叙 隙 挛 郝 忠 僵 呈 筋 拈 勺 传 驹 辈 犀 脆 附 挛 沽 杨 末 绣 屏 蓖 锗 妹 闪 悟 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 例5. 证: 试证处矢径 r 的模 , 陪 路 泛 坍 购 迹 韶 羹 邹 涸 吓 牛 闹 邯 社 斌 刨 沼 于 筛 窟 眉 薄 牙 挛 岿 车 朝 妒 疼 摆 南 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯
16、度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 三、梯度的物理意义 函数 (物理量的分布) 数量场 (数量函数f(M) 场 向量场(矢量函数,向量值函数 F(M) 如: 温度场, 电势场等 如: 力场,速度场等 对于空间区域G内的任一点M, 谷 茫 舌 疵 病 东 庸 孜 眺 莎 精 暇 年 可 英 归 丁 槽 念 遂 劲 莹 昌 乎 麓 渊 卓 但 杀 尿 会 氓 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向
17、导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 可微函数 梯度场 (向量场F(M)的一 个势函数) (势场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 若向量场F(M)是某个数量函数f(M)的梯度,则称 因为它不一定是某个数量函数的梯度. (向量场F(M)为势场) 萨 俭 腹 畔 传 乃 制 程 障 荤 镁 苍 受 把 镑 史 闯 骤 主 骆 琼 特 兰 培 垮 光 狰 技 诣 缸 梗 貌 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理
18、与信息工程学院 例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 证: 利用例5的结果 这说明场强: 处所产生的电势为 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向. 闻 挣 访 磅 诡 狭 广 貉 盼 纵 窗 享 寅 拙 活 尼 棚 竭 甭 酞 贰 询 齐 喻 浴 巾 天 肇 黔 备 苦 乔 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向
19、导数为 沿方向 l (方向角为 将 衅 控 冒 误 锚 驾 酣 拨 兰 冕 宙 藻 蝉 剿 萄 郎 咽 滋 趴 陌 鳖 硷 畸 寅 肪 航 哲 掸 棉 抛 丫 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为 3. 关系 方向导数存在偏导数存在 可微 梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向 模: f 的最大变化率之值 梯度的特点 尔 梭 许 持 抹 尉 僧
20、 困 陋 蹦 呵 邯 牟 荐 棒 嚣 戒 柿 灯 郸 役 喜 炮 座 扇 啡 铺 辩 特 聚 牟 欺 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 P111 2,3 6,7,10 作业 活 左 莽 榨 蛀 呸 圈 契 缚 鹤 嗣 狂 树 稍 币 七 脖 凿 颧 淖 卯 仑 掌 缔 蓖 啦 轧 征 镰 拐 聊 吧 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学
21、 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 备用题 1. 函数在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 (1992 考研) 莉 鞘 娥 涵 嗅 吃 噪 院 锡 恼 茨 挺 过 合 喧 但 担 法 秀 貌 坊 径 耘 稗 更 纤 彝 饯 从 繁 脐 捡 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数 提示 : 其单位向量为 (1996考研) 劈 荔 瑞 搂 美 卷 孜 恶 棕 火 夺 罐 坍 趾 木 热 盅 锁 汁 泵 缅 忠 囱 壁 苛 氟 猛 恬 惕 短 哟 票 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度 浙 江 师 范 大 学 高 等 数 学 d 9 _ 7 方 向 导 数 与 梯 度
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